113 年警察特考三等交通警察人員交通組考古題與詳解

Question 1

回答下列諸問題：

(一) 在統計估計與檢定分析時，參數（Parameters）與統計量（Statistics）所指為何？請說明其差異。（8 分）

(二) 進行假設檢定時，何謂 $\alpha$ 錯誤（又稱 Type I Error）？與常用之 $p$ 值有何關係？（8 分）

(三) 統計分析中所指之自由度（Degree of Freedom）為何？如何計算？（8 分）

(四) 何謂單尾檢定（One-Tailed Test）與雙尾檢定（Two-Tailed Test）？在 $\alpha$ 值確定下（例如 $\alpha=0.05$ ），其檢定門檻各該如何決定？（8 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查統計推論的基礎用語：如何由樣本資訊推論母體、假設檢定中兩種決策錯誤的關係、自由度的意義，以及單尾與雙尾檢定的臨界區域如何配置。本題不涉及法條。

（一）參數與統計量

**參數（parameter）**是描述母體特徵的數值，通常以希臘字母表示。例如母體平均數 $\mu$ 、母體變異數 $\sigma^2$ 、母體比例 $p$ 。參數是母體的固定特徵，但實務上通常未知。

**統計量（statistic）**是由樣本資料計算而得的數值或函數，樣本改變時，統計量也會隨之改變。例如樣本平均數 $\bar X$ 、樣本變異數 $S^2$ 、樣本比例 $\hat p$ 。統計量可用來估計未知參數或作為假設檢定的依據。

兩者的主要差異如下：

比較項目	參數	統計量
描述對象	母體	樣本
是否通常已知	通常未知	可由樣本計算
樣本改變時是否改變	不變，是母體固定特徵	會改變，具有抽樣變異
例子	$\mu,\sigma^2,p$	$\bar X,S^2,\hat p$

例如以 $\bar X$ 估計 $\mu$ ， $\bar X$ 是統計量， $\mu$ 是欲估計的母體參數。

（二） $\alpha$ 錯誤與 $p$ 值

** $\alpha$ 錯誤（第一類錯誤，Type I Error）**是指虛無假設 $H_0$ 實際為真，卻被檢定結果錯誤地拒絕。其發生機率記為 $\alpha$ ：

\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})

研究者在檢定前設定的顯著水準，例如 $\alpha=0.05$ ，代表在 $H_0$ 為真時，容許第一類錯誤的機率上限為 $5\%$ 。實際檢定若採用離散分配或特定臨界值，實際型一錯誤率可能低於設定的 $\alpha$ 。

$p$ 值是在假設 $H_0$ 為真時，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。判斷規則為：

若 $p\leq\alpha$ ，拒絕 $H_0$ 。
若 $p>\alpha$ ，不拒絕 $H_0$ 。

因此， $p$ 值是由樣本結果算出的證據強弱指標， $\alpha$ 則是事先訂定的決策門檻。若 $p\leq\alpha$ ，表示該結果在 $H_0$ 為真時相當少見，故依既定規則拒絕 $H_0$ ；但這不代表「 $H_0$ 為真的機率是 $p$ 」，也不代表本次拒絕決策有 $p$ 的機率犯錯。

（三）自由度

**自由度（degree of freedom, df）**是指在估計或計算某個統計量時，扣除限制條件後，仍可自由變動的獨立資訊數目。

以 $n$ 筆資料 $x_1,\ldots,x_n$ 計算樣本變異數為例，先用樣本平均數 $\bar x$ 估計母體平均數後，偏差必須滿足：

\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)=0

因此， $n$ 個偏差中只有 $n-1$ 個能自由決定，最後一個由前述總和限制決定，故樣本變異數的自由度為 $n-1$ ：

S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}

自由度的計算依統計量及模型限制而定，常見例子如下：

Question 2

某媒體對 100 位未滿 18 歲之高中學生調查「是否有無照駕駛機車之經驗」，發現其中 30 位受訪者已有「無照駕駛機車之經驗」。請問在 10% 之顯著水準下，如何檢定「高中生無照駕駛機車率是否大於 20%」？

(一) 請問其「虛無假設 $H_0$ 」與「對立假設 $H_1$ 」各為何？（3 分）

(二) 請問該如何進行此虛無假設之檢定？其檢定統計量為何？（10 分）

(三) 在 10% 之「顯著水準」要求下，檢定結果之結論為何？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗單一母體比例的右尾檢定。令 $p$ 為高中生曾有無照駕駛機車經驗的比例；樣本數為 $n=100$，其中 $x=30$ 人有此經驗，樣本比例為 $$ \hat p=\frac{x}{n}=\frac{30}{100}=0.30. $$ 母體比例檢定以虛無假設中的比例 $p0$ 計算標準誤。本題顯著水準為 $\alpha=0.10$。 解題方法 （一）設定假設 題目要檢定「高中生無照駕駛機車率是否大於 $20\%$」，因此對立假設設為右尾： $$ H0:p=0.20,\qquad H1:p0.20. $$ 也可將虛無假設寫成 $H0:p\leq 0.20$；進行檢定計算時，以邊界值 $p0=0.20$ 計算。 （二）檢定統計量與檢定程序 在虛無假設下，樣本比例的標準誤為 $$ SE0=\sqrt{\frac{p0(1-p0)}{n}} =\sqrt{\frac{0.20(0.80)}{100}} =0.04. $$ 以單一比例 $Z$ 檢定統計量計算： $$ Z=\frac{\hat p-p0}{\sqrt{p0(1-p0)/n}} =\frac{0.30-0.20}{0.04} =2.50. $$

Question 3

一項對現有道路交通安全滿意度之隨機調查結果如下表所示，試問在 $\alpha=0.05$ 之顯著水準下，性別與滿意程度是否獨立？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

	非常滿意	普通	非常不滿意	小計
男性	50	16	31	97
女性	61	26	16	103
小計	111	42	47	200

(一) 請問其「虛無假設 $H_0$ 」與「對立假設 $H_1$ 」各為何？（5 分）

(二) 請問該如何進行此虛無假設之檢定？其檢定統計量為何？（15 分）

(三) 在 5% 之「顯著水準」要求下，檢定結果之結論為何？（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念

本題要檢定兩個類別變數——「性別」與「道路交通安全滿意程度」——是否彼此獨立，使用卡方獨立性檢定。觀察次數是表中的實際人數；若兩變數獨立，各儲格的期望次數為：

E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總人數}}

檢定統計量為：

\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

其中 $O_{ij}$ 是觀察次數， $E_{ij}$ 是期望次數。自由度為：

df=(r-1)(c-1)

解題方法

（一）設定假設

$H_0$ ：性別與道路交通安全滿意程度彼此獨立。
$H_1$ ：性別與道路交通安全滿意程度不獨立，兩者有關聯。

（二）計算期望次數與檢定統計量

以男性、非常滿意為例，其期望次數為：

E_{11}=\frac{97\times111}{200}=53.835

依相同方式計算全部期望次數：

Question 4

為了解員警執法之勤務績效，某交通隊隨機觀察並記錄了 10 位同仁之執法勤務小時數（ $X$ ）及其取締交通違規之件數（ $Y$ ）如下表所示，請利用這些資料完成如下工作：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

員警編號	執勤小時數（ $x$ ）	取締違規件數（ $y$ ）	$x^2$	$y^2$	$xy$
1	10	11	100	121	110
2	7	10	49	100	70
3	10	12	100	144	120
4	5	6	25	36	30
5	8	10	64	100	80
6	8	7	64	49	56
7	6	9	36	81	54
8	7	10	49	100	70
9	9	11	81	121	99
10	10	10	100	100	100
Total	80	96	668	952	789

(一) 請建立取締交通違規績效之線性迴歸模式 $y_i=\beta_0+\beta_1x_i$ ，並利用最小平方法求得模式中兩個參數之估計值 $\hat{\beta}_0$ 與 $\hat{\beta}_1$ 。（10 分）

(二) 在 $\alpha=0.05$ 之顯著水準下，請檢定虛無假設 $H_0:\beta_1=0$ ，並說明檢定結果與結論之意義。（10 分）

(三) 請計算模式校估結果之迴歸係數 $R^2$ ，並說明其意義。（5 分）

附註： $\bar{x}=8$ ； $\bar{y}=9.6$ ； $S_{xx}=28$ ； $S_{yy}=30.4$ ； $S_{xy}=21$

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸的最小平方法、迴歸斜率的 $t$ 檢定，以及判定係數 $R^2$。 簡單線性迴歸模式為 $$ Yi=\beta0+\beta1Xi+\varepsiloni $$ 其中 $\beta0$ 為截距，$\beta1$ 為斜率。最小平方法的估計式為 $$ \hat{\beta}1=\frac{S{xy}}{S{xx}},\qquad \hat{\beta}0=\bar{y}-\hat{\beta}1\bar{x} $$ 檢定斜率是否為零，使用自由度 $n-2$ 的 $t$ 檢定；判定係數則衡量應變數樣本變異中，有多少比例可由迴歸模式解釋。 解題方法與計算 （一）估計迴歸模式 題目給定 $\bar{x}=8$、$\bar{y}=9.6$、$S{xx}=28$、$S{xy}=21$，因此 $$ \hat{\beta}1=\frac{21}{28}=0.75 $$ $$ \hat{\beta}0=9.6-(0.75)(8)=3.6 $$ 故估計迴歸式為 $$ \hat{y}=3.6+0.75x $$ 斜率表示執勤小時數每增加 1 小時，模型估計的取締件數平均增加 $0.75$ 件。截距 $3.6$ 是執勤小時數為 0 時的模型預測值，實際解釋時須留意其是否符合觀察範圍與情境。 （二）檢定 $H0:\beta1=0$ 採雙尾檢定： $$ H0:\beta1=0,\qquad H1:\beta1
e 0 $$ 先計算迴歸平方和與誤差平方和： $$ SSR=\frac{S{xy}^2}{S{xx}} =\frac{21^2}{28}=15.75 $$ $$ SSE=S{yy}-SSR=30.4-15.75=14.65 $$ 樣本數 $n=10$，故誤差自由度為 $n-2=8$，均方誤差為 $$ MSE=\frac{SSE}{n-2}=\frac{14.65}{8}=1.83125 $$ 斜率估計值的標準誤為

113 警察特考三等交通警察人員交通組交通統計與分析考古題詳解

第一題32 分

核心觀念

（一）參數與統計量

（二） $\alpha$ 錯誤與 $p$ 值

（三）自由度

第二題18 分

核心觀念

解題方法

（一）設定假設

（二）檢定統計量與檢定程序

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

核心觀念

解題方法與計算

其他考古題

113 年交通警察人員交通組的其他科目

交通警察人員交通組《交通統計與分析》其他年度

113 警察特考三等 交通警察人員交通組 交通統計與分析 考古題詳解

第 一 題32 分

核心觀念

（一）參數與統計量

（二）α\alphaα 錯誤與 ppp 值

（三）自由度

第 二 題18 分

核心觀念

解題方法

（一）設定假設

（二）檢定統計量與檢定程序

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

其他考古題

113 年交通警察人員交通組的其他科目

交通警察人員交通組《交通統計與分析》其他年度

113 警察特考三等交通警察人員交通組交通統計與分析考古題詳解

第一題32 分

（二） $\alpha$ 錯誤與 $p$ 值

第二題18 分

第三題25 分

第四題25 分