111 警察特考三等 交通警察人員交通組 交通統計與分析 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗**獨立常態隨機變數之線性組合（常態分布的可加性）與標準常態分布（$Z$ 轉換）**的計算應用。

1. 常態分布的可加性（Linear Combination of Independent Normal Variables）： 若 $X$ 與 $Y$ 為相互獨立之常態隨機變數，即 $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ 且 $Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，則其和 $T = X + Y$ 亦服從常態分布： $T \sim N(\mu_T, \sigma_T^2) = N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)$

2. 標準常態轉換（$Z$ Transformation）： 將一般常態隨機變數 $T$ 轉換為標準常態隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$： $Z = \frac{T - \mu_T}{\sigma_T}$ 並藉由標準常態分布累積分布函數（$\Phi(z) = P(Z \le z)$）查詢對應之機率值。

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解題方法

步驟一：建立總行駛時間之機率分布

設警車從 A 地點至 B 地點之行駛時間為隨機變數 $X$（分鐘），由題意知： $X \sim N(\mu_X = 15, \sigma_X^2 = 20)$

設警車從 B 地點至 C 地點之行駛時間為隨機變數 $Y$（分鐘），由題意知： $Y \sim N(\mu_Y = 20, \sigma_Y^2 = 40)$

假設高速公路段與市區道路段之行駛時間相互獨立，則 A 地點至 C 地點之總行駛時間隨機變數 $T = X + Y$ 服從常態分布：

• 期望值（平均時間）： $\mu_T = E(T) = E(X) + E(Y) = 15 + 20 = 35 \text{（分鐘）}$
• 變異數： $\sigma_T^2 = Var(T) = Var(X) + Var(Y) = 20 + 40 = 60 \text{（分鐘}^2\text{）}$
• 標準差： $\sigma_T = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7.746 \text{（分鐘）}$

故總行駛時間 $T \sim N(35, 60)$。

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步驟二：求解可於 30 分鐘內到達之機率 $P(T \le 30)$

將 $T = 30$ 進行標準化： $Z = \frac{30 - 35}{\sqrt{60}} = \frac{-5}{7.746} \approx -0.6455 \approx -0.65$

查標準常態分布表，$\Phi(0.65) = 0.7422$： $P(T \le 30) = P(Z \le -0.65) = 1 - \Phi(0.65) = 1 - 0.7422 = 0.2578$

（若取小數點後三位精確數值計算，$Z \approx -0.646$，插值求得 $P(Z \le -0.6455) \approx 0.2593$。國家考試以查表保留小數點後兩位 $Z = -0.65$ 之結果 0.2578 或 25.78% 為標準作答格式。）

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核心觀念

1. 配對樣本 $t$ 檢定（Paired-sample $t$-test / Matched-pairs $t$-test）： 本題資料屬於同一組觀察對象（10 部車輛）在科技執施設置「前」與「後」之車速紀錄，個體間具備相關性（Dependent Samples / Paired Data）。因此不可使用獨立雙樣本 $t$ 檢定，必須採用配對樣本 $t$ 檢定。
2. 單尾假設檢定（One-tailed Test）： 題目旨在評估取締設施「能否有效降低駕駛車速」，具備明確的方向性指示，故應建立單尾對立假設。
3. 母體常態性假設與自由度： 假設兩期車速之差值變數 $D_i$ 服從常態分佈 $N(\mu_D, \sigma_D^2)$，自由度為 $df = n - 1 = 10 - 1 = 9$。

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解題方法

第一步：定義變數與建立虛無與對立假設

設 $X_{1,i}$ 為駕駛人 $i$ 在科技執法前的車速（$\text{km/hr}$），$X_{2,i}$ 為駕駛人 $i$ 在科技執法後的車速（$\text{km/hr}$）。 定義速度差值為 $D_i = X_{1,i} - X_{2,i}$（執法前車速減去執法後車速）。若科技執法有效降低車速，則執法前車速應顯著高於執法後車速，即平均差值 $\mu_D > 0$。

• 虛無假設（$H_0$）：$\mu_D \le 0$（科技執法無法有效降低車速）
• 對立假設（$H_1$）：$\mu_D > 0$（科技執法能有效降低駕駛車速）

第二步：計算差值統計量

計算每位駕駛人的車速差值 $D_i = X_{1,i} - X_{2,i}$ 及其平方值 $D_i^2$：

駕駛人 $i$	執法前 $X_{1,i}$	執法後 $X_{2,i}$	差值 $D_i = X_{1,i} - X_{2,i}$	$D_i^2$
1	74	66	8	64
2	80	68	12	144
3	70	72	-2	4
4	66	70	-4	16
5	80	75	5	25
6	78	68	10	100
7	87	72	15	225
8	85	69	16	256
9	68	68	0	0
10	81	67	14	196
合計 $\sum$	-	-	74	1030

1. 差值樣本平均數（$\bar{D}$）： $\bar{D} = \frac{\sum_{i=1}^{10} D_i}{n} = \frac{74}{10} = 7.4 \quad (\text{km/hr})$

2. 差值樣本變異數（$S_D^2$）與標準差（$S_D$）： $\sum_{i=1}^{10} (D_i - \bar{D})^2 = \sum D_i^2 - n\bar{D}^2 = 1030 - 10 \times (7.4)^2 = 1030 - 547.6 = 482.4$ $S_D^2 = \frac{\sum (D_i - \bar{D})^2}{n - 1} = \frac{482.4}{9} = 53.6$ $S_D = \sqrt{53.6} \approx 7.3212 \quad (\text{km/hr})$

3. 計算檢定統計量（$t^*$）： $t^* = \frac{\bar{D} - 0}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}} = \frac{7.4}{\sqrt{\frac{53.6}{10}}} = \frac{7.4}{\sqrt{5.36}} = \frac{7.4}{2.3152} \approx 3.20$

核心觀念

本題旨在考驗考生的「多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression）」與「虛擬變數（Dummy Variables）」在交通統計上的應用，涵蓋以下四大核心觀念與公式：

1. 虛擬變數（Dummy Variable）模型構建： 當類別變數有 $m$ 個類別時，須設定 $m-1$ 個虛擬變數，未設定者即為「比較基底（Reference Group）」。 本題模型設定如下：

• 車型類別（基底：機車）：大客車（$X_1$）、小客車（$X_2$）
• 號誌時相類別（基底：綠燈）：紅燈（$X_3$）、黃燈（$X_4$）

迴歸模型式： $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 X_4 + \varepsilon$ 其中 $Y$ 代表通過路口之車速（$\text{km/h}$）。

2. 變異數分析表（ANOVA Table）之整體檢定（Overall F-test）： 檢定模型中所有自變數對依變數 $Y$ 是否整體具有顯著的解釋能力。

• 檢定統計量：$F = \frac{\text{MS Model}}{\text{MS Error}}$
• 自由度：$\text{DF}_{\text{Model}} = k = 4$，$\text{DF}_{\text{Error}} = n - k - 1 = 36$，總自由度 $\text{DF}_{\text{Total}} = n - 1 = 40$（樣本數 $n = 41$）。

3. 調整判定係數（Adjusted $R^2$）： 用以衡量模型對依變數變異的解釋比例，並剔除因自變數個數增加而虛增判定係數的影響。

• 判定係數：$R^2 = \frac{\text{SS Model}}{\text{SS Total}}$
• 調整判定係數： $\text{Adj } R^2 = 1 - \left[ \frac{\text{SS Error} / (n - k - 1)}{\text{SS Total} / (n - 1)} \right] = 1 - \frac{\text{MS Error}}{\text{MS Total}}$

4. 個案參數檢定（Individual Parameter $t$-test）： 檢定單一自變數在控制其他變數下，對車速是否具有統計顯著影響。

• 檢定統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_j}{\text{SE}(\hat{\beta}_j)}$

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解題方法

步驟一：變異數分析表（ANOVA Table）之假說檢定與意義說明

1. 建立虛無假說與對立假說：

• 虛無假說 $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0$（模型中所有迴歸係數皆為零，車型與號誌時相對於通過路口車速無顯著解釋能力）。
• 對立假說 $H_1$: 至少有一個 $\beta_j \neq 0, \quad j \in \{1, 2, 3, 4\}$（模型中至少有一個自變數對於通過路口車速具有顯著解釋能力）。

2. 檢定統計量與 $P$ 值：

• 由變異數分析表可知，$F = 40.3$。
• 對應之 $P\text{-value} = \text{Pr} > \text{F} < .0001$。

3. 檢定決策與結論： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，因 $P\text{-value} < .0001 < \alpha = 0.05$，故拒絕虛無假說 $H_0$。

4. 結果的統計與實務意義： 迴歸模型整體達到極顯著水準。這表示「車輛類型」與「號誌時相」結合組成的模型，能有效解釋不同車輛在不同號誌狀況下通過路口的車速變異，兩因素對車速存在顯著影響。

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步驟二：計算調整判定係數（Adjusted $R^2$）

1. 精確平方和公式推導與計算： 依據公式： $\text{Adj } R^2 = 1 - \frac{\text{SS Error} / \text{DF Error}}{\text{SS Total} / \text{DF Total}}$ 已知 $\text{SS Error} = 118.0$，$\text{DF Error} = 36$；$\text{SS Total} = 645.9$，$\text{DF Total} = 40$：

• 均方誤差（精確值）：$\text{MS Error} = \frac{118.0}{36} \approx 3.2778$
• 總均方（精確值）：$\text{MS Total} = \frac{645.9}{40} = 16.1475$
• 未調整判定係數：$R^2 = \frac{527.9}{645.9} \approx 0.8173$（即 $81.73\%$）

2. 帶入計算調整判定係數： $\text{Adj } R^2 = 1 - \frac{3.2778}{16.1475} \approx 1 - 0.20305 = 0.79695 \approx 0.7970 \text{（或 } 79.70\%\text{)}$

(註：若直接使用表格四捨五入後之 $\text{MS Error} = 3.3$ 計算，$\text{Adj } R^2 = 1 - \frac{3.3}{16.1475} \approx 0.7956$，即 $79.56\%$。本題以原始平方和推算之 $79.70\%$ 為更精確之結果。)

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模型變數與檢定結果分析

核心觀念

本題考驗兩個類別變項之獨立性檢定：

• 安全帽配戴情形：配戴、未配戴
• 死亡情況：死亡、未死亡

採用皮爾森卡方獨立性檢定（Pearson’s chi-square test）。

虛無假設與對立假設為：

$$H_0：安全帽配戴情形與死亡情況相互獨立$$ $$H_1：安全帽配戴情形與死亡情況有關$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$。本題不涉及法條，統計判斷依卡方檢定進行。

解題方法

一、計算期望次數

在獨立假設成立下，各格期望次數為：

$$E_{ij}=\frac{(\text{該列合計})(\text{該欄合計})}{\text{總合計}}$$

因此：

是否配戴安全帽	死亡：是	死亡：否
是	$\frac{9,200\times200}{10,000}=184$	$\frac{9,200\times9,800}{10,000}=9,016$
否	$\frac{800\times200}{10,000}=16$	$\frac{800\times9,800}{10,000}=784$

所有期望次數均大於 5，符合卡方檢定的適用條件。

二、計算卡方統計量

卡方統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為期望次數。

$$\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(140-184)^2}{184} +\frac{(9,060-9,016)^2}{9,016}\\ &\quad+\frac{(60-16)^2}{16} +\frac{(740-784)^2}{784}\\ &\approx 10.522+0.215+121+2.472\\ &\approx 134.21 \end{aligned}$$

自由度為：

$$df=(列數-1)(欄數-1)=(2-1)(2-1)=1$$

在 $\alpha=0.05$、$df=1$ 下，卡方臨界值為：

$$\chi^2_{0.05,1}=3.841$$

由於：