112 警察特考三等 交通警察人員交通組 交通統計與分析 考古題詳解

核心觀念

本題考查資料分配的集中趨勢，以及分配形狀如何影響平均數、中位數與眾數的相對位置。

• 平均數（Mean）：全部觀測值的總和除以觀測值個數，反映資料的算術中心。若資料為 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，算術平均數為 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.$ 平均數會受到每一筆資料影響，因此極端值可能使其偏離多數資料所在的位置。
• 中位數（Median）：將資料由小至大排列後，位於中央位置的數值。若 $n$ 為奇數，取第 $\frac{n+1}{2}$ 個數值；若 $n$ 為偶數，取中間兩個數值的平均。中位數表示資料排序後的中央位置，較不受極端值影響。
• 眾數（Mode）：資料中出現次數最多的數值，表示資料最常出現的值。資料可能沒有眾數，也可能有一個以上的眾數。

解題方法：依尾端方向判斷三者位置

先看分配的尾端往哪一側延伸。偏斜分配中，平均數容易被尾端的極端值拉動；中位數位於排序後的中央；單峰分配的眾數則位於最高峰。對稱分配的三者通常重合。

以下以橫軸表示資料值、縱軸表示頻率或機率密度。圖中以「$\approx$」表示單峰分配下的典型位置關係。

（二）資料分配圖

1. 對稱分配：平均數 $\approx$ 中位數 $\approx$ 眾數

頻率
 ^
 | /\
 | / \
 | / \
 |________/____________\________> 資料值
 │
 平均數＝中位數＝眾數

分配左右大致鏡像對稱，中心位置與最高峰位置一致；對於對稱單峰分配，三者重合。

2. 左偏分配（負偏態）：平均數 < 中位數 < 眾數

頻率
 ^
 | /\
 | / \
 | _/ \
 |___________ _______/____________\__> 資料值
 │ │ │
 平均數 中位數 眾數
 （左側長尾）

核心觀念

本題要檢定「考照前是否接受安全駕駛教育訓練」與「考照後一年內是否曾發生有人受傷的交通事故」是否有關聯。兩個變數都是類別變數，且資料以 $2\times2$ 列聯表呈現，因此使用卡方獨立性檢定。

檢定的基本概念是比較各格的觀察次數 $O_{ij}$ 與虛無假設成立時的期望次數 $E_{ij}$：

（一）虛無假設與對立假設

令 $p_1$ 為受過訓練者考照後一年內曾發生有人受傷事故的比例，$p_2$ 為未受訓者的相同比例。

• **虛無假設 $H_0$：**訓練與事故經驗彼此獨立；等價地，兩組事故比例相同，即 $p_1=p_2$。
• **對立假設 $H_1$：**訓練與事故經驗並非獨立；等價地，兩組事故比例不同，即 $p_1\ne p_2$。

題目問訓練「是否具有影響」，未指定影響方向，因此採雙尾的差異檢定，而不預設訓練必然降低事故比例。

（二）檢定統計量、分配與自由度

使用 Pearson 卡方獨立性檢定統計量：

在 $H_0$ 成立且期望次數條件適當時，統計量近似服從卡方分配。自由度為：

因此本題比較的分配為自由度 1 的卡方分配，即 $\chi^2(1)$。

（三）計算檢定統計量

先依列合計、欄合計與總樣本數，計算各格期望次數：

四格觀察次數皆為 50、450、100、400。代入公式：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的估計式、係數解釋、斜率的顯著性檢定、$p$ 值與決定係數 $R^2$ 的意義。

估計迴歸線為：

其中 $a$ 是截距，$b$ 是斜率；$\hat y$ 表示在給定 $x$ 下，反應時間的估計平均值。簡單線性迴歸通常以「母體斜率是否為零」檢驗藥物比率與反應時間之間是否存在線性關係。

解題方法

（一）標示資料並繪出迴歸線

五筆實驗資料為：

由表中係數估計值，迴歸線為：

作圖時先將五個觀測值標在座標平面上，再依迴歸式取線上的點。例如，$x=1$ 時 $\hat y=0.6$，$x=5$ 時 $\hat y=3.4$；連接這兩點即可畫出迴歸線。

反應時間 y（秒）
4.0 | ● (5,4)
3.5 | ／
3.0 | ／
2.5 | ／
2.0 | ● (3,2) ● (4,2)
1.5 | ／
1.0 | ● (1,1) ● (2,1)
0.5 | ／
0.0 +------------------------------
 1 2 3 4 5
 血液中藥物含量比率 x（%）

圖中迴歸線依 $\hat y=-0.1+0.7x$ 繪製，觀測點則為題目所給的五筆資料。

（二）（A）各係數估計值的意義

估計模式為：

• **截距估計值 $-0.1000$：**當藥物含量比率 $x=0\%$ 時，模式估計的平均反應時間為 $-0.1$ 秒。此值在實際上沒有合理的反應時間解釋，且 $x=0$ 也在觀測範圍之外，因此主要作為迴歸線的位置參數，不宜作實質外推。
• **斜率估計值 $0.7000$：**藥物含量比率每增加 $1$ 個百分點，模式估計的平均反應時間增加 $0.7$ 秒。這是樣本資料所估計的線性關聯，不能單憑此迴歸結果推論藥物含量增加必然造成反應時間增加。

（二）（B）主要假設檢定及結果

主要檢定是檢驗母體迴歸斜率是否為零：

在簡單線性迴歸中，斜率的 $t$ 檢定可用來判斷 $x$ 與 $y$ 是否具有顯著的線性關係。由題目資料，斜率的估計值為 $0.7000$，標準誤為 $0.1915$，故：

核心觀念

本題檢定 A、B 兩縣市民眾「曾做過的危險用路行為題數」之母體平均數是否不同。兩組民眾為分別抽取的不同樣本，故採用兩獨立樣本平均數差異檢定。

題目提供樣本數、樣本平均數與樣本標準差，並指定使用臨界值 $z=1.96$；依題意以大樣本近似進行雙尾 $Z$ 檢定。顯著水準 $\alpha=0.05$ 時，雙尾檢定兩端各分配 $\alpha/2=0.025$，臨界值為 $\pm1.96$。

假設設定

題目問兩縣市是否「具有顯著之危險差異」，未指定方向，因此採雙尾檢定：

• 虛無假設：$H_0:\mu_A=\mu_B$，亦即 $\mu_A-\mu_B=0$。
• 對立假設：$H_1:\mu_A\ne\mu_B$，亦即 $\mu_A-\mu_B\ne0$。

其中，$\mu_A$、$\mu_B$ 分別代表 A、B 縣市民眾平均勾選的危險用路行為題數。平均勾選題數越多，表示曾做過的危險行為越多。

解題方法與檢定程序

一、選定檢定統計量

兩獨立樣本平均數差的標準誤為：

本題代入資料：

檢定統計量為：

二、計算檢定統計量