108 高普考普通考試 輪機技術 船用電學與自動控制概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查正反轉控制電路中的自保持、電氣互鎖、指示燈並聯及故障隔離。

依圖，$PBF$ 是正轉啟動按鈕，按下時其常開接點閉合；$PBOFF$ 是停止按鈕，正常時常閉。正轉支路中的 $MCF$ 常開輔助接點與 $PBF$ 並聯，作為自保持接點；$MCR$ 常閉接點則與正轉線圈串聯，形成正反轉電氣互鎖。$RL1$ 與 $MCF$ 線圈並聯，因此正轉支路有電時，$RL1$ 可亮；但燈亮不代表接觸器線圈已成功吸合。

以下依圖說明，並以控制電源正常、$PBOFF$ 未按下、$OL$ 未跳脫、正反轉接觸器原先均未吸合為前提。

解題方法

沿正轉控制支路追蹤電流：

按下 $PBF$ 時，$PBF$ 閉合；由於 $MCR$ 未吸合，其常閉互鎖接點仍閉合，正轉支路因此得電。但題目指定 $MCF$ 激磁線圈斷路，線圈支路不能形成電流，$MCF$ 無法吸合。

由於 $RL1$ 與線圈並聯，燈泡支路仍可通電，所以按住 $PBF$ 時，$RL1$ 亮起，但 $MCF$ 不吸合。$MCF$ 的常開自保持接點也就不會閉合；放開 $PBF$ 後，正轉支路失電，$RL1$ 熄滅。

各元件反應

核心觀念

本題旨在考驗數位邏輯電路與布林代數的核心基石——迪摩根定理（De Morgan’s laws）。在船用自動控制系統中，邏輯控制器（如 PLC、繼電器警報回路、主機遙控系統）的大量邏輯運算常依賴此定理進行化簡與邏輯閘轉換，以減少硬體元件數並提升可靠度。

涉及的關鍵定義與數學式如下：

1. 迪摩根第一定理（積之補數等於補數之和）： $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 意義：將兩輸入訊號進行「及（AND）」運算後再「反相（NOT）」，其輸出等效於將兩輸入訊號「各自反相」後再進行「或（OR）」運算。
2. 迪摩根第二定理（和之補數等於補數之積）： $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 意義：將兩輸入訊號進行「或（OR）」運算後再「反相（NOT）」，其輸出等效於將兩輸入訊號「各自反相」後再進行「及（AND）」運算。
3. 邏輯閘等效性（氣泡推移原則，Bubble Pushing）： 反相運算以反相氣泡（Inversion Bubble）表示。當氣泡通過邏輯閘時，閘符號改變（$\text{AND} \leftrightarrow \text{OR}$），且氣泡位置由輸出端移至所有輸入端（或由輸入端移至輸出端）。

解題方法

本題為標準的觀念申論與證明題，分為三個作答層次：

1. 明確寫出兩組布林代數式，並附上數學物理意義說明。
2. 闡述邏輯電路等效轉換關係，說明反及閘（NAND）、反或閘（NOR）與負輸入邏輯閘（Negative-input Gates）之間的轉換法則。
3. 建立完整的真值表（Truth Table），透過列舉二元變數所有可能的輸入組合，逐項計算各節點狀態，嚴謹證明等式兩邊完全相等。

一、布林代數式說明

迪摩根定理包含兩個主要定律：

1. 第一式（積的補數）： $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 若推廣至 $n$ 個變數： $\overline{A_1 \cdot A_2 \cdot \dots \cdot A_n} = \overline{A_1} + \overline{A_2} + \dots + \overline{A_n}$

2. 第二式（和的補數）： $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 若推廣至 $n$ 個變數： $\overline{A_1 + A_2 + \dots + A_n} = \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \dots \overline{A_n}$

二、邏輯電路轉換

利用迪摩根定理可進行等效邏輯閘的轉換，其操作法則稱為「氣泡推移（Bubble Pushing）」或「符號互換原則」：

• 主要邏輯閘轉換：AND 閘轉換為 OR 閘；OR 閘轉換為 AND 閘。
• 氣泡（反相）位置轉換：輸出端的反相氣泡移至各輸入端；輸入端的氣泡移至輸出端。

1. 反及閘（NAND Gate）轉換為 負輸入或閘（Negative-OR Gate）

• 依據 $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$：
• 左側 $\overline{A \cdot B}$ 為標準 NAND 閘（AND 閘輸出端帶有反相氣泡）。
• 右側 $\overline{A} + \overline{B}$ 為 負輸入 OR 閘（OR 閘之各輸入端皆外加反相氣泡）。
• 等效符號對應： $\text{NAND Gate} \iff \text{Negative-OR Gate}$

 NAND 閘 負輸入 OR 閘
 A ───\ A ──o\
 )o─── Y = (A·B)' ≡ )─── Y = A' + B'
 B ───/ B ──o/

2. 反或閘（NOR Gate）轉換為 負輸入及閘（Negative-AND Gate）

• 依據 $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$：
• 左側 $\overline{A + B}$ 為標準 NOR 閘（OR 閘輸出端帶有反相氣泡）。
• 右側 $\overline{A} \cdot \overline{B}$ 為 負輸入 AND 閘（AND 閘之各輸入端皆外加反相氣泡）。
• 等效符號對應：

核心觀念

串激式直流發電機的串激磁場繞組、電樞與負載串聯，因此三者電流相同：

電樞感應電勢 $E$ 扣除電樞電阻與串激磁電阻上的壓降後，就是端電壓 $V$。發電機的感應電勢與磁通量 $\phi$ 及轉速 $n$ 成正比：

其中 $k$ 為機器常數。

解題方法與電壓方程式

沿發電機電樞、串激磁場繞組及負載回路套用克西荷夫電壓定律，感應電勢等於端電壓加上內部電阻壓降：

由於串聯電路中 $I_a=I_s=I$，可整理為：

此式忽略電刷接觸壓降；若題目另要求考慮電刷壓降，則應再加上該壓降項。

負載電流增加時的激磁與端電壓

負載電流增加時，因為 $I_s=I$，串激磁場電流也隨之增加，激磁磁勢增大，磁通量 $\phi$ 通常增加。因此在轉速固定時，感應電勢 $E=k\phi n$ 隨之上升。

端電壓則由 $V=E-I(R_a+R_s)$ 決定。負載電流增加會使內部電阻壓降 $I(R_a+R_s)$ 增加；同時，激磁增強也會使感應電勢 $E$ 上升。

核心觀念

本題評量理想變壓器（無損失變壓器）之基本轉換特性與阻抗反射原理，核心公式如下：

1. 匝數比（變比）$a$： $a = \frac{N_1}{N_2}$ 其中 $N_1$ 為一次側匝數，$N_2$ 為二次側匝數。

2. 電壓轉換關係： 變壓器兩側電壓與匝數成正比： $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} = a \implies V_2 = \frac{V_1}{a}$

3. 阻抗（電阻）轉換關係： 變壓器之阻抗變換與匝數比之平方成正比。一次側視入電阻 $R_1$ 與折算至二次側之等效電阻（輸出端電阻）$R_2$ 滿足： $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = a^2 \implies R_2 = \frac{R_1}{a^2}$

4. 電流轉換關係與功率守恆： 在無損失（理想變壓器，效率 $\eta = 100\%$）條件下，輸入視在功率等於輸出視在功率（$S_1 = S_2 \implies V_1 I_1 = V_2 I_2$），兩側電流與匝數成反比： $\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a} \implies I_2 = a I_1$ 亦可直接依二次側之歐姆定律求解：$I_2 = \frac{V_2}{R_2}$。

解題方法

題目給定條件：

• 一次側線圈匝數 $N_1 = 100\text{ 匝}$
• 二次側線圈匝數 $N_2 = 10\text{ 匝}$
• 一次側電阻 $R_1 = 10\ \Omega$
• 輸入電壓 $V_1 = 110\text{ V}$

步驟一：計算匝數比 $a$

$a = \frac{N_1}{N_2} = \frac{100}{10} = 10$

步驟二：計算輸出電壓 $V_2$

根據理想變壓器電壓轉換公式： $V_2 = \frac{V_1}{a} = \frac{110}{10} = 11\text{ V}$

步驟三：計算輸出電阻值 $R_2$

由阻抗反射關係，一次側電阻折算至二次側輸出端之電阻值為： $R_2 = \frac{R_1}{a^2} = \frac{10}{10^2} = \frac{10}{100} = 0.1\ \Omega$

步驟四：計算輸出電流 $I_2$

本題可透過兩種方式推導，結果相互一致：

• 方法一（二次側歐姆定律）： $I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \frac{11}{0.1} = 110\text{ A}$
• 方法二（一次側電流折算）：