107 高普考高考二級 農業機械 農業機電整合與控制工程研究 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量控制系統之閉迴路穩定度分析與臨界穩定振盪頻率之求解能力，核心觀念涵蓋：

1. 負回授系統閉迴路轉移函數與特徵方程式： 對於典型負回授系統，前向傳遞函數為 $G(s)$、回授路徑增益為 $H(s) = K$，閉迴路特徵方程式為： $1 + G(s)H(s) = 0$
2. 勞斯–赫威茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）： 系統所有極點均落在複數平面左半平面（LHP）時，系統才為漸近穩定。利用特徵多項式建立勞斯表（Routh Array），第一行（First Column）元素必須全為正數（無變號），系統方為穩定。
3. 臨界穩定（Marginally Stable）與振盪頻率： 當增益 $K$ 處於穩定臨界邊界時，勞斯表會出現全零列（Row of Zeros），藉由其上一列所構成之輔助方程式（Auxiliary Equation, $A(s) = 0$）​可求得虛軸上的共軛純虛根 $s = \pm j\omega$，該 $\omega$ 即為持續等幅振盪的頻率（rad/s）。

解題方法

步驟一：求閉迴路系統之特徵方程式

已知前向轉移函數 $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s^2+2s-1)}$，回授增益 $H(s) = K$。 負回授系統之特徵方程式為： $1 + G(s)H(s) = 1 + \frac{K}{(s+1)(s^2+2s-1)} = 0$

將分母通分展開： $(s+1)(s^2+2s-1) + K = 0$ $(s^3 + 2s^2 - s + s^2 + 2s - 1) + K = 0$ 整理得三階特徵方程式： $s^3 + 3s^2 + s + (K - 1) = 0$

步驟二：建立勞斯表（Routh Array）

特徵多項式為： $P(s) = a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = s^3 + 3s^2 + s + (K - 1) = 0$ 各階係數為：$a_3 = 1,\; a_2 = 3,\; a_1 = 1,\; a_0 = K - 1$。

建立勞斯表如下：

計算第一行各項元素： $b_1 = \frac{3 \times 1 - 1 \times (K - 1)}{3} = \frac{3 - K + 1}{3} = \frac{4 - K}{3}$ $c_1 = \frac{b_1 \times (K - 1) - 3 \times 0}{b_1} = K - 1$

步驟三：判定系統穩定之 $K$ 值範圍

根據勞斯穩定準則，系統穩定的充要條件為勞斯表第一行元素皆同號且為正數：

1. $s^3$ 階項：$1 > 0$（恆成立）
2. $s^2$ 階項：$3 > 0$（恆成立）

核心觀念

1. 質量—彈簧—阻尼系統之牛頓第二運動定律： 由達朗貝爾原理（D'Alembert's Principle）或牛頓第二定律分析受力平衡，建立系統二階動態微分方程式 $m\ddot{x}_1 + c\dot{x}_1 + kx_1 = u$。
2. 狀態空間表示法（State-Space Representation）： 選取系統之獨立能量變數（位置 $x_1$ 與速度 $x_2$）作為狀態變數，將單一二階常微分方程式拆解為一階微分方程組 $\dot{x} = Ax + bu$。
3. 二階系統之暫態響應特性與阻尼比（$\zeta$）： 標準二階系統特徵方程式為 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$。

• 欠阻尼（$\zeta < 1$）：暫態響應伴隨振盪與超越量（Overshoot）。
• 過阻尼（$\zeta > 1$）：暫態響應無振盪，但主導極點靠近虛軸，響應遲緩。
• 臨界阻尼（$\zeta = 1$）：特徵根為負實數重根 $s = -\omega_n$，為在不產生振盪的前提下收斂最快之響應條件。

4. 極點安置法（Pole Placement）與狀態回授控制： 引入狀態回授控制律 $u = [\ell_1\ \ell_2]x$，閉迴路系統矩陣變為 $A_{cl} = A + bL$，比對閉迴路特徵多項式與期望特徵多項式係數以決定回授增益。

解題方法

(一) 推導系統動態方程式與狀態方程式

1. 建立系統動態方程式： 設向右位移為正方向（$x_1 > 0$），台車速度為 $x_2 = \dot{x}_1$。台車質量 $m$ 受到以下外力作用：

• 理想彈簧恢復力：$-k x_1$（方向與位移反向）
• 理想阻尼器阻尼力：$-c \dot{x}_1 = -c x_2$（方向與速度反向）
• 外部輸入控制力：$u$（方向與位移同向）

根據牛頓第二運動定律 $\sum F = m \ddot{x}_1$：

整理可得動態方程式：

2. 化為狀態方程式 $\dot{x} = Ax + bu$： 依題意定義狀態向量 $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \dot{x}_1 \end{bmatrix}$，取時間導數：

將兩式寫成矩陣形式：

因此，系統矩陣 $A$ 與輸入向量 $b$ 分別為：

(二) 設計狀態回授控制器求解 $\ell_1$ 與 $\ell_2$

1. 代入已知參數： 將 $m = 1$、$c = 20$、$k = 600$ 代入 $A$ 與 $b$：

2. 建立閉迴路特徵方程式： 控制器定義為 $u = [\ell_1\ \ell_2]x$，閉迴路系統矩陣為：

核心觀念

本題評量直流電路中的最大功率轉移定理（Maximum Power Transfer Theorem）​與功率傳輸效率：

1. 最大功率轉移定理：在具有固定直流電源電壓 $V$ 與固定內阻 $R_r$ 的線性電路中，當負載阻抗 $R_L$ 等於電源內阻 $R_r$ 時，負載可獲得最大功率。
2. 負載功率公式： $P_L = I^2 R_L = \left(\frac{V}{R_r + R_L}\right)^2 R_L$
3. 功率轉移比率（傳輸效率 $\eta$）：負載所吸收之功率與電源所提供之總功率的比值： $\eta = \frac{P_L}{P_{\text{total}}} = \frac{I^2 R_L}{I^2 (R_r + R_L)} = \frac{R_L}{R_r + R_L}$

解題方法

步驟一：推導負載獲得最大功率的條件

電路為純電阻串聯電路，流經電路的電流為： $I = \frac{V}{R_r + R_L}$

負載 $R_L$ 所消耗的功率為： $P_L = I^2 R_L = \frac{V^2 R_L}{(R_r + R_L)^2}$

為求 $P_L$ 的極大值，對 $R_L$ 進行一階微分並令其為零： $\frac{dP_L}{dR_L} = V^2 \cdot \frac{(R_r + R_L)^2 - 2R_L(R_r + R_L)}{(R_r + R_L)^4} = V^2 \cdot \frac{R_r - R_L}{(R_r + R_L)^3} = 0$

解得獲得最大功率轉移之條件為： $R_L = R_r$

題目給定內阻 $R_r = 5\ \Omega$，故： $R_L = 5\ \Omega$

步驟二：計算最大功率轉移比率與轉移功率

1. 最大功率轉移比率（傳輸效率 $\eta$）： 當 $R_L = R_r = 5\ \Omega$ 時：

核心觀念

1. 線性非時變（LTI）系統之正弦穩態響應： 對於穩定的線性非時變系統，其轉移函數為 $G(s)$。當輸入訊號為單一正弦波時，穩態輸出訊號之頻率保持不變，其振幅放大倍率為 $|G(j\omega)|$，相位位移為 $\angle G(j\omega)$：

• 輸入 $u_1(t) = A_1\cos(\omega_1 t + \theta_1) \implies$ 穩態輸出 $y_{ss,1}(t) = A_1 |G(j\omega_1)| \cos(\omega_1 t + \theta_1 + \angle G(j\omega_1))$
• 輸入 $u_2(t) = A_2\sin(\omega_2 t + \theta_2) \implies$ 穩態輸出 $y_{ss,2}(t) = A_2 |G(j\omega_2)| \sin(\omega_2 t + \theta_2 + \angle G(j\omega_2))$

2. 疊加原理（Superposition Principle）： 若系統輸入為多個不同角頻率訊號的線性組合 $u(t) = u_1(t) + u_2(t)$，總穩態輸出即為各成分個別穩態響應之代數和：

3. 低通濾波器（Low-pass Filter）之波德圖（Bode Diagram）特性：

• 低頻通帶（Passband）：當角頻率 $\omega \ll \omega_c$（截角頻率）時，增益曲線平坦，增益為 $20\log_{10}|G(j\omega)| \approx 0\text{ dB}$（即振幅比 $|G(j\omega)| \approx 1$），相位角 $\angle G(j\omega) \approx 0^\circ$。
• 高頻阻帶（Stopband）：當角頻率 $\omega \gg \omega_c$ 時，增益曲線以固定斜率（如 $-20\text{ dB/decade}$ 或更陡）急遽衰減，增益遠小於 $0\text{ dB}$，其振幅放大倍率 $|G(j\omega)| \approx 0$。

解題方法

本題若考卷波德圖數值刻度因掃描解析度未盡清晰，依控制工程典型標準低通濾波器設計，通帶增益為 $0\text{ dB}$（放大倍率為 $1$），高頻阻帶增益嚴重衰減趨近於零。

輸入訊號由兩個角頻率相差極大的成分組成：

其中 $u_1(t)$ 的角頻率為 $\omega_1 = 0.5\text{ rad/s}$，$u_2(t)$ 的角頻率為 $\omega_2 = 5000\text{ rad/s}$。

步驟一：估測低頻成分 $\omega_1 = 0.5\text{ rad/s}$ 之響應

1. 由圖 4 波德圖之增益曲線與相位曲線直接判讀：

• 在低頻 $\omega_1 = 0.5\text{ rad/s}$ 處，處於濾波器的低頻通帶內。
• 增益讀數為：

• 相位讀數為：

核心觀念

1. 重疊原理（Principle of Superposition）與線性系統轉移函數： 在線性非時變（LTI）控制系統中，當同時存在參考輸入 $R(s)$ 與雜訊／干擾 $N(s)$ 時，系統之總輸出為各輸入單獨作用時之線性疊加： $C(s) = T_R(s)R(s) + T_N(s)N(s)$ 欲使輸出 $C(s)$ 完全不受雜訊 $N(s)$ 影響，其充分必要條件為雜訊對輸出之閉迴路轉移函數恆等於零： $T_N(s) = \left. \frac{C(s)}{N(s)} \right|_{R(s)=0} = 0$

2. 干擾消除（Disturbance Rejection）與解耦條件： 欲使 $T_N(s) = 0$，依梅森增益公式（Mason's Gain Formula），分子項（各前向路徑增益乘積和）必須為零。這代表雜訊傳遞至輸出端必須存在兩條大小相等、符號相反之路徑互相抵消（即前饋補償機制），或者雜訊傳播路徑上的增益直接為零。

解題方法

題目圖 5 之精確相加節點（Summing Junction）與雜訊 $N(s)$ 注入位置未於文字完整標繪，依控制工程考題慣例與已知受控體 $G(s) = \frac{K(s+2)}{s(s+1)}$，分為以下典型控制架構推導：

情況一：前饋干擾抵消架構（命題常規與充分利用 $G(s)$ 資訊之主要考點）

若雜訊 $N(s)$ 作用於受控體輸出端（或干擾源），系統透過補償器 $H(s)$ 引入至前端負回授比較節點進行主動抵消：

1. 令參考輸入 $R(s) = 0$。
2. 雜訊至輸出的路徑包含兩條：

• 經由前端負回授節點、受控體 $G(s)$ 抵達輸出：增益為 $-H(s)G(s)$。
• 雜訊直接注入輸出端：增益為 $+1$。

3. 輸出 $C(s)$ 與雜訊 $N(s)$ 之關係式為： $C(s) = [1 - G(s)H(s)] N(s)$
4. 欲使輸出不受雜訊影響，令其轉移函數為零： $1 - G(s)H(s) = 0 \implies H(s) = \frac{1}{G(s)}$
5. 將已知之 $G(s) = \frac{K(s+2)}{s(s+1)}$ 代入： $H(s) = \frac{s(s+1)}{K(s+2)} = \frac{s^2 + s}{K(s+2)}$ （若前端相加節點設計為正號相加，則 $H(s) = -\frac{s(s+1)}{K(s+2)}$）。

核心觀念

本題旨在測驗工業控制與機電整合安全迴路中的​「失效安全原則」（Fail-Safe Design）​及開關接點（NO 與 NC）在警報與保護系統上的選用依據。

1. 接點定義：

• 常開型（a 接點，Normally Open, NO）：在感測器無外力、無激磁或被測物理量處於設定門檻內時，接點呈「斷開」（Open）狀態；當達到觸發條件時，接點「閉合」（Closed）導通。
• 常閉型（b 接點，Normally Closed, NC）：在無觸發狀態下，接點維持「閉合」（Closed）導通狀態；當達到觸發條件時，接點「斷開」（Open）。

2. 失效安全原則（Fail-Safe）： 系統在任何元件故障（如斷線、短路、停電、機構卡死）發生時，控制迴路必須能自主趨向能量最低、最穩定的「安全狀態」（Safe State），絕對不可因元件失效而造成危險擴大。

解題方法

評估安全保護回路（如鍋爐超壓、緊急停止按鈕、衝剪機械安全光柵等）時，關鍵切入點為​「電氣迴路的失效模式影響分析」（FMEA），特別是「斷線」（Wire Breakage）與「斷電」（Power Failure）發生時的系統行為：

1. 常態運作（壓力正常）： 安全設計要求採用「閉路通電監視」（Closed-circuit principle）。感測器在正常狀態下持續維持迴路導通，使控制單元（PLC 輸入模組或安全繼電器）持續接收高電位信號，確認迴路完好且壓力未超標。
2. 超壓動作（危險狀態）： 當鍋爐內部壓力超過設定上限值時，壓力感測機構動作，接點切斷（由導通變為斷開），控制迴路因失去信號而立刻觸發緊急洩壓電磁閥開啟、中斷燃燒器供料或發出警報。
3. 線路故障狀態（線路斷裂／端子鬆脫／電源失效）： 若現場環境發生信號線被扯斷、老鼠咬斷、端子鬆脫或控制電源故障，迴路同樣會立刻由導通轉為「斷開」。系統會將此「斷線」視同「超壓異常」，立即導向安全停機保護，避免設備在失去監視狀態下盲目加壓。

選項分析

針對題目所問「常開型（NO）」與「常閉型（NC）」兩種配置進行工程安全分析：