107 高普考高考二級 農業機械 高等農機設計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查機械元件在「複合負載」（Combined Loading）作用下的三維應力分析與延性材料破壞理論。

1. 基本截面幾何性質：

• 實心圓棒截面積：$A = \frac{\pi d^2}{4}$
• 截面二次矩（慣性矩）：$I = \frac{\pi d^4}{64}$
• 極慣性矩：$J = \frac{\pi d^4}{32} = 2I$
• 截面模數（抗彎）：$Z = \frac{I}{c} = \frac{\pi d^3}{32}$
• 極截面模數（抗扭）：$Z_p = \frac{J}{c} = \frac{\pi d^3}{16}$

2. 內力與應力狀態分析：

• 正向力 $P$：在截面上產生均勻軸向正應力 $\sigma_{\text{axial}} = \frac{P}{A}$。
• 垂直力 $F$：在固定端產生最大彎矩 $M = F \cdot L$ 與橫向剪力 $V = F$。
• 彎曲正應力：$\sigma_{\text{bending}} = \frac{M y}{I}$。頂部 $A$ 點處距離中性軸最遠（$y = +c$），受最大拉應力；側面 $B$ 點位於中性軸上（$y = 0$），彎曲應力為零。
• 橫向剪應力：圓形截面表面邊界處剪應力為零（$A$ 點處 $\tau_V = 0$）；中性軸處最大（$B$ 點處 $\tau_V = \frac{4V}{3A}$）。
• 扭矩 $T$：在外表面產生均勻的最大扭轉剪應力 $\tau_{\text{torsion}} = \frac{T c}{J} = \frac{T}{Z_p}$。

3. 時變能理論（Distortion Energy Theory, DET，又稱 von Mises 理論）：

• 適用於延性金屬材料，以降伏強度 $S_y$ 作為破壞準則（抗拉強度 $S_{ut}$ 為干擾資訊）。
• 對於處於單軸正應力 $\sigma_x$ 與剪應力 $\tau_{xy}$（或 $\tau_{xz}$）之平面應力元素，von Mises 等效應力（von Mises stress）公式為： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau^2}$
• 安全係數定義： $n = \frac{S_y}{\sigma'}$

解題方法

一、幾何尺寸與外力換算

• 直徑 $d = 18\ \mathrm{mm}$，半徑 $c = 9\ \mathrm{mm}$
• 長度 $L = 75\ \mathrm{mm}$
• 截面積： $A = \frac{\pi (18)^2}{4} = 81\pi \approx 254.47\ \mathrm{mm^2}$
• 截面模數： $Z = \frac{\pi (18)^3}{32} = 182.25\pi \approx 572.56\ \mathrm{mm^3}$
• 極截面模數： $Z_p = \frac{\pi (18)^3}{16} = 364.5\pi \approx 1145.11\ \mathrm{mm^3}$
• 固定端內力：
• 軸力 $P = 6\ \mathrm{kN} = 6000\ \mathrm{N}$
• 彎矩 $M = F \cdot L = 450\ \mathrm{N} \times 75\ \mathrm{mm} = 33750\ \mathrm{N\cdot mm}$
• 扭矩 $T = 35\ \mathrm{N\cdot m} = 35000\ \mathrm{N\cdot mm}$
• 剪力 $V = F = 450\ \mathrm{N}$

二、基本應力分量計算

1. 軸向應力： $\sigma_{\text{axial}} = \frac{P}{A} = \frac{6000}{81\pi} \approx 23.58\ \mathrm{MPa}$
2. 最大彎曲應力（發生於外緣）： $\sigma_{\text{bending}} = \frac{M}{Z} = \frac{33750}{182.25\pi} \approx 58.95\ \mathrm{MPa}$
3. 扭轉剪應力（發生於外圓周）： $\tau_{\text{torsion}} = \frac{T}{Z_p} = \frac{35000}{364.5\pi} \approx 30.57\ \mathrm{MPa}$
4. 中性軸處橫向剪應力： $\tau_V = \frac{4V}{3A} = \frac{4 \times 450}{3 \times 81\pi} = \frac{600}{81\pi} \approx 2.36\ \mathrm{MPa}$

三、$A$ 點之應力狀態與安全係數

• 位置特性：$A$ 點位於 $y$ 軸正上方最外緣（$y = +c$）。
• 應力分量：
• 正應力由軸向拉力與彎曲拉應力疊加：

核心觀念

本題屬於機械設計與機電整合領域之「導螺桿直線傳動與減速傳動系統」設計題，核心觀念包含：

1. 螺桿傳動運動學：單軸螺桿每旋轉一圈（$1\ \mathrm{rev}$），滑台沿軸向直線位移一個導程（未特別說明線數時，導程 $L$ 等於螺距 $P$）。由此可建立滑台前進速度 $v$、螺桿轉速 $N_s$ 與螺距 $P$ 之間的關係： $v = N_s \times P$
2. 減速比定義：減速機之減速比 $i$ 為輸入端（驅動馬達）轉速 $N_m$ 與輸出端（螺桿）轉速 $N_s$ 之比值： $i = \frac{N_m}{N_s}$
3. 減速機之轉矩與機械效率關係：減速過程中輸出轉矩放大，但受機械摩擦損失影響。機械效率 $\eta$ 定義為輸出功率與輸入功率之比： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{T_{\text{out}} \cdot \omega_{\text{out}}}{T_{\text{in}} \cdot \omega_{\text{in}}} = \frac{T_{\text{out}}}{T_{\text{in}} \cdot i}$ 故由負載（輸出端）反推馬達（輸入端）所需轉矩為： $T_m = T_{\text{in}} = \frac{T_{\text{out}}}{i \cdot \eta}$
4. 旋轉機械功率計算：角速度 $\omega = \frac{2\pi N}{60}\ (\mathrm{rad/s})$，功率 $P = T \cdot \omega$（單位：$\mathrm{W} = \mathrm{N\cdot m \cdot rad/s}$）。

解題方法

（一）螺桿轉速計算

1. 計算滑台直線前進速度 $v$： 滑台行走距離 $S = 80\ \mathrm{mm}$，所需時間 $t = 40\ \mathrm{s}$： $v = \frac{S}{t} = \frac{80\ \mathrm{mm}}{40\ \mathrm{s}} = 2\ \mathrm{mm/s}$ 換算為每分鐘行走距離： $v = 2\ \mathrm{mm/s} \times 60\ \mathrm{s/min} = 120\ \mathrm{mm/min}$

2. 計算螺桿轉速 $N_s$： 螺桿螺距 $P = 10\ \mathrm{mm}$，每轉一圈直線位移 $10\ \mathrm{mm}$： $N_s = \frac{v}{P} = \frac{120\ \mathrm{mm/min}}{10\ \mathrm{mm/rev}} = 12\ \mathrm{rpm}$

（二）選用減速機之減速比

1. 直流馬達實際轉速 $N_m = 720\ \mathrm{rpm}$，螺桿所需轉速 $N_s = 12\ \mathrm{rpm}$。
2. 理論所需減速比 $i$： $i = \frac{N_m}{N_s} = \frac{720\ \mathrm{rpm}}{12\ \mathrm{rpm}} = 60$
3. 對照題目所附減速機規格表： 「第三組」減速比規格中包含 $60$（數列：$50, 60, 75, \dots$），故選用之減速比為 $60$（或記為 $60:1$）。

（三）驅動馬達之轉矩計算

1. 減速比 $i = 60$ 屬於「第三組」，對應之減速機效率為 $\eta = 66\% = 0.66$。
2. 螺桿端所需之負載轉矩（輸出轉矩）$T_{\text{screw}} = 2\ \mathrm{N\cdot m}$。
3. 驅動馬達端所需轉矩（輸入轉矩）$T_m$：

核心觀念

1. 輪系值（Train Value, $e$）之定義： 輪系值定義為輪系中「末輪（從動軸）轉速」與「首輪（主動軸）轉速」之比值： $e = \frac{n_{\text{末}}}{n_{\text{首}}} = \frac{\omega_{\text{末}}}{\omega_{\text{首}}}$ 對於固定軸輪系（定軸輪系），輪系值可表示為主動齒輪齒數連乘積與從動齒輪齒數連乘積之比，並乘上方向係數： $e = (-1)^m \frac{\prod Z_{\text{主動}}}{\prod Z_{\text{從動}}}$ 其中：

• $Z_{\text{主動}}$：各對傳動中之主動齒輪齒數。
• $Z_{\text{從動}}$：各對傳動中之從動齒輪齒數。
• $m$：外嚙合齒輪副的總對數。
• $(-1)^m$：表示轉向關係。負號（$-$）代表末輪旋轉方向與首輪相反；正號（$+$）代表末輪與首輪旋轉方向相同。

2. 齒數邊界條件與級數限制： 題目限制各齒輪之齒數範圍為 $20 \le Z \le 80$。

• 單對外嚙合齒輪之最大速比為： $i_{\max} = \frac{Z_{\max}}{Z_{\min}} = \frac{80}{20} = 4$
• 由於輪系值之絕對值 $|e| = 14 > 4$，絕對無法以單對齒輪達成，必須採用複式輪系（Compound Gear Train）。
• 兩級複式輪系之最大可能傳動比為 $4 \times 4 = 16$。因 $14 \le 16$，故採用兩級傳動副即可滿足數值要求。

3. 轉向（負號）之實現機制： 輪系值要求為 $-14$，負號代表輸出與輸入旋轉方向相反。

• 若採用純兩級外嚙合，外嚙合對數 $m = 2$，轉向係數為 $(-1)^2 = +1$（同向），不符題意。
• 解決負號之標準機構配置有二：
• 配置一（兩級複式＋惰輪）：在其中一級加入一中間「惰輪（Idler Gear）」，使外嚙合總對數變為 $m = 3$，轉向係數為 $(-1)^3 = -1$。
• 配置二（三級複式輪系）：拆分成三對外嚙合齒輪副，外嚙合總對數 $m = 3$，自然實現反向。

解題方法

本題以構造最緊湊、齒輪總數最精簡的「兩級複式輪系＋惰輪」為主要解法，並補充純外嚙合之「三級複式輪系」配置。

方法一：兩級複式輪系加惰輪（標準首選解）

步驟一：傳動比分解 將目標數值 $14$ 分解為兩個介於合理傳動範圍（$\le 4$）之因子： $14 = 3.5 \times 4 = \frac{7}{2} \times \frac{4}{1}$

步驟二：擴分求取各齒輪齒數（滿足 $20 \le Z \le 80$）

1. 第一級齒輪副（傳動比 $3.5$）： $\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{7 \times 10}{2 \times 10} = \frac{70}{20}$ 取主動齒輪 $Z_1 = 70$ 齒，從動齒輪 $Z_2 = 20$ 齒。兩者均在 $20 \sim 80$ 之間。
2. 第二級齒輪副（傳動比 $4$）： $\frac{Z_3}{Z_4} = \frac{4 \times 20}{1 \times 20} = \frac{80}{20}$ 取中間軸同軸主動齒輪 $Z_3 = 80$ 齒，最終從動齒輪 $Z_4 = 20$ 齒。兩者均在 $20 \sim 80$ 之間。
3. 加入惰輪（Idler Gear）換向： 在第一級（$Z_1$ 與 $Z_2$）之間置入惰輪 $Z_i$。惰輪齒數不影響傳動比絕對值，取範圍內標準齒數： $Z_i = 20$

步驟三：輪系值驗算 $e = (-1)^3 \frac{Z_1 \cdot Z_i \cdot Z_3}{Z_i \cdot Z_2 \cdot Z_4} = - \frac{70 \times 20 \times 80}{20 \times 20 \times 20} = - \left( \frac{70}{20} \times \frac{80}{20} \right) = - (3.5 \times 4) = -14$ 數值與轉向完全符合題目要求。

(註：若依農機實務應用視為減速輪系，即減速比為 14，僅需將主動齒輪與從動齒輪對調，即取 $Z_1 = 20, Z_2 = 70, Z_3 = 20, Z_4 = 80, Z_i = 20$，其齒數組合完全對稱相同。)

輪系機構示意圖（方法一）

下圖為此兩級複式輪系（含惰輪）之運動簡圖，各軸均以軸承支承於機架上：

核心觀念

本題旨在測驗農業機械油壓動力系統中溢流閥（Relief Valve，洩壓閥）之壓力－流量特性、油壓功率與能量損失計算、流量守恆律，以及系統安全迴路設計之核心原理：

1. 溢流閥特性曲線與開啓壓力： 直動式或先導式溢流閥在開啓前無洩漏；當系統壓力上升至開啓壓力（Cracking Pressure, $p_c$）​時，閥口微開開始溢流；當系統壓力繼續攀升至調定壓力／全流壓力（Full-Flow / Set Pressure, $p_s$）​時，泵浦全額流量皆由此閥溢流洩回油箱。在工作線性區段內，溢流流量 $Q_R$ 與閥前後壓差呈線性正比關係。
2. 節點流量守恆定律： 容積式油壓泵浦（定量泵）輸出之總流量 $Q_{pump}$ 在主迴路節點分流為兩部分：一部分經溢流閥回油箱（$Q_R$），剩餘部分供給執行元件（油壓缸，流量 $Q_{cyl}$）： $Q_{pump} = Q_R + Q_{cyl}$
3. 流體功率與溢流損失計算： 流體壓力能經節流閥口降至常壓（油箱油壓視為 $0\ \mathrm{kgf/cm^2}$）時，全部壓力能皆轉化為油液熱能散失，其功率損失定義為： $W_{loss} = p \times Q_R$ 在公制工程單位制下，壓力 $p$（$\mathrm{kgf/cm^2}$）與流量 $Q$（$\mathrm{lpm}$）換算為千瓦（$\mathrm{kW}$）之標準公式為： $W\ (\mathrm{kW}) = \frac{p\ (\mathrm{kgf/cm^2}) \times Q\ (\mathrm{lpm})}{612}$ （以國際標準單位制推導：$W = p\ [\mathrm{Pa}] \times Q\ [\mathrm{m^3/s}]$，其中 $1\ \mathrm{kgf/cm^2} \approx 9.807 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$）。
4. 溢流閥之系統功能： 容積式泵浦（如齒輪泵、柱塞泵）具不可壓縮性與正排量輸出特性，若執行元件停滯或管路封閉，管路壓力將呈幾何級數飆升直至破壞。安裝溢流閥具備安全限制、系統定壓、建立背壓與低壓卸載四大功能。

解題方法

（一）求溢流損失功率（$\mathrm{kW}$）

1. 由圖形特性判讀溢流量 $Q_R$： 依考卷附圖之溢流閥壓力－流量特性曲線，縱軸為壓力 $p$（$\mathrm{kgf/cm^2}$），橫軸為流量 $Q$（$\mathrm{lpm}$）。

• 閥開始開啓時之開啓壓力為 $p_c = 85\ \mathrm{kgf/cm^2}$（此時 $Q = 0\ \mathrm{lpm}$）。
• 泵浦流量 $Q_{pump} = 50\ \mathrm{lpm}$ 全部溢流時之調定壓力為 $p_s = 90\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 閥之升壓超越量（Pressure Override）為 $\Delta p = p_s - p_c = 90 - 85 = 5\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

特性曲線於工作區間呈現線性斜率關係： $\frac{Q_R}{Q_{max}} = \frac{p - p_c}{p_s - p_c}$ 當泵浦出口壓力 $p = 88\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，通過溢流閥之洩油流量 $Q_R$ 為： $Q_R = 50 \times \frac{88 - 85}{90 - 85} = 50 \times \frac{3}{5} = 30\ \mathrm{lpm}$

2. 計算溢流損失功率 $W_{loss}$：

• 方法一：國際標準單位（SI 制）計算 取標準重力加速度 $g = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$（或工程取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$）： $p = 88\ \mathrm{kgf/cm^2} = 88 \times 9.80665 \times 10^4\ \mathrm{N/m^2} \approx 8.630 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$ $Q_R = 30\ \mathrm{lpm} = \frac{30 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{60\ \mathrm{s}} = 5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$ $W_{loss} = p \times Q_R = 8.630 \times 10^6\ \mathrm{Pa} \times 5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s} = 4315\ \mathrm{W} \approx 4.315\ \mathrm{kW}$ （若以 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 計算，則 $p = 8.624 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$，$W_{loss} = 4312\ \mathrm{W} = 4.312\ \mathrm{kW}$）