108 高普考高考二級 農業機械 高等農機設計學 考古題詳解

核心觀念

本題考剛性構件由兩根不同材料的桿件懸吊時，如何結合變形相容條件與靜力平衡求兩桿間距。

元件 $W$ 維持水平，代表兩吊桿下端的垂直位移相同，因此兩桿伸長量相等。軸向桿件的伸長量為

兩桿長度相同，且伸長量相同，所以其拉力比為

其中下標 $a$ 代表鋁桿，$s$ 代表鋼桿。

解題方法

圖中鋁桿距離 $W$ 左端 $150\ \mathrm{mm}$，鋼桿與鋁桿的間距為 $x$；$W$ 長 $900\ \mathrm{mm}$，且截面均勻，因此其重量作用於中點，即距左端 $450\ \mathrm{mm}$。

設鋁桿、鋼桿拉力分別為 $P_a$、$P_s$。兩桿截面積為

由相同伸長量及相同桿長：

核心觀念

本題主要測驗《高等農機設計學》中「動力螺旋（Power Screw / 螺旋起重機）」的機構傳動、受力平衡與效率分析。涉及的核心定義與公式如下：

1. 導程（Lead, $L$）與節距（Pitch, $p$）之關係： $L = n \times p$ 其中 $n$ 為螺紋線數（雙線螺紋則 $n = 2$）。
2. 導程角（Lead Angle, $\alpha$）： $\tan \alpha = \frac{L}{\pi d_m}$ 其中 $d_m$ 為螺桿之節圓直徑（Pitch Diameter）。
3. 螺牙摩擦角（Friction Angle, $\phi$）： $\tan \phi = \mu$ 其中 $\mu$ 為螺牙接觸面之摩擦係數。
4. 舉起負荷所需之螺桿轉矩（Torque, $T$）： 若不計托座（Collar）軸端摩擦，依方螺紋斜面受力平衡： $T = W \frac{d_m}{2} \tan(\alpha + \phi) = W \frac{d_m}{2} \left( \frac{\tan \alpha + \tan \phi}{1 - \tan \alpha \tan \phi} \right)$
5. 手柄施力（Effort, $F$）與轉矩關係： $T = F \times R \implies F = \frac{T}{R}$ 其中 $R$ 為手柄施力臂長度。
6. 機械效率（Mechanical Efficiency, $\eta$）： 輸出功（理想無摩擦功）與輸入功（實際施力功）之比： $\eta = \frac{W \cdot L}{2\pi \cdot T} = \frac{\tan \alpha}{\tan(\alpha + \phi)}$

解題方法

已知條件整理

• 負荷重量 $W = 204\ \mathrm{kg} = 204\ \mathrm{kgf}$（若取重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，則 $W = 1999.2\ \mathrm{N}$）
• 施力臂長度 $R = 30\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{mm} = 0.3\ \mathrm{m}$
• 螺桿節圓直徑 $d_m = 30\ \mathrm{mm} = 0.03\ \mathrm{m}$
• 螺紋線數 $n = 2$（雙線螺紋）
• 節距 $p = 5\ \mathrm{mm}$
• 摩擦係數 $\mu = 0.2$
• 註：題目未特別指定螺紋牙型與軸端軸承狀況，依公職考試慣例，視為方螺紋（Square Thread，牙形半角 $\theta_n = 0^\circ$）且軸端托座摩擦忽略不計（$T_c = 0$）。

（1）計算舉起該物體需施加之力量

步驟一：計算導程 $L$ $L = n \times p = 2 \times 5\ \mathrm{mm} = 10\ \mathrm{mm}$

步驟二：計算導程角正切值 $\tan \alpha$ 與摩擦角正切值 $\tan \phi$ $\tan \alpha = \frac{L}{\pi d_m} = \frac{10}{\pi \times 30} = \frac{1}{3\pi} \approx 0.1061$ $\tan \phi = \mu = 0.2$

步驟三：計算合成角正切值 $\tan(\alpha + \phi)$ $\tan(\alpha + \phi) = \frac{\tan \alpha + \tan \phi}{1 - \tan \alpha \tan \phi} = \frac{\frac{1}{3\pi} + 0.2}{1 - 0.2 \times \frac{1}{3\pi}} = \frac{1 + 0.6\pi}{3\pi - 0.2}$ 代入 $\pi \approx 3.1416$： $\tan(\alpha + \phi) = \frac{1 + 1.88496}{9.42478 - 0.2} = \frac{2.88496}{9.22478} \approx 0.31274$

步驟四：計算螺桿驅動轉矩 $T$ 以重力制單位計算： $T = W \times \frac{d_m}{2} \times \tan(\alpha + \phi) = 204\ \mathrm{kgf} \times 15\ \mathrm{mm} \times 0.31274 = 956.98\ \mathrm{kgf\cdot mm} \approx 0.957\ \mathrm{kgf\cdot m}$

步驟五：計算手柄端所需之施力 $F$

核心觀念

本題考查齒輪變速箱的動力路徑與減速比。兩齒輪外嚙合時，轉速比與齒數成反比：

同一根軸上的齒輪轉速相同，因此可將各段齒輪比相乘，求得總減速比。

解題方法

由圖判讀，第一檔的動力先經輸入軸齒輪 2 傳至中間軸齒輪 3；齒輪 3 與齒輪 5 同在中間軸上，再由齒輪 5 帶動輸出軸上的齒輪 9。

因此第一檔動力路徑為：

齒輪 2、3 的減速比為：

核心觀念

1. 滾動軸承在變動負荷下的疲勞壽命評估 農業機械常在惡劣且多變的環境下作業，軸承承受的載重常隨工況（如震動負荷、穩定負荷）週期性切換。當軸承在不同載重水準下運轉時，各工況對滾動接觸表面所產生的接觸應力不同，造成材料疲勞損傷速率不同。

2. 帕姆格倫－邁納線性累積疲勞損傷假說（Palmgren-Miner's Cumulative Fatigue Damage Rule） 依據 ISO 281 及機械設計原理，滾動軸承在階段性變動負荷下的累積疲勞壽命，遵循線性疲勞損傷疊加假說：

• 設軸承在第 $i$ 種單一負荷下單獨運轉之額定壽命為 $L_i$（小時）。
• 軸承在第 $i$ 種負荷下的實際運轉時數為 $t_i$（小時）。
• 該工況所消耗的壽命分率（損傷度）為 $D_i = \frac{t_i}{L_i}$。
• 失效準則（Failure Criterion）：當總累積疲勞損傷度達到 $1$（即 $100\%$ 壽命耗盡）時，軸承發生疲勞剝落失效： $\sum_{i=1}^{k} \frac{t_i}{L_i} = 1$

3. 轉速條件與時間比例轉換 題目明載「運轉速度均相同」，代表轉速 $n$（$\text{rpm}$）為定值。因總轉數 $N = 60 \cdot n \cdot t$ 與操作時數 $t$ 成正比，疲勞損傷公式中的「轉數比」可直接等價轉換為「運轉時數比」，無需另行換算轉速。

解題方法

步驟一：整理已知條件與定義符號

• 震動負荷單獨運轉之額定壽命：$L_v = 100 \text{ 小時}$。
• 穩定負荷單獨運轉之額定壽命：設為 $L_s$（小時，待求）。
• 軸承在複合工況（循環運轉）達到壽命時的操作時數：
• 震動負荷運轉時數 $t_v = 40 \text{ 小時}$。
• 穩定負荷運轉時數 $t_s = 120 \text{ 小時}$。

步驟二：推導穩定負荷下的連續運轉全壽命 $L_s$

將複合工況之運轉時數代入邁納累積損傷公式： $\frac{t_v}{L_v} + \frac{t_s}{L_s} = 1$

代入數值： $\frac{40}{100} + \frac{120}{L_s} = 1$

計算震動負荷已消耗之壽命比例： $0.4 + \frac{120}{L_s} = 1$

$\frac{120}{L_s} = 1 - 0.4 = 0.6$

求得該軸承在穩定負荷下單獨連續操作之壽命 $L_s$： $L_s = \frac{120}{0.6} = 200 \text{ 小時}$

步驟三：評估穩定負荷連續操作 $180$ 小時之狀態

題目欲評估「在穩定負荷下連續操作 $180$ 小時是否會達到其壽命」：

1. 比較操作時間與額定壽命：

• 實際操作時數 $t = 180 \text{ 小時}$。
• 穩定負荷下的連續操作全壽命 $L_s = 200 \text{ 小時}$。
• 因 $t = 180 < L_s = 200$，操作時間未達壽命上限。