108 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量單一樣本平均數之假設檢定與推論統計，主要涵蓋三大核心觀念：

1. 單一樣本學生氏 $t$ 檢定（One-sample Student's $t$-test）： 母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數小於 30（$n = 16$），在母體呈常態分配之假設下，以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差，檢定統計量服從自由度 $df = n - 1$ 之學生氏 $t$ 分配： $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$
2. 單尾檢定之假設建立原則： 研究者欲驗證或尋求支持的主張（例如「土壤為偏酸性，即 $\mu < 7.0$」）必須置於對立假設（$H_1$）；維持現狀或無效應之基準則置於虛無假設（$H_0$）。
3. 假設檢定與信賴區間之對偶性（Duality）： 水準為 $\alpha$ 的單尾假設檢定，與水準為 $1 - \alpha$ 的單邊信賴界限在決策上具備完全等價的對偶關係。左尾檢定（$H_1: \mu < \mu_0$）對應於單邊信賴上限（One-sided confidence upper bound, $U$）：若 $\mu_0 > U$，表示在 $1-\alpha$ 信賴水準下母體參數之可能上限仍低於 $\mu_0$，故應棄卻 $H_0$。

解題方法

（一）學生氏 $t$ 顯著性檢定與結果詮釋

1. 建立統計假設： 研究人員欲探討此試驗田是否為偏酸性土壤（$\mu < 7.0$），故採左尾檢定（Left-tailed test）： $H_0: \mu \ge 7.0 \quad (\text{或 } H_0: \mu = 7.0)$ $H_1: \mu < 7.0$

2. 計算檢定統計量（Test Statistic）： 已知樣本數 $n = 16$、樣本平均值 $\bar{x} = 6.32$、樣本標準差 $s = 1.0$，自由度為： $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$ 平均值之標準誤（Standard Error, $SE$）為： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.0}{\sqrt{16}} = \frac{1.0}{4} = 0.25$ 計算 $t$ 檢定統計量值 $t^*$： $t^* = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{6.32 - 7.0}{0.25} = \frac{-0.68}{0.25} = -2.72$

3. 決定顯著水準與拒絕域（Rejection Region）： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$、自由度 $df = 15$ 的左尾檢定下，臨界值為 $-t(0.95, 15) = -1.753$。 拒絕域定義為： $C = \{t \mid t < -1.753\}$

4. 檢定決策與結果詮釋： 因為檢定統計量 $t^* = -2.72 < -1.753$（落入拒絕域），故在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，棄卻虛無假設 $H_0$。 結果詮釋：有充分的統計證據顯示，該試驗田土壤之平均 pH 值顯著小於 7.0，可判定該試驗田為偏酸性土壤。

（二）0.95 單邊信賴上限計算與檢定詮釋

1. 推導並計算 $\mu$ 的 $0.95$ 單邊信賴上限： 在 $df = 15$ 下，母體平均數 $\mu$ 之 $0.95$ 單邊信賴區間為 $(-\infty, U]$，其中單邊信賴上限 $U$ 公式為：

核心觀念

本題考查隨機完全區集設計（RCBD）：當試驗田存在已知的環境梯度時，將田區依梯度方向劃分成若干區集，使同一區集內的試驗環境盡量均勻；每個區集都放入全部處理，並在各區集內分別隨機排列處理。

本題有 5 個毛豆品種、3 個重複，因此每個區集配置 5 個品種各 1 次，共有 $5\times3=15$ 個試區。題圖顯示土壤肥力由西向東增加，所以區集應沿南北向延伸，並由西向東排列，讓同一區集內的肥力差異較小。

（一）設計步驟與田間配置

1. 將試驗田劃分為 3 個區集，依西至東排列；每個區集內再分成 5 個大小相同的試區。
2. 在每個區集內，將 A、B、C、D、E 五個品種各配置一次。
3. 對每個區集分別將五個品種隨機排列，使三個區集的排列彼此獨立。
4. 依配置圖標示試區，並使各品種採用一致的播種、管理及收穫方式。

以下為一種合法的隨機排列示例。假設圖面上方為北方，每個區集內的試區由北向南排列：

 西（貧瘠） 東（肥沃）
 ┌──────────┬──────────┬──────────┐
北 │ 區集 1 │ 區集 2 │ 區集 3 │
 ├──────────┼──────────┼──────────┤
 │ A │ D │ C │
 │ C │ A │ E │
 │ E │ B │ D │
 │ B │ E │ A │
南 │ D │ C │ B │
 └──────────┴──────────┴──────────┘

每個區集均含 A、B、C、D、E 各一次；表中排列是隨機化後的一種可能結果。區集沿南北向延伸，區集彼此沿東西向排列，以配合題示的東西向肥力梯度。

（二）變方分析表與處理平方和

令 $y_{ij}$ 表示第 $i$ 個品種在第 $j$ 個區集的試區產量，其中 $i=1,\ldots,5$，$j=1,\ldots,3$。RCBD 的模型可寫為：

核心觀念

1. 裂區設計（Split-Plot Design）之結構與特性：

• 裂區設計屬於兩階段隨機化（Two-stage randomization）​的試驗設計，適用於試驗中包含兩個或兩個以上試因，但其中某些試因所需的試區面積較大或施作技術不易頻繁更換（如耕作法、灌溉、肥料施用），而另一試因所需面積較小且容易更動（如品種、播種密度）。
• 主區試因（Main-plot factor）：處理單元為「主區」，因受限於操作規模，其試驗機差（Error a）通常較大，檢定靈敏度較低。本題為主區試因 $A$（肥料），水準數 $a = 2$（F1：有機肥料、F2：化學肥料）。
• 副區試因（Sub-plot factor）：處理單元為「副區」，於主區內進一步劃分，副區間距離近、環境異質性小，其試驗機差（Error b）較小，檢定靈敏度較高。本題為副區試因 $B$（水稻品種），水準數 $b = 4$（V1、V2、V3、V4）。
• 重複（Replication / Block）：重複數 $r = 3$，每個重複構成一個完全區集，內含全部 $a \times b = 2 \times 4 = 8$ 種處理組合。

2. 自由度分割公式：

• 總試區數 $N = r \times a \times b = 3 \times 2 \times 4 = 24$。
• 總自由度：$DF_{\text{Total}} = rab - 1$。
• 主區部分：
• 區集自由度：$DF_{\text{Block}} = r - 1$。
• 主區試因（肥料）自由度：$DF_A = a - 1$。
• 主區機差（Error a）自由度：$DF_{\text{Error(a)}} = (r - 1)(a - 1)$。
• 副區部分：
• 副區試因（品種）自由度：$DF_B = b - 1$。
• 肥料與品種交感（$A \times B$）自由度：$DF_{A \times B} = (a - 1)(b - 1)$。
• 副區機差（Error b）自由度：$DF_{\text{Error(b)}} = a(r - 1)(b - 1)$。

解題方法

（一）田間試驗執行步驟與田間配置圖

1. 試驗執行步驟：

• 步驟一：劃分區集（Blocks） 根據試驗田的土壤肥力、排水或地形坡度梯度方向，垂直於環境變異梯度劃分出 3 個完全區集（Block I、Block II、Block III）。區集內部環境力求均勻，使區集間吸納田間的主要環境變異。
• 步驟二：主區劃分與第一階段隨機化（配置主區試因：肥料） 將每個區集各均分為 2 個主區。在各區集內部，利用抽籤或亂數表，將 2 種肥料處理（F1：有機肥、F2：化肥）隨機指定給這 2 個主區。每一區集內皆獨立進行隨機化。
• 步驟三：副區劃分與第二階段隨機化（配置副區試因：品種） 將每一個主區再細分為 4 個面積相等的副區。在各個主區內部，利用抽籤或亂數表，將 4 個水稻品種（V1、V2、V3、V4）獨立隨機分派到該主區內的 4 個副區中。全試驗共計 $3 \times 2 \times 4 = 24$ 個副區（基本試區）。

2. 田間配置圖（Field Layout）： 田間配置圖採用雙重隨機配置，下方展示一組標準的隨機分派實例：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 【 田 間 配 置 圖】 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 【區集 I】 (Block I) │
│ ┌───────────────────────┬───────────────────────┐ │
│ │ 主區 1: F2 (化學肥料) │ 主區 2: F1 (有機肥料) │ │
│ ├───┬───┬───┬───┼───┬───┬───┬───┤ │
│ │ V3│ V1│ V4│ V2│ V2│ V4│ V1│ V3│ (副區隨機) │
│ └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘ │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 【區集 II】 (Block II) │
│ ┌───────────────────────┬───────────────────────┐ │
│ │ 主區 1: F1 (有機肥料) │ 主區 2: F2 (化學肥料) │ │
│ ├───┬───┬───┬───┼───┬───┬───┬───┤ │
│ │ V1│ V3│ V2│ V4│ V4│ V2│ V3│ V1│ (副區隨機) │
│ └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘ │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 【區集 III】 (Block III) │
│ ┌───────────────────────┬───────────────────────┐ │
│ │ 主區 1: F2 (化學肥料) │ 主區 2: F1 (有機肥料) │ │
│ ├───┬───┬───┬───┼───┬───┬───┬───┤ │
│ │ V2│ V4│ V1│ V3│ V3│ V1│ V4│ V2│ (副區隨機) │
│ └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

核心觀念

本題評量考生對於共變異數分析（Analysis of Covariance, ANCOVA）​在田間試驗之應用與計算推導能力，核心包含以下觀念與公式：

1. 完全隨機設計（CRD）之田間佈設原理：

• 試驗基本原則包含「重複」（Replication）與「隨機化」（Randomization）。
• 在試驗單位（小區）受害程度不均時，若無明顯空間梯度可設為區集（Block），可改採 CRD 並引入施藥前之指標作為共變因子（Covariate, $X$），利用統計控制取代田區劃分之局部控制（Local Control）。

2. 共變異數分析（ANCOVA）之統計模型與假設：

• 模型：$y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta(x_{ij} - \bar{x}_{..}) + e_{ij}$，其中 $i = 1, 2, \dots, t$（本題 $t=3$ 種藥劑 A、B、C）；$j = 1, 2, \dots, r$（本題 $r=3$ 重複）；總小區數 $N = tr = 9$。
• 基本假設：各處理之回歸斜率具同質性（Homogeneity of Slopes，共同斜率為 $\beta$）；共變因子 $X$ 不受處理效應影響（必須在施藥前測定）；誤差項 $e_{ij} \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。

3. 額外平方和原則（Extra Sum of Squares Principle）：

• 矯正處理平方和（Adjusted Treatment Sum of Squares, $SS_{Trt(adj)}$）係在模式中已有共變因子 $\beta$ 的條件下，檢定處理效應 $\tau_i$ 的顯著性，即 $SS(\text{Trt} \mid \beta) = SS(\text{Trt}, \beta) - SS(\beta)$。
• 計算架構奠基於「縮減模式之殘差平方和」（矯正總平方和）減去「全模式之殘差平方和」（矯正誤差平方和）。

解題方法

（一）田間試驗進行步驟與田間配置圖

1. 田間試驗執行步驟

1. 劃分試驗小區（Plots）： 在試驗田選定環境相對均質之區域，劃分為 $N = t \times r = 3 \times 3 = 9$ 個大小相同、行株距一致的試驗小區。
2. 測定施藥前共變因子觀測值（$x_{ij}$）： 於正式施藥處理前，全面調查各小區的受害程度（例如取樣調查蟲口密度、被害葉率），或測定參考試劑 R 之初期反應，記錄為共變變數 $x_{ij}$。此步驟必須在處理施用前完成，以確保 $X$ 不受各藥劑之影響。
3. 完全隨機化分派（Randomization）： 將 9 個小區依序編號 1 至 9 號。利用亂數表、抽籤或電腦隨機生成程序，將藥劑處理 A、B、C 各自隨機指派至 3 個小區，使每一小區接受任一藥劑處理的機率均等。
4. 施藥與田間管理： 各小區依照分派之藥劑配方進行施藥（A、B、C），其餘田間管理措施（如灌溉、施肥、除草）全程維持一致。
5. 測定反應量（$y_{ij}$）： 於施藥後特定調查期，調查各小區的防治效果或最終病蟲害受害程度，記錄為反應變數 $y_{ij}$。

2. 田間配置圖（以 9 個小區隨機排列為例）

在完全隨機設計下，無行、列或區集的區隔限制。田間可配置為 $3 \times 3$ 之網格矩陣（小區編號 1 至 9，括號內為隨機分派之處理代號）：

• 處理分配結果：處理 A 佔小區 2、6、7；處理 B 佔小區 1、5、9；處理 C 佔小區 3、4、8。各處理均具 3 次重複。

（二）計算矯正處理平方和（Adjusted Treatment Sum of Squares）

計算矯正處理平方和需經由計算總變異、處理間變異及誤差之平方和（SS）與交叉乘積和（Sum of Products, SP），具體推導與計算步驟如下：

步驟一：計算各項變異來源之平方和與乘積和

以校正項（Correction factor, $CF$）計算 $X$、$Y$ 的平方和與 $XY$ 的交叉乘積和：

1. 總項（Total）： $SS_{xx(T)} = \sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{r} x_{ij}^2 - \frac{(\sum\sum x_{ij})^2}{N}$ $SS_{yy(T)} = \sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{r} y_{ij}^2 - \frac{(\sum\sum y_{ij})^2}{N}$ $SP_{xy(T)} = \sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{r} x_{ij}y_{ij} - \frac{(\sum\sum x_{ij})(\sum\sum y_{ij})}{N}$

2. 處理項（Treatment, 未矯正）： $SS_{xx(Trt)} = \frac{\sum_{i=1}^{t} (\sum_{j=1}^{r} x_{ij})^2}{r} - \frac{(\sum\sum x_{ij})^2}{N}$ $SS_{yy(Trt)} = \frac{\sum_{i=1}^{t} (\sum_{j=1}^{r} y_{ij})^2}{r} - \frac{(\sum\sum y_{ij})^2}{N}$ $SP_{xy(Trt)} = \frac{\sum_{i=1}^{t} [(\sum_{j=1}^{r} x_{ij})(\sum_{j=1}^{r} y_{ij})]}{r} - \frac{(\sum\sum x_{ij})(\sum\sum y_{ij})}{N}$