107 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量費雪（R. A. Fisher）所奠定之「試驗設計三大基本原則」（Three Fundamental Principles of Experimental Design）中心思想及其統計機制。涉及之核心觀念包括：

1. 試驗設計三大原則之功能定位：

• 重複（Replication）：提供試驗誤差（Experimental Error, $\sigma^2$）的估計基礎、降低平均數標準誤（$SE = \sigma/\sqrt{r}$）、提高估計精確度並擴大推論範疇。
• 隨機（Randomization）：確保試驗誤差滿足「獨立且常態分布」（$iid$）的統計假定，消除人為與未知的系統性偏差（Systematic Bias），確保顯著性檢定（$t$ 檢定、$F$ 檢定）的有效性（Validity）。
• 區集（Blocking / 局部控制 Local Control）：將非同質的試驗材料依已知干擾因子分群，隔離外在環境干擾，自總變異中剔除區集變異，藉以降低機差均方（Mean Square Error, $MSE$），提升試驗檢定力與相對效率（Relative Efficiency）。

2. 線性統計模式與變異數分析（ANOVA）平方和分割原理：

• 完全隨機設計（CRD）：$Y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij}$，總平方和分割為 $SS_{Total} = SS_{Trt} + SS_{Error(CRD)}$。
• 隨機完全區集設計（RCBD）：$Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$，總平方和分割為 $SS_{Total} = SS_{Trt} + SS_{Block} + SS_{Error(RCBD)}$。
• 關係式：$SS_{Error(CRD)} = SS_{Block} + SS_{Error(RCBD)}$。

解題方法

本題為標準的觀念申論題，作答時須兼具「農藝田間實務」與「數理統計原理」，切入架構如下：

1. 第（一）小題：

• 適用情境：從「試驗單位（Experimental Units）之非同質性」破題。列舉田間自然梯度（土壤肥力、地勢排水、日照坡向）與人為/時空批次變異（操作員、檢測天數、種子批次、動物窩別）。
• 設置準則：立論於「區集內同質性最大化（Maximum Homogeneity Within Blocks）」與「區集間異質性最大化（Maximum Heterogeneity Between Blocks）」。田間幾何配置上，區集之分界必須「垂直於環境變異梯度」（Perpendicular to the gradient），並權衡劃分區集所損失之機差自由度（Loss of Error Degrees of Freedom）。

2. 第（二）小題：

• 採「對稱比較結構」進行論述，明確界定兩者所處理的「干擾因子性質」與「排除機制」：
• 區集：針對「已知、可辨識、可度量」之系統性干擾來源，透過「物理性分群約束」與「統計線性模式中平方和的數學剔除（Orthogonal Partitioning）」直接縮減機差。
• 隨機：針對「未知、不可抗、未量測」之殘餘干擾因子，透過「客觀機率分配」切斷處理與外在因子的伴隨關係，使潛在的系統性誤差轉化為均勻抵消的「隨機誤差（Random Error）」，從而滿足機差獨立性假設。

選項分析

本題非選擇題，為高考二級之 20 分申論題。各小題作答重點評析如下：

• 第（一）小題評分關鍵：
• 是否精確指出「試驗單位具顯著已知變異梯度或異質性」為設置前設。
• 是否清楚陳述「區集內同質、區集間異質」八字箴言。
• 是否說明田間區集排列方向與肥力梯度之正交幾何關係（區集線垂直於梯度）。
• 是否具備「自由度成本代價」的高階觀念（若環境本身均質，設區集反而因浪費機差自由度而降低檢定效率）。
• 第（二）小題評分關鍵：
• 是否點出「隨機」處理「未知/不可控因子」，機制為「消除系統偏差、確保機差滿足 $iid$ 假定」。
• 是否點出「區集」處理「已知/可控因子」，機制為「平方和自機差中抽離（$SS_{Error}$ 減少），直接縮小 $MSE$」。
• 避免僅用空泛文字敘述，輔以 ANOVA 平方和分割數學式能奠定專業給分高標。

解題技巧

1. 關鍵術語精準呈現：閱卷委員著重專業詞彙，務必寫出「局部控制」、「區集內同質」、「區集間異質」、「環境梯度」、「系統性偏差轉化為隨機誤差」、「機差均方（$MSE$）降低」。
2. 對比式表格加分：申論問答中若能在文字論述後整理「隨機 vs. 區集」比較表，可使閱卷者在數秒內掌握邏輯核心，提高得分效率。
3. 避免常見陷阱：

• 誤以為「隨機可以減小誤差變異數」：隨機化「不能」減小試驗誤差的總量，它的作用是使誤差「無偏（Unbiased）」並「滿足獨立性假定」；真正實質「縮減」機差變異數的是區集。
• 區集方向混淆：區集排列必須「垂直於梯度」，使梯度變異完全落入「區集間」，萬不可平行於梯度，否則區集內部異質性增加，失去控管效果。

【答案】

（一）應設置「區集」之情境與發揮提升試驗效率之設置原則

1. 應設置「區集」之情境

在試驗單位（Experimental Units, EUs）**存在已知、可識別或可預期的異質性（Heterogeneity）或環境梯度（Gradient）**時，應採用區集設計（如 RCBD、拉丁方格設計等）。常見情境包含：

核心觀念

1. 試驗設計架構（配對試驗與隨機完全區集設計）： 本題利用 2 個感測器（處理數 $t=2$）分別測量相同的 6 種土壤樣品（區集數 $b=6$）。由於土壤樣品來自不同地點，土壤間的異質性構成外來變異來源。將同一份土壤樣品視為一個「區集（Block）」或「對子（Pair）」，兩感測器均測量該土壤，屬於典型的配對設計（Paired Design），亦即處理數為 2 的隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）。
2. 成對 $t$ 檢定（Paired $t$-test）： 藉由計算成對差值 $d_i = B_i - A_i$，將雙變數問題轉化為單一變數 $d_i$ 的平均值檢定。自由度為 $df = n - 1 = 6 - 1 = 5$。
3. 變方分析（ANOVA）之等價性： 當處理數為 2 時，RCBD 的變方分析與成對 $t$ 檢定在數學上完全等價，滿足： $F^* = (t^*)^2 \quad \text{且} \quad F_{\alpha, 1, df_E} = (t_{\alpha/2, df_E})^2$
4. 局部控制（Local Control）與檢定力： 將土壤樣品間的差異獨立為區集平方和（$SSB$），能大幅減少機差平方和（$SSE$），避免將土壤樣品間的巨大變異混入試驗誤差中，進而提高檢定的靈敏度（Statistical Power）。

解題方法

（一）成對 $t$ 檢定（Paired $t$-test）

1. 建立假說： 設兩廠牌感測器數值之母體平均差為 $\mu_d = \mu_B - \mu_A$。

• 虛無假說 $H_0: \mu_d = 0$（兩廠牌感測器數值無顯著差異）
• 對立假說 $H_a: \mu_d \neq 0$（兩廠牌感測器數值有顯著差異）
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

2. 計算成對差值與統計量： 令 $d_i = B_i - A_i$（$i = 1, 2, \dots, 6$）：

• 土壤 1：$d_1 = 11 - 8 = 3$

• 土壤 2：$d_2 = 16 - 14 = 2$

• 土壤 3：$d_3 = 20 - 16 = 4$

• 土壤 4：$d_4 = 18 - 19 = -1$

• 土壤 5：$d_5 = 20 - 18 = 2$

• 土壤 6：$d_6 = 15 - 12 = 3$

• 差值總和：$\sum d_i = 3 + 2 + 4 + (-1) + 2 + 3 = 13$

• 差值平均：$\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{13}{6} \approx 2.167$

• 差值平方和：$\sum d_i^2 = 3^2 + 2^2 + 4^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 4 + 16 + 1 + 4 + 9 = 43$

• 差值離均差平方和（$SS_d$）： $SS_d = \sum d_i^2 - \frac{(\sum d_i)^2}{n} = 43 - \frac{13^2}{6} = 43 - \frac{169}{6} = \frac{89}{6} \approx 14.833$

• 差值樣本變異數（$s_d^2$）： $s_d^2 = \frac{SS_d}{n - 1} = \frac{89 / 6}{5} = \frac{89}{30} \approx 2.967$

• 平均差之標準誤（$s_{\bar{d}}$）： $s_{\bar{d}} = \sqrt{\frac{s_d^2}{n}} = \sqrt{\frac{89}{180}} \approx 0.7032$

3. 計算檢定統計量 $t^*$： $t^* = \frac{\bar{d} - 0}{s_{\bar{d}}} = \frac{13 / 6}{\sqrt{89 / 180}} = \frac{13 \sqrt{5}}{\sqrt{89}} \approx 3.081$

4. 統計決策：

• 自由度 $df = n - 1 = 6 - 1 = 5$。
• 雙尾檢定臨界值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 5} = 2.571$。
• 判斷：$|t^*| = 3.081 > 2.571$，落在拒絕域。
• 結論：拒絕 $H_0$。在 $\alpha = 0.05$ 顯著水準下，兩不同廠牌感測器之測量數值有顯著差異。

（二）變方分析（RCBD ANOVA）

1. 建立假說：

• 虛無假說 $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = 0$（感測器廠牌間無顯著差異）
• 對立假說 $H_a:$ 感測器廠牌間有顯著差異
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

2. 平方和計算：

• 處理數（感測器）$t = 2$，區集數（土壤樣品）$b = 6$，總觀察值數 $N = 2 \times 6 = 12$。
• 總和：$G = 187$
• 校正項（$CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{187^2}{12} = \frac{34969}{12} \approx 2914.083$
• 總平方和（$SST$）： $\sum \sum Y_{ij}^2 = (8^2 + 14^2 + 16^2 + 19^2 + 18^2 + 12^2) + (11^2 + 16^2 + 20^2 + 18^2 + 20^2 + 15^2) = 1345 + 1726 = 3071$ $SST = 3071 - 2914.083 = 156.917 \quad (df = 12 - 1 = 11)$
• 感測器處理平方和（$SSTr$）：

核心觀念

本題考查農業試驗中極為經典的兩因子完全隨機設計（Two-factor Completely Randomized Design, CRD）之變方分析（ANOVA）與直交多項式對比（Orthogonal Polynomial Contrasts）。

1. 二因子 CRD 之變異分解：

• 總變異（Total）分解為主效應（品種、種植密度）、交感效應（品種 $\times$ 種植密度）及試驗誤差（Error）。
• 自由度與平方和具可加性： $DF_{\text{總和}} = DF_{\text{品種}} + DF_{\text{種植密度}} + DF_{\text{品種}\times\text{種植密度}} + DF_{\text{誤差}}$ $SS_{\text{總和}} = SS_{\text{品種}} + SS_{\text{種植密度}} + SS_{\text{品種}\times\text{種植密度}} + SS_{\text{誤差}}$

2. 交感效應之判斷原則：

• 變方分析推論時，須先檢定交感效應。若交感效應不顯著（$p > 0.05$），代表兩因子各自獨立作用，方可分別檢定並單獨解釋兩主效應之平均表現。

3. 直交多項式對比（Orthogonal Polynomial Contrasts）：

• 當連續定量因子（本題為種植密度：10000、20000、30000 株／公頃）呈現等間距遞增時，可將該因子之平方和與自由度進一步正交分解為線性效應（Linear effect）與二次曲線效應（Quadratic effect）。
• 檢定統計量可使用 $t$ 檢定（對比檢定）或等價之單自由度 $F$ 檢定（滿足 $t^2 = F$）。

解題方法與詳細計算

（一）填寫變方分析表（a）～（g）處與試驗結論

試驗基本參數：

• 品種數 $a = 2$（V1、V2）
• 種植密度數 $b = 3$（10000、20000、30000 株／公頃）
• 各處理重複數 $r = 3$
• 總觀測值個數 $N = a \times b \times r = 2 \times 3 \times 3 = 18$

1. 自由度（DF）計算：

• (a) 品種自由度： $DF_{\text{品種}} = a - 1 = 2 - 1 = 1$
• (b) 種植密度自由度： $DF_{\text{種植密度}} = b - 1 = 3 - 1 = 2$
• (c) 品種 $\times$ 種植密度自由度： $DF_{\text{品種}\times\text{種植密度}} = (a - 1)(b - 1) = (2 - 1)(3 - 1) = 2$
• (d) 總和自由度： $DF_{\text{總和}} = N - 1 = 18 - 1 = 17$ (驗算：$1 + 2 + 2 + 12 = 17$)

2. 平方和（SS）計算：

• 校正項（Correction Factor, $CF$）： 總和 $Y_{\cdot\cdot\cdot} = 271.2$ $CF = \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{N} = \frac{(271.2)^2}{18} = \frac{73549.44}{18} = 4086.08$

• (e) 品種平方和（$SS_{\text{品種}}$）： 各品種總和分別為 $Y_{1\cdot\cdot} = 163.0$、$Y_{2\cdot\cdot} = 108.2$，每個品種各有 $b \times r = 3 \times 3 = 9$ 個觀測值： $SS_{\text{品種}} = \frac{163.0^2 + 108.2^2}{9} - CF = \frac{26569.00 + 11707.24}{9} - 4086.08 = \frac{38276.24}{9} - 4086.08 \approx 166.84$

• (f) 種植密度平方和（$SS_{\text{種植密度}}$）： 各密度總和分別為 $Y_{\cdot 1\cdot} = 75.7$、$Y_{\cdot 2\cdot} = 92.2$、$Y_{\cdot 3\cdot} = 103.3$，每個密度各有 $a \times r = 2 \times 3 = 6$ 個觀測值： $SS_{\text{種植密度}} = \frac{75.7^2 + 92.2^2 + 103.3^2}{6} - CF = \frac{5730.49 + 8500.84 + 10670.89}{6} - 4086.08 = \frac{24902.22}{6} - 4086.08 = 4150.37 - 4086.08 = 64.29$

• (g) 品種 $\times$ 種植密度平方和（$SS_{\text{品種}\times\text{種植密度}}$）： 利用平方和的可加性求得： $SS_{\text{總和}} = SS_{\text{品種}} + SS_{\text{種植密度}} + SS_{\text{品種}\times\text{種植密度}} + SS_{\text{誤差}}$ $252.58 = 166.84 + 64.29 + SS_{\text{品種}\times\text{種植密度}} + 17.78$ $SS_{\text{品種}\times\text{種植密度}} = 252.58 - (166.84 + 64.29 + 17.78) = 252.58 - 248.91 = 3.67$

3. 填妥後之完整變方分析表：

4. 顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下之統計推論與結論：

1. 交感效應（品種 $\times$ 種植密度）：$p\text{-value} = 0.3240 > 0.05$，未達顯著水準，不拒絕虛無假說，表示兩品種在不同種植密度下的產量反應型態無顯著差異（兩因子間無交互作用）。因此，可直接分別評估品種與種植密度之主效應。
2. 品種主效應：$p\text{-value} = 0.0001 < 0.05$，達到極顯著水準，拒絕虛無假說，表示兩品種間的平均產量有顯著差異。品種 V1 之平均產量（$\bar{Y}_{1\cdot\cdot} = \frac{163.0}{9} \approx 18.11$）顯著高於品種 V2 之平均產量（$\bar{Y}_{2\cdot\cdot} = \frac{108.2}{9} \approx 12.02$）。