112 高普考高考二級 電子工程 電子元件 考古題詳解

核心觀念

硼是矽中的三價受體雜質，摻入後形成 P 型半導體。熱平衡時需同時使用質量作用定律與電中性條件：

$n_0p_0=n_i^2$

假設硼受體完全游離，且題目未給補償摻雜，則電中性條件為：

$p_0-n_0=N_A$

其中 $N_A=5\times10^{13}\ \mathrm{cm}^{-3}$。電阻率由電導率的倒數求得；照光產生載子後，電子與電洞的總濃度都須納入導電率計算。

解題方法

（一）求熱平衡載子濃度

聯立

$p_0-n_0=N_A,\qquad n_0p_0=n_i^2$

以 $p_0=n_0+N_A$ 代入質量作用定律，可得：

$n_0(n_0+N_A)=n_i^2$

$n_0^2+N_An_0-n_i^2=0$

取正根：

$n_0=\frac{-N_A+\sqrt{N_A^2+4n_i^2}}{2}$

代入 $N_A=5\times10^{13}$、$n_i=1.5\times10^{10}\ \mathrm{cm}^{-3}$：

$$n_0=\frac{-5\times10^{13}+\sqrt{(5\times10^{13})^2+4(1.5\times10^{10})^2}}{2} \approx 4.50\times10^6\ \mathrm{cm}^{-3}$$

再由電中性條件：

$$p_0=N_A+n_0\approx5.00000045\times10^{13}\ \mathrm{cm}^{-3} \approx5.00\times10^{13}\ \mathrm{cm}^{-3}$$

（二）求電阻率

熱平衡下的電導率為電子與電洞兩者貢獻之和：

$\sigma_0=q(n_0\mu_n+p_0\mu_p)$

代入題目數值：

$$\sigma_0=(1.6\times10^{-19}) \left[(4.50\times10^6)(1350)+(5.00\times10^{13})(480)\right]$$

電子項遠小於電洞項，因此：

$\sigma_0\approx3.84\times10^{-3}\ \mathrm{S/cm}$

電阻率為：

核心觀念

本題考查突變型矽 $pn$ 接面在理想二極體近似下的空乏區、少數載子注入與擴散電流。所用關係式如下：

• 空乏區電荷中性：$N_AW_p=N_DW_n$。
• 熱平衡少數載子濃度：$n_{p0}=n_i^2/N_A$、$p_{n0}=n_i^2/N_D$。
• 正向偏壓下，接面邊界的少數載子濃度乘上 $\exp(V_F/V_T)$，其中 $V_T=kT/q$。
• 擴散係數與擴散長度：$D=\mu V_T$、$L=\sqrt{D\tau}$。
• 突變接面空乏區寬度： $W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{\mathrm{Si}}}{q}\left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)(V_{bi}+V_R)}$ 其中 $V_{bi}=V_T\ln(N_AN_D/n_i^2)$。
• 理想二極體反向飽和電流密度： $J_s=q n_i^2\left(\frac{D_p}{L_pN_A}+\frac{D_n}{L_nN_D}\right)$

採用矽的介電常數 $\varepsilon_{\mathrm{Si}}=11.8\varepsilon_0$，$\varepsilon_0=8.854\times10^{-14}\ \mathrm{F/cm}$。

解題方法與計算

（一）空乏區寬度比例 $W_p/W_n$

由空乏區內正、負電荷量相等：

$N_AW_p=N_DW_n$

因此

$$\frac{W_p}{W_n}=\frac{N_D}{N_A} =\frac{6\times10^{14}}{2\times10^{14}}=\boxed{3}$$

（二）$W_n$ 處的電洞濃度比例

$n$ 區熱平衡少數電洞濃度為

$$p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D} =\frac{(1.5\times10^{10})^2}{6\times10^{14}} =3.75\times10^5\ \mathrm{cm^{-3}}$$

順向偏壓下，接面邊界的電洞濃度為 $p_n(W_n)=p_{n0}\exp(V_F/V_T)$，故

$$\frac{p_n(x=W_n)}{p_{n0}} =\exp\left(\frac{0.1}{0.0259}\right) \approx\boxed{47.5}$$

（三）$n$ 區的超額電洞濃度分布

$n$ 區電洞擴散係數與擴散長度為

$D_p=\mu_pV_T=480(0.0259)=12.432\ \mathrm{cm^2/s}$

$$L_p=\sqrt{D_p\tau_p} =\sqrt{12.432\times10^{-6}} =3.525\times10^{-3}\ \mathrm{cm}$$

接面邊界的超額電洞濃度為

$\Delta p_n(W_n)=p_{n0}\left[\exp\left(\frac{V_F}{V_T}\right)-1\right]$

在準中性 $n$ 區，超額少數載子以擴散長度 $L_p$ 指數衰減。因此，$x\ge W_n$ 時：

$$\boxed{\Delta p_n(x) =3.75\times10^5\left[\exp\left(\frac{0.1}{0.0259}\right)-1\right] \exp\left[-\frac{x-W_n}{3.525\times10^{-3}\ \mathrm{cm}}\right]\ \mathrm{cm^{-3}}}$$

也可寫成

$$\Delta p_n(x)\approx1.744\times10^7 \exp\left[-\frac{x-W_n}{3.525\times10^{-3}\ \mathrm{cm}}\right]\ \mathrm{cm^{-3}}$$

（四）$W_n$ 處的電洞電流密度

由少數電洞的擴散電流：

$$J_p(W_n)=qD_p\left.\frac{dp_n}{dx}\right|_{W_n} =\frac{qD_p}{L_p}\Delta p_n(W_n)$$

代入 $\Delta p_n(W_n)\approx1.744\times10^7\ \mathrm{cm^{-3}}$：

核心觀念

本題考查 MOS 電容在空乏區的表面電位、空乏電荷與閘極偏壓關係。採用下列定義與公式：

• 表面電位 $\phi_s$ 表示矽表面能帶相對於矽基板本體的彎曲量。
• 矽表面剛好呈現本質時，表面費米能階與表面本質費米能階重合。
• 在均勻空乏近似下，空乏區電荷由 Poisson 方程求得；氧化層電壓降則由電荷除以單位面積氧化層電容求得。

以下的 $Q_D$ 為單位面積空乏電荷，單位為 $\mathrm{C/cm^2}$；題目未提供元件面積，因此無法求整個元件的總電荷。

解題方法

（一）矽基板之壓降 $\phi_s$

由題目給定的熱平衡關係：

$$p_0=n_i\exp\left(\frac{E_{Fi}-E_F}{kT}\right)$$

對於 $p$ 型基板，近似 $p_0\simeq N_A$，因此本體的能階差為

$$E_{Fi}-E_F=kT\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right).$$

表面呈現本質時，表面本質能階移至費米能階；其相對本體的能帶彎曲量即為表面電位：

$$\phi_s=\frac{E_{Fi}-E_F}{q} =\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right).$$

代入數值：

$$\phi_s =0.0259\ln\left(\frac{2\times10^{14}}{1.5\times10^{10}}\right) =0.246\ \mathrm{V}.$$

因此，矽基板壓降為 $\boxed{\phi_s=0.246\ \mathrm{V}}$。

（二）矽基板空乏區電荷量 $Q_D$

空乏區內的電子與電洞濃度均遠小於 $N_A$，因此空乏區可視為均勻的受體離子電荷。其空乏電荷面密度為

$$Q_D=-\sqrt{2q\varepsilon_{\mathrm{Si}}N_A\phi_s}.$$

負號表示空乏區留下帶負電的受體離子。先代入

$$\varepsilon_{\mathrm{Si}} =11.9\varepsilon_0 =11.9(8.85\times10^{-14}) =1.05315\times10^{-12}\ \mathrm{F/cm},$$

可得

$$Q_D =-\sqrt{ 2(1.6\times10^{-19}) (1.05315\times10^{-12}) (2\times10^{14}) (0.246) } =-4.07\times10^{-9}\ \mathrm{C/cm^2}.$$

故空乏電荷面密度為

核心觀念

本題考查 BJT 順向作用區的電流成分與電流增益定義。順向作用時，射極—基極接面順偏，基極—集極接面反偏。射極接面的注入電流中，只有一部分成為集極電流；其餘部分會由基極端流出，並包含順偏接面額外復合電流。集極端的反偏接面則另有少量電子電流、電洞電流及額外產生電流。

以下以各電流分量的大小表示，並採用直流共基極增益定義 $\alpha_0=J_C/J_E$，小信號共基極增益定義 $\alpha=dJ_C/dJ_E$。

解題方法

射極端總電流為射極接面順偏所造成的電子與電洞電流之和，再加上額外復合電流：

$$J_E=J_{nE}+J_{pE}+J_R$$

集極端總電流包括由射極注入並到達集極的電子電流，以及集極反偏接面的電子、電洞與額外產生電流：

$$J_C=J_{nE}+J_{nC}+J_{pC0}+J_G$$

因此，直流共基極電流增益為

$$\boxed{\alpha_0= \frac{J_C}{J_E} = \frac{J_{nE}+J_{nC}+J_{pC0}+J_G} {J_{nE}+J_{pE}+J_R}}$$

小信號增益是工作點附近集極電流對射極電流的微分比。反偏集極接面的少數載子電流與產生電流在固定偏壓下近似為常數，微分時不納入增量電流；順偏射極接面的擴散電流與復合電流則會隨輸入變動。因此