109 高普考高考二級 電子工程 電子元件 考古題詳解

核心觀念

本題評量半導體元件物理中「載子傳輸理論（Carrier Transport Theory）」的核心機制，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 低電場下的漂移傳導與移動率（Drift Mobility）： 在微弱外加電場下，載子定向漂移速度 $v_d$ 與電場強度 $E$ 呈線性正比關係，其比例常數即為移動率 $\mu$： $v_d = \mu E = \frac{q \tau}{m^*} E \implies \mu = \frac{q \tau}{m^*}$ 其中 $q$ 為載子電量，$\tau$ 為平均自由時間（Momentum Relaxation Time / Mean Free Time），$m^*$ 為載子之傳導有效質量（Conductivity Effective Mass）。
2. 微觀散射機制與溫度相依性（Scattering Mechanisms & Temperature Dependence）： 載子於晶格運動時受到的微觀阻礙機制，主要由**晶格散射（聲子散射, $\mu_L$）與離子化雜質散射（$\mu_I$）**決定，總移動率遵循馬西森定則（Matthiessen's Rule）： $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_L} + \frac{1}{\mu_I}$

• 晶格散射：$\mu_L \propto T^{-3/2}$（隨溫度升高而下降）
• 離子化雜質散射：$\mu_I \propto \frac{T^{3/2}}{N_I}$（隨溫度升高而上升）

3. 高電場效應（High-Field Transport Effects）： 電場持續加大至脫離低電場線性區時，載子因獲得高動能成為「熱載子（Hot Carriers）」，傳導將依序出現速度飽和（Velocity Saturation）、**負微分移動率（Negative Differential Mobility, 如 GaAs 之 Gunn 效應）以及碰撞游離與雪崩倍增（Impact Ionization & Avalanche Breakdown）**現象。

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解題方法

本題為標準的觀念申論題，答題切入點須由微觀物理模型出發，依序推導宏觀傳導特性。完整剖析如下：

一、低電場下「移動率（Mobility）」之定義與物理意涵

1. 宏觀現象定義： 在低電場條件下，載子於半導體內部所受之電場力不足以顯著改變其熱速度（Thermal Velocity, $v_{th} \approx 10^7\text{ cm/s}$）。載子的定向漂移速度（Drift Velocity, $v_d$）遠小於熱隨機速度（$v_d \ll v_{th}$），此時漂移速度的大小與外加電場強度 $E$ 呈線性正比，其比例係數定義為移動率（$\mu$）： $\mu \equiv \frac{v_d}{E} \quad \left[\text{單位：}\text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\right]$
2. 微觀物理意義： 依據德魯德模型（Drude Model）及載子受力平衡，電場對載子的加速力 $F = qE$ 與散射阻力平衡時： $m^* \frac{v_d}{\tau} = qE \implies v_d = \left(\frac{q \tau}{m^*}\right) E$ 因此，移動率的微觀表達式為： $\mu = \frac{q \tau}{m^*}$ 此式顯示：移動率反映了載子在半導體晶格中運動的靈敏度與自由度，由載子的「有效質量 $m^*$」及「平均碰撞間隔時間 $\tau$」共同決定。有效質量越小、碰撞間隔時間越長，載子移動率越高。

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二、兩種載子散射機制及其與溫度的關係

載子在晶格內傳導時，會受到週期性位能受到擾動所產生的散射影響。主導半導體傳輸的兩種關鍵機制如下：

1. 晶格散射（Lattice Scattering / Acoustic Phonon Scattering）：

• 微觀機制：半導體晶格原子在絕對零度以上會進行熱振動（Thermal Vibrations）。微觀上，熱振動量子化為「聲子（Phonon）」。當載子穿越晶格時，與熱振動的晶格原子（聲子）發生碰撞而改變運動方向，造成動量衰減。
• 與溫度之相依性： 隨溫度 $T$ 上升，晶體原子熱振動幅度加大，聲子密度劇增（聲子數正比於熱能量 $k_B T$），且載子的平均熱速度亦增加（$v_{th} \propto T^{1/2}$），導致碰撞截面積擴大、平均碰撞時間縮短（$\tau_L \propto T^{-3/2}$）。因此： $\mu_L \propto T^{-3/2} \quad (\text{實測通常介於 } T^{-1.5} \sim T^{-2.5})$ 結論：溫度越高，晶格熱振動越劇烈，晶格散射越嚴重，導致移動率隨溫度升高而單調下降。

2. 離子化雜質散射（Ionized Impurity Scattering）：

• 微觀機制：摻雜在半導體內的施體（Donor）或受體（Acceptor）雜質在常溫下解離為帶正電或負電的離子（$N_D^+$ 或 $N_A^-$）。當帶電載子（電子或電洞）經過這些帶電中心附近時，受庫侖靜電力（Coulomb Attraction or Repulsion）的作用而發生路徑偏折（Rutherford 散射）。
• 與溫度之相依性： 載子的平均熱動能正比於絕對溫度（$\frac{1}{2}m^* v_{th}^2 = \frac{3}{2} k_B T \implies v_{th} \propto T^{1/2}$）。在低溫環境下，載子熱速度慢，經過離子化雜質附近的時間較長，受庫侖力的作用偏折劇烈（散射機率高）；在高溫環境下，載子運動速度極快，迅速掠過帶電雜質，庫侖力造成的偏轉效應微弱，平均自由時間增長（$\tau_I \propto T^{3/2}$）。因此： $\mu_I \propto \frac{T^{3/2}}{N_I}$ 其中 $N_I = N_D^+ + N_A^-$ 為總離子化雜質濃度。 結論：溫度越高，載子熱動能越大、抗偏折能力越強，離子化雜質散射影響越小，導致移動率隨溫度升高而單調上升。

核心觀念

本題評量理想金屬–半導體接面（Metal-Semiconductor Junction, M-S Junction）之能帶結構、界面能階對齊、空間電荷分布與傳輸機制，主要涵蓋以下核心物理量與定理：

1. 工作函數（Work Function, $q\Phi$）：將電子自費米能階（$E_F$）移至真空能階（Vacuum Level, $E_0$）所需之最小能量。金屬記為 $q\Phi_m$，半導體記為 $q\Phi_s$。
2. 電子親和力（Electron Affinity, $q\chi$）：將電子自半導體導帶底（$E_c$）移至真空能階（$E_0$）所需之能量，為半導體固有的材料常數。
3. 費米能階（Fermi Level, $E_F$）：電子佔據機率為 $0.5$ 的能量參考基準。熱平衡時，整個系統具備單一且恆定平坦之費米能階（$dE_F/dx = 0$）。
4. 能帶彎曲與電荷分布法則：接觸前後依據功函數差異決定載子擴散流向，進而在半導體表面誘發「空乏層（Depletion Layer）」或「累積層（Accumulation Layer）」，分別對應整流性的蕭基接面或低阻抗線性的歐姆接面。

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解題方法

1. 界定判準（第 (一) 小題）：

• 建立能量基準關係式：半導體功函數可表示為導帶與費米能階相對距離之函數，以 n 型為例，$q\Phi_s = q\chi + (E_c - E_F)$。
• 分別依半導體導電型態（n 型與 p 型），利用金屬工作函數 $\Phi_m$ 與半導體工作函數 $\Phi_s$（或 $\chi$）之大小關係，推導出蕭基接觸與歐姆接觸之判定條件及位障高度 $\Phi_B$。

2. 推論電荷分布與電壓電流特性（第 (二) 小題）：

• 電荷分布分析：以熱平衡條件下費米能階一致化為起點，推導界面兩側載子轉移後留下的電荷形態（金屬界面薄層電荷與半導體側空間電荷區），依高斯定律（Poisson 方程式）連結電荷分布與能帶彎曲。
• $I-V$ 特性推論：依據位障存在與否，說明載子越過位障的熱游離發射（Thermionic Emission）機制（導出整流非線性 $I-V$ 特性），以及無位障下載子順暢進出的歐姆線性傳導特性。

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選項分析

本題為國家考試專業科目之申論題，非選擇題，無選項。

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解題技巧

1. 判斷口訣（多數載子勢能位障判斷）：

• n 型半導體（載子為電子）：金屬工作函數大於半導體（$\Phi_m > \Phi_s$）時，電子由半導體流向金屬，半導體側能帶「向上彎曲」形成電子阻擋位障 $\rightarrow$ 蕭基接面；反之 $\Phi_m < \Phi_s$ 形成累積層 $\rightarrow$ 歐姆接面。
• p 型半導體（載子為電洞）：大小關係剛好相反。金屬工作函數小於半導體（$\Phi_m < \Phi_s$）時，能帶「向下彎曲」阻擋電洞 $\rightarrow$ 蕭基接面；$\Phi_m > \Phi_s$ 形成電洞累積層 $\rightarrow$ 歐姆接面。

2. 答題規範陷阱：

• 題目要求以工作函數、電子親和力、費米能階「界定」，必須同時列出 n 型 與 p 型 兩種情形，若僅寫 n 型會被改卷委員扣分。
• 第 (二) 小題推論 $I-V$ 特性時，務必寫出蕭基接面的熱游離發射電流方程式與歐姆接面的線性方程式，強化論述深度。

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【答案】

(一) 蕭基接面與歐姆接面之界定

金屬與半導體之能階參數定義如下：

• 金屬工作函數：$q\Phi_m = E_0 - E_{Fm}$
• 半導體工作函數：$q\Phi_s = E_0 - E_{Fs}$
• 半導體電子親和力：$q\chi = E_0 - E_c$

1. n 型半導體（n-type Semiconductor）

半導體工作函數可表示為： $q\Phi_s = q\chi + (E_c - E_{Fs})$

• 蕭基接面（Schottky Contact）界定條件： $\Phi_m > \Phi_s \quad \Longleftrightarrow \quad q\Phi_m > q\chi + (E_c - E_{Fs})$ 接觸前 $E_{Fs} > E_{Fm}$。接觸達成平衡時，半導體導帶電子向金屬轉移，使介面能帶向上彎曲，對半導體側電子形成表面位障高度：

核心觀念

本題旨在評量半導體元件物理中非平衡載子的動態傳導行為，核心考點包括：

1. Shockley-Read-Hall (SRH) 復合理論：間接能隙半導體（如矽、鍺）中，由帶隙內深能階缺陷（Deep-level trap / Recombination center）所媒介之載子「捕獲」與「發射」微觀動力學過程。
2. SRH 淨復合率公式： $U = \frac{pn - n_i^2}{\tau_p(n + n_1) + \tau_n(p + p_1)}$ 其中 $\tau_n$、$\tau_p$ 為載子生命期；$n_1 = n_i \exp\left(\frac{E_t - E_i}{kT}\right)$、$p_1 = n_i \exp\left(\frac{E_i - E_t}{kT}\right)$ 為能階落在 $E_t$ 時的特性載子濃度。
3. 空間電荷區（Space-Charge Region, SCR / 空乏區）非理想電流：

• 理想 Shockley 二極體方程式假設空乏區內無載子生成與復合（淨電流僅由中性區擴散電流決定）。
• 實際 PN 接面二極體中，空乏區內的 SRH 機制會造成額外的復合電流（順偏）與生成電流（逆偏）。

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解題方法

本題為典型的申論說明題，切入架構依序分為兩大主軸：

1. SRH 復合模型的物理機制：以能帶圖的概念，說明四種微觀轉移過程，導出淨復合率 $U$，並指出其在熱平衡與非平衡下的物理意涵。
2. PN 接面二極體中的電流傳導影響：

• 建立空乏區空間電荷分佈與載子乘積 $pn$ 的關係。
• 分別針對順偏壓（$pn > n_i^2$，發生載子復合）與逆偏壓（$pn < n_i^2$，發生載子熱生成）進行定量推導與定性影響分析。

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一、SRH 復合模型的物理機制

在間接能隙半導體（如矽）中，導帶底與價帶頂處於不同的晶格動量 $\mathbf{k}$，電子與電洞直接發生能帶間復合（Band-to-Band Recombination）機率極低。SRH 模型指出，晶格中的雜質、懸鍵或晶格缺陷會在禁能帶中引入局部化的中間能階（Trap energy level, $E_t$），充當電子與電洞復合的跳板。

微觀上包含四個基本物理過程：

1. 電子捕獲（Electron Capture）：導帶中的電子躍遷至空能階 $E_t$，捕獲率與導帶電子濃度 $n$ 及空缺陷濃度成正比。
2. 電子發射（Electron Emission）：被捕獲在 $E_t$ 能階的電子吸收熱能躍遷回導帶，發射率與已佔據電子之缺陷濃度成正比。
3. 電洞捕獲（Hole Capture）：價帶中的電洞躍遷至充滿電子的 $E_t$ 能階（等效於 $E_t$ 上的電子掉入價帶與電洞復合），捕獲率與電洞濃度 $p$ 及佔據態缺陷濃度成正比。
4. 電洞發射（Hole Emission）：價帶電子吸收熱能跳至 $E_t$（等效於 $E_t$ 向價帶釋放一個電洞），發射率與未佔據態缺陷濃度成正比。

在穩態（Steady-State）條件下，缺陷上的電子佔據機率維持定值，經細緻平衡（Detailed Balance）推導出單一能階 $E_t$ 之淨復合率為： $U = \frac{pn - n_i^2}{\tau_p(n + n_1) + \tau_n(p + p_1)}$

物理機制特性：

• 當缺陷能階越接近禁能帶正中央（$E_t \approx E_i$）時，$n_1 \approx p_1 \approx n_i$ 達到極小值，此時分母最小，淨復合率 $U$ 最大。因此，近中帶隙（Mid-gap）的深能階缺陷是效率最高的復合中心。
• 熱平衡時，$pn = n_i^2$，淨復合率 $U = 0$。

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二、PN 接面二極體中對電流傳導的影響

在 PN 二極體中，空乏區內的載子傳導直接受 SRH 機制支配。空乏區內的淨復合／生成電流密度可透過對空乏區寬度 $W$ 積分求得： $J_{\text{SCR}} = q \int_0^W U(x) \, dx$

1. 順向偏壓狀態（Forward Bias, $V_A > 0$）

• 載子狀態：順偏壓降低了接面內建電位，載子注入空乏區，使得整個空乏區內載子乘積滿足： $pn = n_i^2 \exp\left(\frac{qV_A}{kT}\right) > n_i^2$ 由於 $pn > n_i^2$，淨復合率 $U > 0$，空乏區內發生大量的淨載子復合。
• 復合電流的產生： 若假設最有效復合中心 $E_t = E_i$（$n_1 = p_1 = n_i$）且 $\tau_n = \tau_p = \tau_0$，則： $U = \frac{n_i^2 \left[\exp\left(\frac{qV_A}{kT}\right) - 1\right]}{\tau_0 \left(n + p + 2n_i\right)}$ 當 $n(x) \approx p(x) \approx n_i \exp\left(\frac{qV_A}{2kT}\right)$ 時，$U(x)$ 達到最大峰值 $U_{\max} \approx \frac{n_i}{2\tau_0} \exp\left(\frac{qV_A}{2kT}\right)$。 積分整個空乏區寬度 $W$ 可得空間電荷區復合電流： $J_{\text{rec}} \approx \frac{q W n_i}{2 \tau_0} \exp\left(\frac{qV_A}{2kT}\right)$
• 對電流傳導的具體影響：

1. 低電壓區由復合電流主導：總二極體順向電流為擴散電流 $J_{\text{diff}}$ 與復合電流 $J_{\text{rec}}$ 之和： $J_{\text{total}} = J_{s0} \exp\left(\frac{qV_A}{kT}\right) + J_{r0} \exp\left(\frac{qV_A}{2kT}\right)$

核心觀念

本題為半導體物理與元件理論中的經典考題，評量考生對 PN 接面（PN Junction）在熱平衡狀態下的靜電特性推導能力。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 熱平衡（Thermal Equilibrium）與載子濃度： 在熱平衡狀態下，系統費米能階（Fermi level, $E_F$）處處相等，淨電流密度為零（$J_n = J_p = 0$）。各區多數與少數載子濃度滿足質作用定律（Law of Mass Action）：$n_0 p_0 = n_i^2$。
2. 內建電位（Built-in Potential, $V_{bi}$）： 接面兩端因載子濃度梯度形成擴散，伴隨產生的自建電場阻擋擴散，使漂移電流與擴散電流精確抵消。$V_{bi}$ 即為中性 P 區與中性 N 區之間的內建靜電位差。
3. 空乏近似法（Depletion Approximation）： 假設空乏區（$-x_p \le x \le x_n$）內所有可動載子完全耗盡，僅殘留完全游離的雜質離子（游離受光子 $N_A^-$ 與施光子 $N_D^+$）；在空乏區之外的中性區，空間電荷密度嚴格為零。
4. 卜瓦松方程式（Poisson's Equation）與電荷中性： 藉由一維卜瓦松方程式 $\frac{d^2 V}{dx^2} = -\frac{d\mathcal{E}}{dx} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon}$ 求解電場與電位分佈。整體接面滿足全域電荷中性（Global Charge Neutrality）：$q N_A x_p = q N_D x_n$。
5. 單邊突變接面（One-sided Abrupt Junction, $p^+n$ 接面）： 題目給定 $N_A \gg N_D$，代表空乏區幾乎完全往低摻雜的 N 側延伸（$x_n \gg x_p$，$W \approx x_n$）。

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解題方法

(一) 求取熱平衡條件下的內建電位 $V_{bi}$ 表示式

令電子基本電荷為 $q$。在中性 P 區與中性 N 區中，多數載子與少數載子濃度分別為：

• P 側中性區：電洞濃度 $p_{p0} \approx N_A$，電子濃度 $n_{p0} \approx \frac{n_i^2}{N_A}$
• N 側中性區：電子濃度 $n_{n0} \approx N_D$，電洞濃度 $p_{n0} \approx \frac{n_i^2}{N_D}$

在熱平衡條件下，電洞淨電流密度必須為零（$J_p = 0$）： $J_p = q \mu_p p \mathcal{E} - q D_p \frac{dp}{dx} = 0$

其中 $\mu_p$ 為電洞遷移率，$D_p$ 為電洞擴散係數。將上式移項整理，可得電場 $\mathcal{E}$： $\mathcal{E} = \frac{D_p}{\mu_p} \frac{1}{p} \frac{dp}{dx}$

根據愛因斯坦關係式（Einstein Relation）$\frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q}$： $\mathcal{E} = \frac{kT}{q} \frac{1}{p} \frac{dp}{dx}$

定義中性 P 區之電位為參考電位，由電位與電場的關係式 $V_{bi} = -\int_{-x_p}^{x_n} \mathcal{E} \, dx$，將電場沿空乏區自 P 側（電洞濃度 $p_{p0}$）積分至 N 側（電洞濃度 $p_{n0}$）： $V_{bi} = -\int_{p_{p0}}^{p_{n0}} \frac{kT}{q} \frac{1}{p} \, dp = \frac{kT}{q} \ln\left( \frac{p_{p0}}{p_{n0}} \right)$

將熱平衡載子濃度 $p_{p0} = N_A$ 與 $p_{n0} = \frac{n_i^2}{N_D}$ 代入： $V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\left( \frac{N_A \cdot N_D}{n_i^2} \right)$

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(二) 以空乏近似法求取空乏區寬度 $W$ 表示式

以冶金接面（metallurgical junction）為座標原點 $x = 0$。設 P 側空乏區邊界為 $x = -x_p$，N 側空乏區邊界為 $x = x_n$。總空乏區寬度定義為： $W = x_p + x_n$

步驟 1：建立電荷分佈與電荷中性條件 根據空乏近似法，空間電荷密度 $\rho(x)$ 分佈為： $\rho(x) = \begin{cases} -q N_A, & -x_p \le x < 0 \\ +q N_D, & 0 < x \le x_n \\ 0, & \text{其他區域} \end{cases}$

由系統總電荷守恆（中性條件）： $q N_A x_p = q N_D x_n \implies x_p = \frac{N_D}{N_A} x_n$

由此可將分邊寬度以總寬度 $W$ 表示：

核心觀念

本題評量 npn 雙極性接面電晶體（BJT） 在主動區（基射極順偏、基集極零偏壓）操作下的載子傳輸物理機制，核心觀念包含：

1. 少數載子連續方程式（Continuity Equation）：在穩態、一維擴散且無外部光生載子條件下，基極（p 型）內過剩少數載子（電子）的分佈遵循擴散方程式： $D \frac{d^2 \Delta n(x)}{dx^2} - \frac{\Delta n(x)}{\tau} = 0$ 其中擴散長度 $L = \sqrt{D\tau}$。
2. 窄基極近似（Narrow-base Approximation）：當題目給定 $L \gg W$（基極寬度遠小於擴散長度）時，基極內的過剩載子濃度分佈可近似為線性遞減。
3. 電流密度方程式：

• 集極電流密度 $J_C$：主要由注入基極並擴散穿透至集極端的電子擴散電流決定： $J_C = q D \left| \frac{d\Delta n(x)}{dx} \right|_{x=W}$
• 基極電流密度 $J_B$：主要提供過剩少數載子在基極內部與電洞復合所需的復合電流，由電荷控制模型（Charge-control model）求得： $J_B = \frac{Q_B}{\tau} = \frac{q}{\tau} \int_0^W \Delta n(x) \, dx$

4. 基極傳導因子（Base Transport Factor, $\alpha_T$ 或 $B$）：注入基極的電子成功到達集極接面的比例，定義為集極電子電流與射極注入電子電流之比值： $\alpha_T = \frac{J_C}{J_E} = \frac{|J_n(W)|}{|J_n(0)|}$

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解題方法

步驟一：設定座標系與邊界條件

以基極內部為分析區域，令基射極（B-E）空乏區邊界為 $x = 0$，基集極（B-C）空乏區邊界為 $x = W$：

1. 在 $x = 0$ 處（基射極順偏），注入之過剩電子濃度為： $\Delta n(0) = n_p$
2. 在 $x = W$ 處（基集極為零偏壓，接觸面載子迅速被內建電場抽取至集極）： $\Delta n(W) = 0$

步驟二：求基極內之過剩少數載子分佈

微分方程式之一般解為： $\Delta n(x) = C_1 \cosh\left(\frac{x}{L}\right) + C_2 \sinh\left(\frac{x}{L}\right)$ 代入邊界條件 $\Delta n(0) = n_p$ 與 $\Delta n(W) = 0$，得精確解為： $\Delta n(x) = n_p \frac{\sinh\left(\frac{W-x}{L}\right)}{\sinh\left(\frac{W}{L}\right)}$

由於題目已知 $L \gg W$（即 $\frac{W}{L} \ll 1$），利用泰勒級數展開 $\sinh(y) \approx y$： $\Delta n(x) \approx n_p \frac{\frac{W-x}{L}}{\frac{W}{L}} = n_p \left(1 - \frac{x}{W}\right)$ 過剩電子在基極呈現線性分佈。

步驟三：推導集極電流密度 $J_C$

電子擴散電流密度方向由射極流向集極（$+x$ 方向），故傳統集極電流密度大小為： $J_C = q D \left| \frac{d\Delta n(x)}{dx} \right|$ 利用線性分佈斜率 $\left| \frac{d\Delta n(x)}{dx} \right| = \frac{n_p}{W}$： $J_C = \frac{q D n_p}{W}$

(註：若使用精確式展開，由 $J_C = \frac{q D n_p}{L \sinh(W/L)} \approx \frac{q D n_p}{W}$，結果完全一致)