111 高普考高考二級 電子工程 電子元件 考古題詳解

核心觀念

本題評量半導體載子傳導物理中的電場效應與能帶微觀散射機制，核心要點包含：

1. 載子傳導基本定義：漂移速度（Drift Velocity, $v_d$）、位移率（Mobility, $\mu$）與飽和速度（Saturation Velocity, $v_{sat}$）之關聯與公式。
2. 單能谷之速度飽和機制（以 Si 為例）：低電場歐姆傳導至高電場因光學聲子發射（Optical Phonon Emission）所導致的速度飽和。
3. 多能谷轉移電子效應（以 GaAs、InP 為例）：導帶中央 $\Gamma$ 能谷與衛星能谷（Satellite Valley，如 $L$ 能谷）間的轉移（Ridley-Watkins-Hilsum 機制 / 耿氏效應 Gunn Effect），造成「負微分位移率（Negative Differential Mobility, NDM）」。

解題方法

1. 子題 (一)：

• 依序界定三個物理量的微觀物理意義、數學公式及因次單位。
• 釐清 $v_d$、$\mu$、$\mathcal{E}$ 三者在低電場下的線性比例關係，並闡明強電場破壞線性關係進而收斂至 $v_{sat}$ 的物理肇因。

2. 子題 (二)：

• 採分類對比法：分述間接能隙（Si）與直接能隙（GaAs/InP）之 $v_d-\mathcal{E}$ 曲線特徵。
• 分段說明「低電場區」、「中電場／過渡區」及「高電場區」的行為。
• 深入結合能帶結構（有效質量 $m^*$、態密度能階差 $\Delta E_{C}$）與散射機制（聲學聲子散射、能谷間散射、光學聲子發射），說明為何 GaAs 會產生先升後降的峰值速度（Peak Velocity），而 Si 則是單調遞增後飽和。

選項分析

本題為高考二級之申論問答題，無選擇題選項。

解題技巧

1. 掌握繪圖思維：雖然試卷上以文字陳述，但在心中建立 $v_d-\mathcal{E}$ 特性曲線（GaAs 具峰值與負斜率區，Si 為漸近飽和線）有助於條理化各電場區段。
2. 切忌望文生義：GaAs 的負微分位移率並非源於其為「直接能隙」，而是源於導帶結構存在「能階差適中（約 $0.3\text{ eV}$）、有效質量大」的高階衛星能谷（$L$ 谷）；答題時務必寫出「兩能谷模型（Two-Valley Model）」或「能谷間轉移」，此為得分關鍵關鍵字。
3. 量值記憶輔助評卷印象：

• Si 的飽和速度約為 $1 \times 10^7\text{ cm/s}$。
• GaAs 的臨界電場 $\mathcal{E}_{th} \approx 3.5\sim 4\text{ kV/cm}$，峰值速度 $v_{peak} \approx 2 \times 10^7\text{ cm/s}$，高電場下亦漸近於 $1 \times 10^7\text{ cm/s}$。

【答案】

(一) 漂移速度、飽和速度與位移率之說明

1. 漂移速度（Drift Velocity, $v_d$）：

• 定義：在半導體中施加外加電場 $\mathcal{E}$ 時，電子受到靜電力加速，但在晶格中會不斷與聲子（晶格振動）或離子化雜質碰撞（散射），多次散射後所獲得的平均淨定向移動速度即為漂移速度。
• 單位：$\text{cm/s}$。

2. 位移率（Mobility, $\mu$）：

• 定義：衡量載子在外加電場下運動容易程度的物理量，數值上定義為單位電場所產生的漂移速度大小： $\mu = \frac{v_d}{\mathcal{E}}$
• 微觀關係式：根據簡化杜魯德模型（Drude Model）： $\mu = \frac{q\tau}{m^*}$ 其中 $q$ 為基本電荷，$\tau$ 為平均散射自由時間（Mean Free Time），$m^*$ 為電子的傳導有效質量（Effective Mass）。有效質量愈小、碰撞間隔時間愈長，位移率愈大。
• 單位：$\text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$。

3. 飽和速度（Saturation Velocity, $v_{sat}$）：

• 定義：當外加電場極高時，載子獲得的動能大幅超越熱平衡能量，此時載子藉由發射**光學聲子（Optical Phonon）**劇烈耗散能量，散射率急遽攀升，導致漂移速度不再隨電場線性增長，最終趨於一個極限常數，稱為飽和速度。

核心觀念

本題評量**金屬／半導體接觸（Metal-Semiconductor Contacts）**之基礎理論與量測技術，核心考核點包含：

1. 蕭基—莫特規則（Schottky-Mott Rule）：在理想接觸（無介面態）下，利用真空能階（Vacuum Level）連續性決定蕭基位障高度（Schottky Barrier Height, SBH）。
2. 能帶彎曲與整流接觸條件：金屬功函數與半導體功函數的相對大小對空間電荷區（空乏區）形成之影響。
3. 位障高度之實驗量測原理：

• 電流—電壓特性（$I$-$V$）：基於多數載子之熱離子放射理論（Thermionic Emission Theory）。
• 電容—電壓特性（$C$-$V$）：基於反向偏壓下空乏區空間電荷分佈之莫特—蕭基關係（Mott-Schottky Relation）。

解題方法

(一) 決定蕭基位障之物理參數與整流條件

1. 決定蕭基位障之物理參數 依據理想金屬／$n$ 型半導體接面（即忽略介面態與費米能階釘選效應，符合 Schottky-Mott limit），蕭基位障高度（Schottky Barrier Height, $q\Phi_{Bn}$）由下列兩個微觀物理參數決定：

• 金屬功函數（Metal Work Function, $q\Phi_m$）：將電子從金屬費米能階（$E_{Fm}$）游離至真空能階（$E_{vac}$）所需之最小能量。
• 半導體電子親和力（Semiconductor Electron Affinity, $q\chi$）：將電子自半導體導帶底（$E_c$）游離至真空能階（$E_{vac}$）所需之能量。

在兩者接觸達到熱平衡時，費米能階拉平，理想電子蕭基位障高度定義為金屬端電子越過介面進入半導體導帶所需克服的位障： $q\Phi_{Bn} = q(\Phi_m - \chi) \quad \text{或表示為電位差形式：} \quad \Phi_{Bn} = \Phi_m - \chi$

2. 形成整流特性接面的條件 若要使金屬／$n$ 型半導體接面具備整流特性（Rectifying Contact），必須在半導體介面處形成電子耗盡的「空乏區」及「向上彎曲」的能帶，使得多數載子（電子）自半導體側流向金屬側時存在內建電位障礙。其物理條件為： $\Phi_m > \Phi_s$ 其中 $\Phi_s$ 為半導體功函數（$\Phi_s = \chi + \frac{E_c - E_F}{q}$）。展開後之必要條件為： $\Phi_m > \chi + \frac{E_c - E_F}{q}$

物理機制說明：

• 接觸前，因 $n$ 型半導體費米能階高於金屬費米能階（即半導體功函數較小），電子會由半導體自發擴散流入金屬。
• 流出後在半導體表面留下帶正電之未補償游離施體（Ionized Donors），形成空間電荷區（空乏區），誘發由半導體指向金屬的內建電場。
• 能帶朝介面方向向上彎曲，建立內建電位 $V_{bi} = \Phi_m - \Phi_s$。外加正向偏壓降低位障使多數載子導通，反向偏壓增加位障使電流截止，展現顯著之單向整流特性。

(二) 兩種量測蕭基位障的方法與原理

方法一：電流—電壓特性量測法（$I$-$V$ 特性法）

1. 物理原理 金屬／半導體接面中，載子傳輸主要由**熱離子放射理論（Thermionic Emission Theory）**主導。正向偏壓下的電流密度 $J$ 與外加電壓 $V$ 關係式為： $J = J_s \left[ \exp\left(\frac{qV}{\eta kT}\right) - 1 \right]$ 其中飽和電流密度 $J_s$ 定義為： $J_s = A^* T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_{Bn}}{kT}\right)$ 式中 $A^*$ 為有效理查森常數（Effective Richardson Constant），$T$ 為絕對溫度，$k$ 為波茲曼常數，$\eta$ 為理想因子（Ideality Factor）。

2. 量測與萃取步驟

• 在固定溫度 $T$ 下量測元件的正向 $I$-$V$ 曲線。
• 當正向偏壓 $V > \frac{3kT}{q}$ 時，$\exp\left(\frac{qV}{\eta kT}\right) \gg 1$，繪製 $\ln(J)$ 對 $V$ 的半對數圖（Semi-log plot）。
• 將線性區外推至 $V = 0$，該直線於縱軸的截距即為 $\ln(J_s)$。
• 由截距計算出 $J_s$ 後，帶入已知材料常數 $A^*$ 與溫度 $T$，反推求得蕭基位障高度： $\Phi_{Bn} = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{A^* T^2}{J_s}\right)$

方法二：電容—電壓特性量測法（$C$-$V$ 特性法）

1. 物理原理 當蕭基接面處於反向偏壓時，空乏區行為等同於平行板電容。利用高頻小訊號量測每單位面積之接面空乏電容 $C$： $C = \frac{\epsilon_s}{W} = \sqrt{\frac{q\epsilon_s N_d}{2\left(V_{bi} - V - \frac{kT}{q}\right)}}$

核心觀念

本題旨在測驗半導體物理中 $PN$ 接面於逆向偏壓下的兩大非破壞性崩潰機制：累增崩潰（Avalanche breakdown）與曾納崩潰（Zener breakdown），並要求深入闡述其微觀物理機制與崩潰電壓（$V_B$）的溫度係數（Temperature Coefficient）。

主要涉及的物理與元件理論包括：

1. 電場與空乏區特性：空乏區寬度 $W$ 與摻雜濃度（$N_A, N_D$）成反比： $W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s (V_{bi} + V_R)}{q}\left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)}$
2. 撞擊游離（Impact Ionization）與載子倍增（Carrier Multiplication）：載子在電場中加速獲得動能，與晶格原子碰撞激發電子－電洞對（EHP）。
3. 量子穿隧效應（Quantum Tunneling）：在極窄障壁下，電子穿透禁能帶的穿隧機率（Tunneling Probability）。
4. 溫度對微觀傳導參數之影響：

• 溫度升高 $\to$ 晶格散射（Lattice/Phonon Scattering）加劇 $\to$ 載子平均自由路徑（Mean Free Path）縮短。
• 溫度升高 $\to$ 能隙（Energy Bandgap, $E_g$）隨溫度上升而縮小（Varshni 效應）。

解題方法

本題為標準的元件物理申論題，答題架構應分為「物理機制」與「溫度效應」兩大部分，層次分明地推導並比較兩者。

一、累增崩潰（Avalanche Breakdown）

1. 物理機制

• 適用條件：發生於輕度或中度摻雜的 $PN$ 接面。因摻雜濃度較低，逆向偏壓下的空乏區寬度 $W$ 較寬，崩潰電壓通常較高（一般 $V_B > 6\text{ V}$）。
• 微觀過程：

1. 熱激發產生的少數載子漂移進入空乏區，受到逆向偏壓建立的高強度電場加速。
2. 載子在平均自由路徑（Mean Free Path, $\lambda$）內持續累積動能，當動能大於游離臨界能量（約為 $1.5\,E_g$）時，與晶格原子發生非彈性碰撞，破壞共價鍵並產生新的電子－電洞對，此過程稱為撞擊游離（Impact Ionization）。
3. 新產生的電子與電洞又被強電場反向加速，繼續與相鄰晶格原子碰撞並釋放出更多電子－電洞對。
4. 此連鎖反應形成載子倍增效應（Avalanche Multiplication），載子倍增因子 $M \to \infty$，逆向電流急遽上升，元件進入累增崩潰。

2. 崩潰電壓與溫度的關係（正溫度係數）

• 結論：累增崩潰電壓具有正溫度係數（Positive Temperature Coefficient），即： $\frac{dV_B}{dT} > 0 \quad (\text{溫度 } T \uparrow \implies \text{崩潰電壓 } V_B \uparrow)$
• 機理解釋：

1. 當環境溫度 $T$ 上升時，半導體內的晶格振動（Lattice Vibration / Phonon）加劇。
2. 載子受到光學聲子散射（Optical Phonon Scattering）的機率大幅增加，使得載子的平均自由路徑 $\lambda$ 縮短。
3. 由於載子在兩次碰撞之間行進的距離縮短，每次碰撞前能由電場獲得的動能減少，造成撞擊游離率（Impact Ionization Rate, $\alpha_n, \alpha_p$）下降。
4. 為了使載子能在更短的距離內累積足夠引發撞擊游離的動能，必須施加更高的逆向電場與逆向偏壓。因此，崩潰電壓 $V_B$ 隨溫度升高而增大。

二、曾納崩潰（Zener Breakdown）

1. 物理機制

• 適用條件：發生於兩側皆為**重度摻雜（$p^+ - n^+$ 接面）**的 $PN$ 接面。因摻雜濃度極高，空乏區極窄（$W < 10\text{ nm}$），崩潰電壓通常較低（一般 $V_B < 4\text{ V}$）。
• 微觀過程：

1. 雖然施加的逆向偏壓不高，但由於空乏區寬度極窄，內部建立的電場極高（臨界電場 $\mathcal{E} > 10^6\text{ V/cm}$）。
2. 在逆向偏壓作用下，$p$ 側價帶（Valence Band, $E_v$）被拉抬至高於 $n$ 側導帶（Conduction Band, $E_c$）的能階，兩者在空間上高度重疊且僅隔著極薄的空乏區障壁。
3. $p$ 側價帶中填滿的電子，不需越過位能障壁，而直接藉由**量子穿隧效應（Quantum Mechanical Tunneling）**穿透禁能帶，進入 $n$ 側導帶的未填滿態。
4. 大量電子穿隧產生顯著的逆向電流，形成曾納崩潰。

2. 崩潰電壓與溫度的關係（負溫度係數）

• 結論：曾納崩潰電壓具有負溫度係數（Negative Temperature Coefficient

核心觀念

本題評量同質半導體 $P^+N$ 接面（單邊陡階接面, One-sided abrupt junction）的靜態熱平衡與順向偏壓傳導物理機制，核心觀念包含：

1. 熱平衡空乏區與內建電位：

• 載子擴散（Diffusion）與未補償游離雜質離子（Uncompensated ionized dopants）形成的空間電荷區（Space charge region）。
• 內建電場（Built-in electric field）引發漂移（Drift）運動，達成 $J_{drift} + J_{diff} = 0$ 之熱平衡。
• 內建電位差公式： $V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$
• 非對稱摻雜（$N_A \gg N_D$）下，空乏區主要往低摻雜 $N$ 側延伸（$x_n \gg x_p$）。

2. 蕭克萊擴散電流理論（Shockley Diffusion Theory）：

• 順偏電壓 $V_A$ 降低位障高度至 $q(V_{bi} - V_A)$，引發少數載子注入（Minority carrier injection）。
• 注入載子比例： $\frac{J_p}{J_n} \approx \frac{D_p / L_p}{D_n / L_n} \cdot \frac{N_A}{N_D} \gg 1$ 因 $N_A \gg N_D$，總電流幾乎完全由 $P^+$ 注入至 $N$ 區的電洞主導。
• 理想空乏區邊界條件遵循波茲曼定律（Law of the junction），空乏區內無淨再結合與產生（$J_p$ 在空乏區內維持定值）。
• 中性區內無顯著電場，少數載子以「擴散」為主，並隨擴散距離與多數載子「再結合」，濃度呈指數衰減： $\Delta p_n(x) = \Delta p_n(x_n) e^{-\frac{x - x_n}{L_p}}$

解題方法

(一) $P^+N$ 接面空乏區、內建電位形成原因與電場指向

1. 空乏區（Depletion Region）之形成物理原因：

• 載子擴散：在冶金接面形成瞬間，由於 $P^+$ 區的電洞濃度遠大於 $N$ 區，電洞順著濃度梯度向 $N$ 側擴散；同理，$N$ 區的電子順著濃度梯度向 $P^+$ 側擴散。
• 空間電荷殘留：當電洞離開 $P^+$ 區時，留在晶格中的帶負電受體離子（$N_A^-$）無法移動；電子離開 $N$ 區時，留在晶格中的帶正電施體離子（$N_D^+$）亦無法移動。
• 空乏區建立：接面兩側可動載子被排空，留下不可移動的游離離子薄層，此區域稱為「空間電荷區（Space Charge Region）」或「空乏區（Depletion Region）」。
• 非對稱延伸：由電荷中性條件 $q N_A x_p = q N_D x_n$，因 $P^+N$ 接面滿足 $N_A \gg N_D$，故空乏區寬度絕大部分落在輕摻雜的 $N$ 側（$x_n \gg x_p$）。

2. 內建電位（Built-in Potential）之形成物理原因：

• 空間電荷區內帶正電的施體離子與帶負電的受體離子產生內部電場 $\mathcal{E}$。
• 此電場會對載子施加庫侖力，產生與擴散方向相反的「漂移電流（Drift Current）」。
• 當漂移電流與擴散電流大小相等、方向相反時，系統達到熱平衡（淨電流為零）： $J_n = J_{n,drift} + J_{n,diff} = 0, \quad J_p = J_{p,drift} + J_{p,diff} = 0$
• 跨越空乏區之電場線積分產生靜電位差，即為內建電位 $V_{bi} = -\int \mathcal{E} \, dx$，使接面兩側費米能階拉平。

3. 空乏區電場的指向：

• 電場由「正空間電荷」指向「負空間電荷」。
• 因正電荷在 $N$ 側（$N_D^+$），負電荷在 $P^+$ 側（$N_A^-$），故空乏區電場的指向為：由 $N$ 側指向 $P^+$ 側。

(二) 順偏下的主要電流類別與物理流動過程

1. 主要電流類別：

• 順偏下通過接面的總擴散電流為電洞電流與電子電流之和： $J = J_{p0}\left(e^{\frac{qV_A}{kT}} - 1\right) + J_{n0}\left(e^{\frac{qV_A}{kT}} - 1\right)$ 其中飽和電流反比於各側之摻雜濃度： $J_{p0} = \frac{q D_p p_{n0}}{L_p} = \frac{q D_p n_i^2}{L_p N_D}, \quad J_{n0} = \frac{q D_n n_{p0}}{L_n} = \frac{q D_n n_i^2}{L_n N_A}$
• 電流注入比率為： $\frac{J_p}{J_n} = \frac{J_{p0}}{J_{n0}} = \left(\frac{D_p L_n}{D_n L_p}\right)\left(\frac{N_A}{N_D}\right)$

核心觀念

平能帶電壓由金屬與半導體的工作函數差決定。假設氧化物與介面沒有其他電荷時，

其中 $\phi_M$、$\phi_S$ 分別是金屬與矽的工作函數，單位以 $\mathrm{eV}$ 表示時，能量差的數值可直接換成電壓（$\mathrm{V}$）。

對 p 型矽，非簡併近似下：

解題方法

（一）能帶圖與平能帶電壓

先求矽的費米能階位置。$300\ \mathrm{K}$ 時，

因此：

所以金屬與矽的工作函數差，以及理想平能帶電壓為：

下圖為示意圖，能量軸向上；在平能帶狀態下，氧化物與矽中的能帶均無傾斜。圖中的界面能帶差依電子親和力及能隙表示，未按比例繪製。

能量 ↑
 金屬 氧化物（4 nm） p 型矽
 Ec,ox ──────────
 Ec,Si ──────────
 EF,Si ──────────
 Ev,Si ──────────
 Ev,ox ──────────

矽中：EF − Ev = 0.120 eV，Ec − EF = 0.980 eV
氧化物能隙：8 eV；矽能隙：1.1 eV

氧化物與矽的導帶能差為 $\chi_{\mathrm{Si}}-\chi_{\mathrm{ox}}=4.15-0.75=3.40\ \mathrm{eV}$；