111 年高普考高考二級電子工程考古題與詳解

Question 1

如下圖所示之三相四線、相電壓為 $100\,\mathrm{V}$、負相序電源系統，供電給兩個三相四線 Y 連接不平衡電阻器負載。已知由三相電源看入為一個等效的三相平衡負載，試求電阻器 $R1$ 及 $R2$ 之值，並求出中性線電流 $In$ 之值。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖中三相端點為 $a$、$b$、$c$，中性點為 $n$。左側 Y 連接負載之三個支路分別為：$a$ 相串接 $R1$、$b$ 相串接 $R2$、$c$ 相串接 $20\,\Omega$；右側 Y 連接負載之三個支路分別為：$a$ 相串接 $10\,\Omega$、$b$ 相串接 $30\,\Omega$、$c$ 相串接 $20\,\Omega$，兩組負載之中性點連接至 $n$。

Accepted Answer

核心觀念 兩組 Y 連接負載的中性點都接至中性線，因此同一相的兩個電阻支路是並聯。由電源端看入，每相的等效電導為該相所有支路電導的總和。 三相負載平衡的條件是三相等效阻抗相同；本題皆為電阻負載，因此也就是三相等效電導相同。相電壓為 $100\,\mathrm{V}$，負相序會影響各相電壓的相位表示，但不改變此平衡條件。 解題方法 先逐相合併兩組負載的並聯電導。$c$ 相已有兩個 $20\,\Omega$ 電阻並聯，因此其等效電阻為 $$ R{c,\mathrm{eq}}=20\parallel20=10\,\Omega $$ 平衡條件要求 $a$、$b$ 相等效電阻也都是 $10\,\Omega$。 $a$ 相的等效電導為 $$ \frac{1}{R1}+\frac{1}{10}=\frac{1}{10} $$ 所以 $$ \frac{1}{R1}=0,\qquad R1=\infty\,\Omega $$ 這表示 $R1$ 支路須為開路；沒有任何有限的正電阻值能讓 $a$ 相等效電阻維持 $10\,\Omega$。 $b$ 相的等效電導為 $$ \frac{1}{R2}+\frac{1}{30}=\frac{1}{10} $$ 因此 $$ \frac{1}{R2}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{1}{15}, \qquad R2=15\,\Omega $$

Question 2

一部單相感應電動機做為一棟大樓的抽水馬達使用，該馬達以一條交流電纜線連接到 $220\,\mathrm{V}$、$50\,\mathrm{Hz}$ 的單相電源。已知該馬達之等效串聯電阻、電感分別為 $30\,\Omega$、$0.5\,\mathrm{H}$，假設交流電纜線的阻抗可以忽略不計。試求該馬達之等效阻抗以及該馬達的實功、虛功、功率因數、視在功率、複數功率之值。

Accepted Answer

核心觀念 本題評量單相交流穩態電路中的阻抗與功率計算，涉及的核心觀念與公式如下： 1. 角頻率與感抗（Inductive Reactance）： 交流電源頻率為 $f$，角頻率 $\omega = 2\pi f$。純電感抗為： $$XL = \omega L = 2\pi f L$$ 2. 等效阻抗（Equivalent Impedance）： 串聯 $R	ext{-}L$ 電路之複數阻抗相量為： $$\mathbf{Z} = R + jXL = |\mathbf{Z}|\angle	heta$$ 其中大小 $|\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2 + XL^2}$，阻抗角 $	heta = 	an^{-1}\left(\frac{XL}{R}ight)$。 3. 電壓與電流相量關係： 取電源電壓為參考相量 $\mathbf{V} = V{\mathrm{rms}}\angle 0^\circ$，流經馬達之電流相量為： $$\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}} = I{\mathrm{rms}}\angle(-	heta)$$ 4. 交流功率之定義與公式： - 視在功率（Apparent Power, $S$）： $$S = V{\mathrm{rms}} I{\mathrm{rms}} = \frac{V{\mathrm{rms}}^2}{|\mathbf{Z}|} = I{\mathrm{rms}}^2 |\mathbf{Z}| \quad (\mathrm{VA})$$ - 功率因數（Power Factor, $\mathrm{PF}$）： $$\mathrm{PF} = \cos	heta = \frac{R}{|\mathbf{Z}|}$$ 感性負載之電流落後電壓，功率因數為滯後（Lagging）。 - 實功／平均功率（Real / Active Power, $P$）： $$P = S\cos	heta = I{\mathrm{rms}}^2 R \quad (\mathrm{W})$$ - 虛功／無效功率（Reactive Power, $Q$）： $$Q = S\sin	heta = I{\mathrm{rms}}^2 XL \quad (\mathrm{var})$$ - 複數功率（Complex Power, $\mathbf{S}$）： $$\mathbf{S} = \mathbf{V} \mathbf{I}^ = P + jQ = S\angle	heta \quad (\mathrm{VA})$$ （其中 $\mathbf{I}^$ 為電流相量之共軛複數） --- 解題方法 步驟一：計算電源角頻率與馬達感抗 題目給定電源頻率 $f = 50\,\mat…

Question 3

一個理想運算放大器電路如下圖所示，已知該電路之參數分別為 $R=10\,\mathrm{k}\Omega$ 、 $L=10\,\mathrm{H}$ 、 $C=10\,\mu\mathrm{F}$ 、 $v_{in}(t)=10\cos(\omega t)\,\mathrm{V}$ ，試求輸出電壓 $v_{out}(t)$ 之表示式。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中，輸入電壓 $v_{in}$ 經電阻 $R$ 連接至理想運算放大器之反相輸入端；運算放大器之非反相輸入端接地。輸出端與反相輸入端之間，並聯一個電感 $L$ 與一個電容 $C$ 作為回授網路；輸出端另接有 $10\,\Omega$ 電阻至接地。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查理想運算放大器的反相放大器、交流相量分析，以及並聯 $LC$ 回授阻抗。理想運算放大器在線性負回授下，輸入端電流為零，且反相端電壓等於接地的非反相端電壓，因此反相端是虛地。 解題方法 令角頻率為 $\omega$，並以餘弦作為相量基準。電感與電容並聯的回授阻抗為 $$ Zf=ZL\parallel ZC =\frac{1}{\frac{1}{j\omega L}+j\omega C} =\frac{j\omega L}{1-\omega^2LC}. $$ 由反相端的節點電流關係，理想運算放大器的輸入輸出關係為 $$ \frac{	ilde V{in}}{R}+\frac{	ilde V{out}}{Zf}=0, \qquad 	ilde V{out}=-\frac{Zf}{R}	ilde V{in}. $$ 代入題目數值 $R=10\,\mathrm{k}\Omega$、$L=10\,\mathrm{H}$、$C=10\,\mu\mathrm{F}$，且 $	ilde V{in}=10\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$： $$ LC=10^{-4},\qquad 	ilde V{out} =-j\frac{10\omega L}{R(1-\omega^2LC)} =-j\frac{0.01\omega}{1-\omega^2/10000}\,\mathrm{V}. $$ 因為 $\operatorname{Re}\{-jA e^{j\omega t}\}=A\sin(\omega t)$，所以

Question 4

一個理想的串聯 $RLC$ 電路連接至一個理想的電流源如下圖所示，已知該理想電流源之電流表示式為 $i(t)=(t+5)\,\mathrm{A}$ 。假設 $0.2\,\mathrm{F}$ 電容器之初始電壓為 $v_C(0)=10\,\mathrm{V}$ ，試求 $v(t)$ 、 $v_R(t)$ 、 $v_L(t)$ 、 $v_C(t)$ 之表示式。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中為串聯電路，電阻值為 $10\,\Omega$ 、電感值為 $5\,\mathrm{H}$ 、電容值為 $0.2\,\mathrm{F}$ 。電流源電流 $i(t)$ 向上；電流源兩端電壓 $v(t)$ 上正下負；電阻器兩端電壓 $v_R(t)$ 左正右負；電感器兩端電壓 $v_L(t)$ 左正右負；電容器兩端電壓 $v_C(t)$ 上正下負。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查串聯 RLC 電路的元件伏安關係與 KVL： - 電阻：$vR(t)=Ri(t)$。 - 電感：$vL(t)=L\dfrac{di(t)}{dt}$。 - 電容：$i(t)=C\dfrac{dvC(t)}{dt}$。 - 依圖示極性，沿電流方向經過電阻、電感、電容皆為電壓降，因此電流源電壓滿足 $v(t)=vR(t)+vL(t)+vC(t)$。 解題方法 已知 $i(t)=t+5\ \mathrm{A}$，且 $R=10\ \Omega$、$L=5\ \mathrm{H}$、$C=0.2\ \mathrm{F}$。 先求電阻電壓： $$ vR(t)=Ri(t)=10(t+5)=10t+50\ \mathrm{V}. $$ 電感電壓由電流的時間導數得到： $$ vL(t)=L\frac{di(t)}{dt} =5\frac{d(t+5)}{dt} =5\ \mathrm{V}. $$ 電容電壓由電流積分，並代入初始條件 $vC(0)=10\ \mathrm{V}$：

111 高普考高考二級電子工程電路分析考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

步驟一：計算電源角頻率與馬達感抗

步驟二：計算馬達之等效阻抗 $\mathbf{Z}$

步驟三：計算負載電流 $\mathbf{I}$

步驟四：計算功率因數（ $\mathrm{PF}$ ）

第三題25 分

第四題25 分

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第 二 題25 分