113 高普考高考二級 電子工程 電路分析 考古題詳解

核心觀念

開關切換後，電容電壓與電感電流不能瞬間改變，因此

圖一在 $t>0$ 時，$1\ \mathrm{A}$ 電流源、$0.5\ \mathrm{F}$ 電容、$0.4\ \mathrm{H}$ 電感及 $1\ \Omega$ 電阻並聯。以向下為各支路電流正方向，使用節點電流定律與電感關係式 $v_1=L\,di_1/dt$。

解題方法

(一) 電流 $i_1(t)$ 的微分方程式

在上方節點套用 KCL，電流源注入的電流等於各並聯支路流出的電流：

由於 $v_1=L\,di_1/dt$，代入 $C=0.5\ \mathrm{F}$、$L=0.4\ \mathrm{H}$、$R=1\ \Omega$：

因此

除以 $0.2$，亦可寫成

(二) 求 $\dfrac{di_1(0^+)}{dt}$

電感電流正方向向下，電感兩端電壓上正下負，因此

代入 $v_1(0^+)=4\ \mathrm{V}$ 與 $L=0.4\ \mathrm{H}$：

核心觀念

本題考查零初始條件下的拉普拉斯轉換，以及含受控電流源電路的節點電流定律。電感、電容在 $s$ 域的阻抗分別為 $sL$、$1/(sC)$；受控電流源的電流仍須依其控制電流表示為 $0.2I_1(s)$。

解題方法

令電感與電阻串聯支路的電流為 $I_1(s)$，輸出電壓為 $V_o(s)$。由於題目給定電容起始電壓及電感起始電流皆為零，拉普拉斯轉換不需加入初始條件項。輸入電壓源為 $1u(t)$，故

在輸出節點套用 KCL：流入節點的 $I_1(s)$，等於流經電容及受控電流源流向下方的電流總和：

代入 $C=0.16\ \mathrm{F}$，得

再由輸入端至輸出節點的串聯支路套用 KVL。電感與電阻的串聯阻抗為 $sL+R=0.25s+1$，因此

代入 $I_1(s)=0.2sV_o(s)$：

整理得

將二次式配方：

核心觀念

圖三的運算放大器以輸出直接回授至反相端，形成理想電壓追隨器，因此

$v_o(s)=v_+(s)$

且運算放大器輸入端電流為零。將電容轉成拉普拉斯域阻抗，電容電流可寫成 $sCv(s)$；接著對兩個 RC 網路節點套用 KCL，即可求出傳輸函數。

解題方法

令運算放大器的非反相端電壓為 $V_a(s)$，兩個電阻之間的節點電壓為 $V_b(s)$。圖中兩個電阻皆為 $10\,\Omega$；接地電容為 $1\,\mathrm F$，跨接 $V_b$ 與輸出端的電容為 $16\,\mathrm F$。

由電壓追隨器關係，$V_o=V_a$。

在 $V_a$ 節點套用 KCL：

$s(1)V_a+\frac{V_a-V_b}{10}=0$

整理得

$V_b=(1+10s)V_a$

在 $V_b$ 節點套用 KCL：

$\frac{V_b-V_i}{10}+\frac{V_b-V_a}{10}+16s(V_b-V_o)=0$

代入 $V_o=V_a$，並利用 $V_b-V_a=10sV_a$：

$\frac{V_b-V_i}{10}+sV_a+160s^2V_a=0$

再代入 $V_b=(1+10s)V_a$：

$\frac{(1+10s)V_a-V_i}{10}+sV_a+160s^2V_a=0$

整理後得到

$V_i=(1+20s+1600s^2)V_a$

因為 $V_o=V_a$，所以傳輸函數為

共振角頻率與品質因數

將分母除以 $1600$，並與標準二階低通形式比較：

$T(s)=\frac{1/1600}{s^2+\frac{1}{80}s+\frac{1}{1600}}$

標準形式為

核心觀念

本題考相量域的戴維寧等效與最大功率傳輸。先將負載 $Z$ 移除，求端點 $a,b$ 的開路電壓 $V_{\mathrm{Th}}$；再將獨立電壓源短路、保留受控源，從端點求輸入阻抗 $Z_{\mathrm{Th}}$。複數戴維寧阻抗下，最大平均功率的負載為 $Z=Z_{\mathrm{Th}}^*$。

角頻率為 $\omega=2\ \mathrm{rad/s}$，採用峰值相量：

解題方法

令 $b$ 為參考點，電感上端電壓即為 $\tilde V_1=\tilde V_a$。移除負載 $Z$ 時，電感仍接在 $a,b$ 之間。

開路時，在節點 $a$ 寫 KCL：

在電阻與受控電流源相接的節點 $x$ 寫 KCL。受控電流源向下，電流為 $3\tilde V_a$：

代入 $\tilde V_x=0.8\tilde V_a$，得

接著求 $Z_{\mathrm{Th}}$：將獨立電壓源短路，在 $a,b$ 間加測試電壓 $\tilde V_a$。節點 $x$ 的 KCL 為