113 高普考高考二級 電子工程 高等電子電路學（包括類比與數位） 考古題詳解

113 年・高普考・高考二級・電子工程
試題代碼 高等電子電路學（包括類比與數位）

第 一 題20 分

以 NPN BJT 設計如圖一之電子開關電路，驅動 4 V−32 W4\text{ V}-32\text{ W} 的燈泡：

數位輸入 Vi=+5 VV_i=+5\text{ V} 時，燈泡全亮；Vi=0 VV_i=0\text{ V} 時，燈泡無電流。已知 β=39\beta=39、VBEon=0.7 VV_{BE\text{on}}=0.7\text{ V}、VCEsat=0.2 VV_{CE\text{sat}}=0.2\text{ V}，且唯有 VCE≥0.3 VV_{CE}\geq 0.3\text{ V} 方可確認 NPN BJT 工作於非飽和區。驅動本開關的電流 IinI_{in} 不超過 5.05 mA5.05\text{ mA}。

請畫出此開關的電路，並詳列分析數學式與說明。

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核心觀念

單顆 NPN 的集極電流約受 βIB\beta I_B 限制。燈泡額定電流為

IL=PLVL=324=8 AI_L=\frac{P_L}{V_L}=\frac{32}{4}=8\text{ A}

若只用一顆 β=39\beta=39 的 NPN，所需基極電流至少為

IB=839=205.1 mAI_B=\frac{8}{39}=205.1\text{ mA}

遠大於輸入電流上限 5.05 mA5.05\text{ mA}。因此採用三級 NPN：前兩級作射極追隨器，提供末級功率電晶體所需的基極電流；末級作低側開關。又因電源為 5 V5\text{ V}、燈泡額定電壓為 4 V4\text{ V}，須串聯限流電阻，使燈泡在導通時約有 4 V4\text{ V}。

電路與設計

 +5 V
 │
 Rs = 0.1 Ω / ≥10 W
 │
 4 V、32 W 燈泡
 │
 ├──── C Q3（功率 NPN）
 │ E
 │ │
 │ GND
 │
+5 V ───── C Q1 +5 V ───── C Q2
Vi ── Rb ─ B E ───── B
 E ────────── B
 Q2 E ─── B Q3

Q1、Q2 的集極接 +5 V+5\text{ V}；Q1 射極接 Q2 基極，Q2 射極接 Q3 基極。Q3 射極接地，燈泡與限流電阻串聯後接至 Q3 集極。

燈泡額定電流為 8 A8\text{ A}，Q3 飽和時 VCE(sat)=0.2 VV_{CE(sat)}=0.2\text{ V}，所以串聯電阻所需阻值為

Rs=5−4−0.28=0.1 ΩR_s=\frac{5-4-0.2}{8}=0.1\ \Omega

其耗散功率為

PRs=IL2Rs=82(0.1)=6.4 WP_{R_s}=I_L^2R_s=8^2(0.1)=6.4\text{ W}

故選用額定功率至少 10 W10\text{ W} 的電阻。

輸入電流與驅動能力

Q3 要通過 8 A8\text{ A}，所需基極電流為

IB3=IC3β=839=205.1 mAI_{B3}=\frac{I_{C3}}{\beta}=\frac{8}{39}=205.1\text{ mA}

忽略各級基極電流對射極電流的微小差異，較精確地以射極電流 IE=(β+1)IB=40IBI_E=(\beta+1)I_B=40I_B 計算：

IE1=40IB1,IE2=40IB2,IB3=IE2=402IB1I_{E1}=40I_{B1},\qquad I_{E2}=40I_{B2},\qquad I_{B3}=I_{E2}=40^2 I_{B1}

因此 Q1 所需基極電流約為

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第 二 題20 分

圖二使用理想運算放大器。定義：

Ho(s)=VoVi,Ha(s)=VaVi,Hb(s)=VbViH_o(s)=\frac{V_o}{V_i},\qquad H_a(s)=\frac{V_a}{V_i},\qquad H_b(s)=\frac{V_b}{V_i}

其中 s=j2πfs=j2\pi f，ff 為頻率。

  1. 若 VaV_a、VbV_b、ViV_i 已知，且 Vo(ω)=aVa+bVb+cViV_o(\omega)=aV_a+bV_b+cV_i 則 aa、bb、cc 各以元件變數表示之數學式為何？

  2. 若 VoV_o 已知，且 Va=xVo,Vb=yVoV_a=xV_o,\qquad V_b=yV_o 則 xx 與 yy 以元件變數表示之數學式為何？

  3. Ho(s)H_o(s)、Ha(s)H_a(s)、與 Hb(s)H_b(s) 各為何種類濾波函數（高通、低通、帶通、全通、帶止）？階數為何？

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核心觀念

本題考查理想運算放大器的虛短、輸入端不吸電流，以及反相積分器的轉移函數。理想運放在線性工作時有 V+=V−V_+=V_-，且兩輸入端電流為零。反相積分器的轉移函數為

VoutVin=−1sRC.\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=-\frac{1}{sRC}.

圖二中，第二級與第三級運放各為反相積分器；第一級運放則利用 R1R_1 至 R4R_4 的電阻網路，將 ViV_i、VaV_a、VbV_b 組合成 VoV_o。

解題方法

第一級運放正輸入端由 ViV_i 經 R1R_1、由 VaV_a 經 R3R_3 接入。由於輸入端不吸電流：

V+=R3Vi+R1VaR1+R3.V_+=\frac{R_3V_i+R_1V_a}{R_1+R_3}.

負輸入端由 VoV_o 經 R2R_2、由 VbV_b 經 R4R_4 接入，因此：

V−=R4Vo+R2VbR2+R4.V_-=\frac{R_4V_o+R_2V_b}{R_2+R_4}.

令 V+=V−V_+=V_-，解出 VoV_o：

Vo=R1(R2+R4)R4(R1+R3)Va−R2R4Vb+R3(R2+R4)R4(R1+R3)Vi.V_o= \frac{R_1(R_2+R_4)}{R_4(R_1+R_3)}V_a -\frac{R_2}{R_4}V_b +\frac{R_3(R_2+R_4)}{R_4(R_1+R_3)}V_i.

所以：

a=R1(R2+R4)R4(R1+R3),b=−R2R4,c=R3(R2+R4)R4(R1+R3).\boxed{a=\frac{R_1(R_2+R_4)}{R_4(R_1+R_3)}},\qquad \boxed{b=-\frac{R_2}{R_4}},\qquad \boxed{c=\frac{R_3(R_2+R_4)}{R_4(R_1+R_3)}}.

第二級運放是以電阻 RR 為輸入阻抗、電容 CC 為回授阻抗的反相積分器：

x=VaVo=−1sRC.\boxed{x=\frac{V_a}{V_o}=-\frac{1}{sRC}}.

第三級同樣是反相積分器，故：

VbVa=−1sRC,y=VbVo=xy=1(sRC)2.\frac{V_b}{V_a}=-\frac{1}{sRC}, \qquad \boxed{y=\frac{V_b}{V_o}=xy=\frac{1}{(sRC)^2}}.

代入 Vo=aVa+bVb+cViV_o=aV_a+bV_b+cV_i，並使用 Va=xVoV_a=xV_o、Vb=yVoV_b=yV_o：

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第 三 題20 分

圖三(a) BJT ro→∞r_o\to\infty，低頻頻率響應 H(s)H(s) 如圖三(b)數學式，s=jωs=j\omega，ω\omega 為角頻率（rad/sec）。

H(s)=vovsig=AMss+ωC1ss+ωC2H(s)=\frac{v_o}{v_{sig}}=A_M\frac{s}{s+\omega_{C1}}\frac{s}{s+\omega_{C2}}

  1. 從電路的結構與特性，定性說明（無推導、無計算）為何 H(s)H(s) 的分母與分子均為 ss 的二階函數。

  2. 根據 H(s)H(s) 數學式，說明應如何處理圖三(a)電路元件以利求算 AMA_M。

  3. 已知並可證明 ωC1=1RC1C1,ωC2=1RC2C2\omega_{C1}=\frac{1}{R_{C1}C_1},\qquad \omega_{C2}=\frac{1}{R_{C2}C_2} 則 RC1R_{C1} 與 RC2R_{C2} 之數學式為何？

  4. ωC1=ωC2=ωC\omega_{C1}=\omega_{C2}=\omega_C 時，33-dB 頻率點 ωL\omega_L 為何？

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核心觀念

本題考查 BJT 共射極放大器的低頻耦合電容效應。圖三(a)有兩個耦合電容：輸入端的 C1C_1 與輸出端的 C2C_2。在 ro→∞r_o\to\infty 的小訊號模型下，兩者各形成一個低頻高通因子，因此

H(s)=AMss+ωC1ss+ωC2.H(s)=A_M\frac{s}{s+\omega_{C1}}\frac{s}{s+\omega_{C2}}.

其中 AMA_M 是中頻增益；中頻時耦合電容近似短路。

解題方法

1. 為何分子與分母都是二階

每個串聯耦合電容在直流時阻斷訊號，因此各自在 s=0s=0 產生一個零點。兩個電容使分子含有 s2s^2，即分子是 ss 的二階函數。

電路有兩個獨立的儲能元件 C1、C2C_1、C_2，因而有兩個低頻極點；題目所給的分母為

(s+ωC1)(s+ωC2),(s+\omega_{C1})(s+\omega_{C2}),

展開後是 ss 的二階函數。

2. 求中頻增益 AMA_M 時如何處理元件

在中頻分析時，將 C1、C2C_1、C_2 視為短路，並將直流電源 VCCV_{CC} 設為交流接地。接著以 BJT 小訊號模型分析，且忽略 ror_o。

令

Rin,B=RB∥[rπ+(β+1)RE],R_{\text{in,B}}=R_B\parallel\bigl[r_\pi+(\beta+1)R_E\bigr],

則基極小訊號電壓與訊號源電壓之比為

vbvsig=Rin,BRsig+Rin,B.\frac{v_b}{v_{\text{sig}}} =\frac{R_{\text{in,B}}}{R_{\text{sig}}+R_{\text{in,B}}}.

再由發射極電阻造成的退化可得

vπvb=rπrπ+(β+1)RE.\frac{v_\pi}{v_b} =\frac{r_\pi}{r_\pi+(\beta+1)R_E}.

因此，共射極中頻增益為

AM=−gm(RC∥RL)Rin,BRsig+Rin,Brπrπ+(β+1)RE.A_M =-g_m(R_C\parallel R_L) \frac{R_{\text{in,B}}}{R_{\text{sig}}+R_{\text{in,B}}} \frac{r_\pi}{r_\pi+(\beta+1)R_E}.

負號表示共射極級的輸出相位與輸入反相。

3. 求 RC1R_{C1} 與 RC2R_{C2}

求某一耦合電容所見的等效電阻時，將其他耦合電容視為短路，並將獨立電壓源歸零。

對 C1C_1 而言，訊號源歸零後，電容兩側分別看見 RsigR_{\text{sig}} 與基極端電阻 Rin,BR_{\text{in,B}}，故

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第 四 題20 分

圖四回授放大器上虛線框內為基本放大器，下虛線框內為回授網路。

已知 Riβ≪Rsig+Ri,Roβ≫Ro+RLR_{i\beta}\ll R_{sig}+R_i,\qquad R_{o\beta}\gg R_o+R_L

定義 αi=RiRsig+Ri,αo=RLRo+RL\alpha_i=\frac{R_i}{R_{sig}+R_i},\qquad \alpha_o=\frac{R_L}{R_o+R_L}

請推導以下參數數學式，並以圖中之變數表示：

  1. 電壓增益 Avf=VoVsigA_{vf}=\frac{V_o}{V_{sig}}

  2. 由 RsigR_{sig} 往右側看之電阻 RifR_{if}（不含 RsigR_{sig}）。

  3. 由 RLR_L 往左側看之電阻 RofR_{of}（不含 RLR_L）。

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核心觀念

本題是電壓串聯負回授：回授網路取樣輸出電壓 βVo\beta V_o，並以串聯方式與輸入訊號相減。負回授會降低電壓增益、提高輸入電阻，並降低輸出電阻。

依題目所給近似條件，忽略回授網路對基本放大器的負載，並使用

αi=RiRsig+Ri,αo=RLRo+RL.\alpha_i=\frac{R_i}{R_{sig}+R_i}, \qquad \alpha_o=\frac{R_L}{R_o+R_L}.

解題方法

輸入端先經 RsigR_{sig} 與 RiR_i 分壓，再扣除回授電壓；輸出端則由 RoR_o 與 RLR_L 分壓。因此

Vi=αi(Vsig−βVo),Vo=αoAvVi.V_i=\alpha_i(V_{sig}-\beta V_o), \qquad V_o=\alpha_o A_vV_i.

代入第二式：

Vo=αiαoAv(Vsig−βVo).V_o=\alpha_i\alpha_o A_v(V_{sig}-\beta V_o).

整理可得閉迴路電壓增益：

Avf=VoVsig=αiαoAv1+αiαoβAv\boxed{ A_{vf}=\frac{V_o}{V_{sig}} =\frac{\alpha_i\alpha_o A_v} {1+\alpha_i\alpha_o\beta A_v} }

其中 αiαoβAv\alpha_i\alpha_o\beta A_v 是此訊號源與負載條件下的迴路增益。

輸入電阻 RifR_{if}

求由 RsigR_{sig} 往右看的電阻時，輸出負載 RLR_L 保留。串聯混合使輸入電阻提高；輸入端的回授電壓與放大器輸入電壓之比為

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第 五 題20 分

圖五(a)電路中，VDD=+5 VV_{DD}=+5\text{ V}。輸入為數位信號 WW 與 XX，輸出為數位信號 YY 與 ZZ。

數位信號為「1」時，電壓為 +VDD+V_{DD}；數位信號為「0」時，電壓為零。

請使用邏輯閘電路符號（circuit symbol）畫出對應於圖五(a)的數位電路，以及對應於圖五(b)中 WW 與 XX 時序的 YY 與 ZZ 隨時間變化波形。

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核心觀念

本題考查傳輸閘（transmission gate）與反相器組成的數位邏輯電路。依圖五(a)，兩個輸出互為反相，可化簡為：

Y=W⊕X,Z=Y‾=W⊙XY=W\oplus X,\qquad Z=\overline{Y}=W\odot X

其中 ⊕\oplus 表示 XOR（互斥或），⊙\odot 表示 XNOR（同或）。因此 WW 與 XX 不同時，Y=1、Z=0Y=1、Z=0；相同時，Y=0、Z=1Y=0、Z=1。

解題方法

將電路等效為 XOR 閘及其後接一個反相器：

W ──┐
 XOR ── Y ── NOT ── Z
X ──┘

對應真值表如下：

WWXXY=W⊕XY=W\oplus XZ=Y‾Z=\overline{Y}
0001
0110
1010
1101

依圖五(b)的輸入波形逐段比較 WW 與 XX，每次其中一個輸入改變時，YY 與 ZZ 便同時反向；兩輸出始終互補。以下由左至右列出每個輸入轉換後的輸出值：

輸入轉換後的狀態YYZZ
初始：W=0, X=0W=0,\ X=001
XX 上升10
XX 下降01
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