114 高普考高考二級 電子工程 電子元件 考古題詳解

核心觀念

本題運用兩種電流密度的基本公式：

• 電洞擴散電流密度：$J_{p,\mathrm{diff}}=-qD_p\dfrac{dp}{dx}$。
• 電子漂移電流密度：$J_{n,\mathrm{drift}}=qn\mu_n E$。

其中 $q=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$。題目給定兩者的總和為常數，因此 $J_{\mathrm{total}}=J_{n,\mathrm{drift}}+J_{p,\mathrm{diff}}$。

解題方法

先由電洞濃度分布求梯度：

$$p(x)=10^{15}e^{-x/L},\qquad \frac{dp}{dx}=-\frac{10^{15}}{L}e^{-x/L}.$$

代入 $L=0.0015\ \mathrm{cm}$ 及 $D_p=15\ \mathrm{cm^2/s}$：

$$\begin{aligned} J_{p,\mathrm{diff}}(x) &=-qD_p\frac{dp}{dx}\\ &=qD_p\frac{10^{15}}{L}e^{-x/L}\\ &=(1.6\times10^{-19})(15) \frac{10^{15}}{0.0015}e^{-x/0.0015}\\ &=1.6e^{-x/0.0015}\ \mathrm{A/cm^2}. \end{aligned}$$

再利用總電流密度為 $9.6\ \mathrm{A/cm^2}$，電子漂移電流密度為

核心觀念

本題考單邊陡峭 $p^+-n$ 接面的空乏近似。令 $N_A\gg N_D$，則電荷中性條件要求

$$N_Ax_p=N_Dx_n$$

因此 $x_p\ll x_n$：空乏區主要延伸至低摻雜的 $n$ 區。空乏區內的空間電荷密度由摻雜離子決定；電場由 Poisson 方程求得，電位則由 $E=-dV/dx$ 積分而得。

設介電常數為 $\varepsilon_s$，並取 $x=0$ 為 $p$ 側空乏區邊界、接面為 $x=x_p$、$n$ 側空乏區邊界為 $x=x_p+x_n$。中性 $p$ 區電位定為零。

解題方法

（一）空間電荷分布與空乏區公式

空乏區中的可動載子已被排空，留下固定的受體負離子與施體正離子：

$$\rho(x)= \begin{cases} -qN_A, & 0<x<x_p\\ +qN_D, & x_p<x<x_p+x_n\\ 0, & \text{其他區域} \end{cases}$$

示意圖如下，正負號表示空間電荷密度的正負：

 ρ(x)
 ↑
+qND│ ┌──────────┐
 │ │ │
 0 ┼───────┐ │ └────────→ x
 │ │ │
−qNA│ └──────────┘
 └───────┬──────────┬──────────┬────────
 0 xp xp+xn
 p 側邊界 接面 n 側邊界
 ←─ xp ─→ ←─── xn ───→

空乏區總寬度 $W=x_p+x_n$。由電荷中性條件及內建電位 $V_{bi}$ 可得

$$N_Ax_p=N_Dx_n$$ $$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_sV_{bi}}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)}$$ $$x_p=\frac{N_D}{N_A+N_D}W,\qquad x_n=\frac{N_A}{N_A+N_D}W$$

其中熱平衡下的內建電位為

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\right)$$

當 $N_A\gg N_D$ 時，

$$x_p\ll x_n,\qquad W\simeq x_n\simeq \sqrt{\frac{2\varepsilon_sV_{bi}}{qN_D}}$$

（二）電場分布與最大電場

由 Poisson 方程 $dE/dx=\rho/\varepsilon_s$，並使用空乏區邊界電場為零，得

$$E(x)= \begin{cases} -\dfrac{qN_A}{\varepsilon_s}x, & 0\le x\le x_p\\[6pt] -\dfrac{qN_D}{\varepsilon_s}(x_p+x_n-x), & x_p\le x\le x_p+x_n\\[6pt] 0, & \text{其他區域} \end{cases}$$

核心觀念

本題考查 MOS 反轉層的量子侷限效應：高垂直電場使半導體表面附近的能帶彎曲，形成近似三角形的位能井。電子沿平行表面的方向可自由移動，但垂直表面的方向受到侷限，因此垂直方向的能量量子化，形成二維電子氣（2DEG）。

令 $x$ 為自絕緣體–半導體界面向半導體內部的距離。比較古典與量子模型時，關鍵是電子濃度在界面處的行為：

• 古典模型將電子視為可連續分布，濃度在界面附近最大，向基底內部逐漸下降。
• 量子模型要求電子波函數滿足界面邊界條件；在理想無限高位能障近似下，界面處波函數為零，因此電子濃度也為零，並在界面內側形成峰值。

解題方法

（一）電子濃度分布

以下示意電子濃度 $n(x)$ 隨深入半導體距離 $x$ 的變化；橫軸為距離，縱軸為電子濃度：

電子濃度 n(x)
↑
│ 古典：●╲
│ │ ╲
│ │ ╲____
│ │
│ │ 量子： ╱╲
│ │ ╱ ╲____
│ │________╱
└───────┼────────────────→ x（深入半導體）
 界面

古典觀點：​在高垂直電場下，表面能帶向下彎曲，電子被吸引至表面附近。若以非簡併統計描述，局部電子濃度可寫成

$$n(x)=n_i\exp\!\left(\frac{E_F-E_i(x)}{kT}\right),$$

其中 $E_i(x)$ 是位置 $x$ 的本質能階。表面附近的能帶彎曲使電子濃度最大；往基底內部，能帶逐漸回復，電子濃度隨之下降。古典模型沒有考慮電子波動性，因而預測電子可一直聚集到界面，呈現界面最大、向內衰減的分布。

量子觀點：​電子在垂直方向的波函數 $\psi_j(x)$ 需滿足薛丁格方程，且在界面位能障處受邊界條件限制。理想位能障近似下，界面處有 $\psi_j(0)=0$，故電子濃度

$$n(x)=\sum_j n_{s,j}\lvert\psi_j(x)\rvert^2$$

在界面為零；離開界面後逐漸增加，在某個有限距離處達到峰值，再向基底內部衰減。此處 $j$ 表示垂直方向的量子子能帶，$n_{s,j}$ 為該子能帶的面電子濃度。電子仍集中於表面附近，但其電荷重心位於半導體內部，與古典預測不同。

實際界面的有限位能障會使波函數延伸至氧化層，分布不會完全符合理想邊界條件；考試作圖以「界面濃度為零、半導體內側有峰值」呈現量子侷限的典型差異。

核心觀念

本題考查 BJT 的四種操作模式，判斷依據是射極–基極（E–B）與集極–基極（C–B）接面的偏壓方向，以及這些偏壓如何決定基極區少數載子的分布。

以 $pnp$ 電晶體為例，射極與集極為 $p$ 型，基極為 $n$ 型，因此基極區的少數載子是電洞。以下定義

$$x=V_{CB}=V_C-V_B,\qquad y=V_{EB}=V_E-V_B$$

在此電壓定義下，$p$ 側電位高於 $n$ 側時，接面順向偏壓。因此，$V_{CB}>0$ 表示 C–B 接面順偏，$V_{EB}>0$ 表示 E–B 接面順偏。

設基極中性區由射極端至集極端的位置為 $z=0$ 至 $z=W_B$，平衡少數電洞濃度為 $p_{n0}$。在理想接面近似下，兩端的少數電洞濃度為

$$p_n(0)=p_{n0}e^{V_{EB}/V_T},\qquad p_n(W_B)=p_{n0}e^{V_{CB}/V_T}$$

其中 $V_T=kT/q$ 為熱電壓。順偏使接面邊緣的少數載子濃度高於平衡值；反偏則使其低於平衡值。基極區的濃度分布可用兩端邊界值連成示意曲線。

解題方法與四種操作模式

先判斷兩個接面的偏壓，再依序標出四種模式所在象限。橫軸是 $V_{CB}$，縱軸是 $V_{EB}$，所以正、負號直接代表該接面順偏、反偏。

操作模式	象限	C–B 接面	E–B 接面
飽和（Saturation）	第一象限：$x>0,\ y>0$	順偏	順偏
順向主動（Active）	第二象限：$x<0,\ y>0$	反偏	順偏
截止（Cutoff）	第三象限：$x<0,\ y<0$	反偏	反偏
反轉主動（Inverted）	第四象限：$x>0,\ y<0$	順偏	反偏

四種模式的象限與基極少數電洞濃度分布如下。圖中 $p_{n0}$ 是平衡濃度基準線，曲線只表示示意趨勢。

(1) 飽和模式：兩接面皆順偏

兩端的少數電洞濃度都高於 $p_{n0}$。曲線連接射極端與集極端的高濃度值；兩端偏壓不同時，曲線會向濃度較低的一端下降。

V_EB
 ↑
 │ (1) 飽和
 │ y>0
 ├──────────────→ V_CB
 │ x>0
 │
基極少數電洞濃度 p_n(z)：
高 ●────────● 高
 射極端 集極端
 0 W_B

(2) 順向主動模式：E–B 順偏、C–B 反偏

核心觀念

短通道效應是指 MOSFET 的閘極長度縮短後，汲極與源極的電場更深入通道，閘極對通道電位與位障的控制能力變弱。其結果包括臨界電壓隨通道縮短而改變、汲極電壓影響源極端位障，以及關閉狀態的漏電增加。

以下比較方向以 n 型 MOSFET、其他偏壓與製程條件相同，且通道長度縮短 為準。短通道下的各項效應彼此相關，但不是每一項都能只用「電流變大或變小」概括。

解題方法

逐項判斷時，先看通道縮短後閘極控制力的變化，再連結到導通、截止兩種操作狀態：

• 導通時，關注臨界電壓降低與高電場造成的載子速度飽和。
• 截止時，關注臨界電壓降低、次臨界特性變差，以及汲極電壓對源極端位障的影響。
• 臨界電壓與 SS 描述不同特性：臨界電壓是形成強反轉所需的閘極電壓；SS 則是次臨界區漏電流每增加十倍所需的閘極電壓增量。

各項特性分析

(1) 導通電流 $I_{\mathrm{on}}$

短通道通常使 $V_T$ 降低；在相同閘極電壓下，過驅電壓 $V_{GS}-V_T$ 增加，因此傾向使 $I_{\mathrm{on}}$ 上升。長通道平方律模型可表示為

$$I_D \approx \frac{1}{2}\mu C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_T)^2$$

但在短通道器件中，電場增強會使載子速度飽和，電流不再依平方律持續增加。因此較精確的結論是：短通道效應通常使 $I_{\mathrm{on}}$ 增加或使其不再隨縮短而按長通道模型增加；實際增加幅度受速度飽和等效應限制。

(2) 截止電流 $I_{\mathrm{off}}$

截止時 $V_{GS}<V_T$，仍有次臨界電流。其大小近似呈指數關係：

$$I_D \propto \exp\left(\frac{V_{GS}-V_T}{nV_{\mathrm{th}}}\right)$$

其中 $V_{\mathrm{th}}=kT/q$，$n$ 為次臨界因子。短通道造成 $V_T$ 降低、SS 變差，且高汲極電壓下 DIBL 會進一步降低有效臨界電壓，因此 $I_{\mathrm{off}}$ 增加。

(3) 臨界電壓 $V_T$