107 高普考高考二級 電力工程 控制系統 考古題詳解

核心觀念

1. 單位負回授系統之特性方程式（Characteristic Equation）： 對於開迴路轉移函數為 $G(s)$ 的單位負回授系統（$H(s)=1$），其閉迴路轉移函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}$，系統之特性方程式為： $1 + G(s) = 0$

2. 穩態誤差（Steady-State Error）與位置誤差常數（Position Error Constant）： 本系統為型態 0（Type 0）系統，面對單位步階輸入時，位置誤差常數定義為： $K_p = \lim_{s \to 0} G(s)$ 單位步階響應之穩態誤差公式為： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p}$

3. 標準二階系統特性方程式之係數比對： 標準二階系統之特性方程式形式為： $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 其中 $\zeta$ 為阻尼比（Damping Ratio），$\omega_n$ 為無阻尼自然頻率（Undamped Natural Frequency）。透過比對閉迴路特徵多項式之係數，即可建立參數方程式。

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解題方法

步驟一：求系統之特性方程式

將開迴路轉移函數 $G(s)=\frac{K(s+a)}{(s+b)^2}$ 代入閉迴路特性方程式 $1+G(s)=0$： $1 + \frac{K(s+a)}{(s+b)^2} = 0 \implies (s+b)^2 + K(s+a) = 0$ 展開並整理為標準二次多項式形式： $s^2 + 2bs + b^2 + Ks + Ka = 0$ $s^2 + (2b + K)s + (b^2 + Ka) = 0 \quad \cdots\cdots\text{（式 1）}$

步驟二：利用步階響應穩態誤差規格求關係式

由題目條件，步階響應穩態誤差 $e_{ss} = 4\% = 0.04$： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = 0.04 = \frac{1}{25} \implies 1 + K_p = 25 \implies K_p = 24$ 計算位置誤差常數 $K_p$： $K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{K(s+a)}{(s+b)^2} = \frac{Ka}{b^2}$ 故得： $\frac{Ka}{b^2} = 24 \implies Ka = 24b^2 \quad \cdots\cdots\text{（式 2）}$

步驟三：利用二階暫態規格比對特徵方程式係數

題目給定阻尼比 $\zeta = 0.6$，自然頻率 $\omega_n = 7\ \text{rad/s}$。 標準二階特性方程式為： $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 代入數值：

核心觀念

本題評量線性非時變（LTI）連續時間系統由「狀態空間表示法（State-Space Representation）」轉換為「頻域轉移函數（Transfer Function）」的基本計算能力。

1. 狀態空間方程式標準型： $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ $y(t) = Cx(t) + Du(t)$ 其中 $x$ 為狀態向量、$u$ 為輸入信號、$y$ 為輸出信號；$A$ 為系統矩陣、$B$ 為輸入矩陣、$C$ 為輸出矩陣、$D$ 為直接傳遞矩陣。

2. 轉移函數公式： 在零初始條件（$x(0) = 0$）下對狀態方程式取拉氏轉換（Laplace Transform）： $sX(s) = AX(s) + BU(s) \implies (sI - A)X(s) = BU(s) \implies X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)$ 代入輸出方程式： $Y(s) = CX(s) + DU(s) = \left[ C(sI - A)^{-1}B + D \right] U(s)$ 轉移函數定義為輸出與輸入之拉氏轉換比值： $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI - A)^{-1}B + D$

3. 二階矩陣之反矩陣公式： 若 $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，則其行列式值 $\det(M) = ad - bc$，反矩陣為： $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \operatorname{adj}(M) = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

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解題方法

步驟一：確認各矩陣參數

由題意可直接對應狀態空間模型之矩陣： $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix} 5 & 0 \end{bmatrix},\quad D = 0$

步驟二：計算特徵矩陣 $(sI - A)$ 及其行列式

$sI - A = s \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -2 \\ 3 & s + 4 \end{bmatrix}$

計算其特徵多項式（即行列式值）： $\det(sI - A) = s(s + 4) - (-2)(3) = s^2 + 4s + 6$

步驟三：求反矩陣 $(sI - A)^{-1}$

利用伴隨矩陣（Adjugate matrix）求二階反矩陣： $(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 4s + 6} \begin{bmatrix} s + 4 & 2 \\ -3 & s \end{bmatrix}$

步驟四：進行矩陣乘法求 $G(s)$

代入轉移函數公式 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B$：

核心觀念

本題評量重點為​「轉移函數轉換為狀態空間表示法」​與​「狀態轉移矩陣之求解」，核心觀念與公式如下：

1. 狀態空間實現（State-Space Realization）： 單一轉移函數對應之狀態空間表示法並非唯一。題目給定轉移函數但未指定狀態變數選取方式，依國考命題慣例，應採用最標準之​「相變數正則式（可控正則式，Phase-Variable / Controllable Canonical Form）」​來選定狀態變數並建立系統矩陣 $A$。
2. 狀態轉移矩陣（State Transition Matrix）之拉氏轉換法： 對於線性非時變連續系統 $\dot{\mathbf{x}}(t) = A\mathbf{x}(t) + B\mathbf{u}(t)$，其狀態轉移矩陣 $\Phi(t) = e^{At}$ 定義為矩陣指數，可利用拉氏逆轉換求解： $\Phi(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ (sI - A)^{-1} \right\}$
3. 二階矩陣反矩陣公式： 若 $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，則 $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$。
4. 部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）與常見拉氏轉換對： $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s - p} \right\} = e^{pt}$

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解題方法

步驟一：依題意建立相變數狀態空間模型

轉移函數為： $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{10}{s^2 + 4s + 3}$

交叉相乘後轉換回時域微分方程式： $\ddot{y}(t) + 4\dot{y}(t) + 3y(t) = 10u(t)$

選取相變數作為狀態變數： $x_1(t) = y(t)$ $x_2(t) = \dot{y}(t) = \dot{x}_1(t)$

微分關係式為： $\dot{x}_1(t) = x_2(t)$ $\dot{x}_2(t) = \ddot{y}(t) = -3x_1(t) - 4x_2(t) + 10u(t)$

整理為矩陣形式 $\dot{\mathbf{x}}(t) = A\mathbf{x}(t) + B u(t)$： $\begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 10 \end{bmatrix} u(t)$

可得系統矩陣 $A$ 為： $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$

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步驟二：求取預解矩陣（Resolvent Matrix）$(sI - A)^{-1}$

計算特徵矩陣 $sI - A$： $sI - A = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 3 & s + 4 \end{bmatrix}$

特徵方程式（行列式）為： $\det(sI - A) = s(s + 4) - (-1)(3) = s^2 + 4s + 3 = (s + 1)(s + 3)$

利用伴隨矩陣求反矩陣： $(sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s + 1)(s + 3)} \begin{bmatrix} s + 4 & 1 \\ -3 & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{s + 4}{(s + 1)(s + 3)} & \frac{1}{(s + 1)(s + 3)} \\ \frac{-3}{(s + 1)(s + 3)} & \frac{s}{(s + 1)(s + 3)} \end{bmatrix}$

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步驟三：將各元素進行部分分式展開

將四個分式個別拆解：

1. 左上角元素： $\frac{s + 4}{(s + 1)(s + 3)} = \frac{k_{11}}{s + 1} + \frac{k_{12}}{s + 3}$ $k_{11} = \left. \frac{s + 4}{s + 3} \right|_{s = -1} = \frac{3}{2}$ $k_{12} = \left. \frac{s + 4}{s + 1} \right|_{s = -3} = -\frac{1}{2}$ $\implies \frac{s + 4}{(s + 1)(s + 3)} = \frac{3/2}{s + 1} - \frac{1/2}{s + 3}$

核心觀念

1. 羅斯－赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）： 線性非時變（LTI）系統維持漸近穩定（Asymptotically Stable）的充要條件為特徵方程式（Characteristic Equation）的所有根均具有負實部，即所有極點皆位於左半 $s$ 平面（LHP）。利用羅斯表（Routh Array），系統穩定的充要條件為羅斯表第一行（First Column）之所有元素符號皆為正且不為零。
2. 臨界穩定（Marginal Stability）與全零列（Row of Zeros）： 當系統處於臨界穩定時，在虛軸（$j\omega$ 軸）上存在一對共軛虛根 $s = \pm j\omega$。在羅斯表中，這會導致奇數階次列（本題為 $s^1$ 列）之所有元素全為零。
3. 輔助方程式（Auxiliary Equation）： 當出現全零列時，取其上一列偶數階次（本題為 $s^2$ 列）之係數構成輔助多項式 $A(s) = 0$。此方程式之根即為系統位於虛軸上的共軛極點，其虛部大小即為臨界穩定時的系統持續振盪頻率 $\omega$（單位：$\text{rad/s}$）。

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解題方法

步驟一：建立羅斯表（Routh Array）

給定系統特性方程式為： $P(s) = s^6 + 9s^5 + 31.25s^4 + 61.25s^3 + 67.75s^2 + 14.75s + K = 0$

為求計算精確，將小數轉為分數以避免捨入誤差：

• $a_6 = 1$
• $a_5 = 9$
• $a_4 = 31.25 = \frac{125}{4}$
• $a_3 = 61.25 = \frac{245}{4}$
• $a_2 = 67.75 = \frac{271}{4}$
• $a_1 = 14.75 = \frac{59}{4}$
• $a_0 = K$

依定義由前兩列展開羅斯表：

1. $s^4$ 列計算： $b_1 = \frac{9 \times \frac{125}{4} - 1 \times \frac{245}{4}}{9} = \frac{\frac{880}{4}}{9} = \frac{220}{9}$ $b_2 = \frac{9 \times \frac{271}{4} - 1 \times \frac{59}{4}}{9} = \frac{\frac{2380}{4}}{9} = \frac{595}{9}$ $b_3 = \frac{9 \times K - 1 \times 0}{9} = K$

2. $s^3$ 列計算： $c_1 = \frac{\frac{220}{9} \times \frac{245}{4} - 9 \times \frac{595}{9}}{\frac{220}{9}} = \frac{\frac{13475}{9} - 595}{\frac{220}{9}} = \frac{\frac{8120}{9}}{\frac{220}{9}} = \frac{8120}{220} = \frac{406}{11}$ $c_2 = \frac{\frac{220}{9} \times \frac{59}{4} - 9 \times K}{\frac{220}{9}} = \frac{\frac{3245}{9} - 9K}{\frac{220}{9}} = \frac{3245 - 81K}{220}$

3. $s^2$ 列計算： $d_1 = \frac{c_1 \times b_2 - b_1 \times c_2}{c_1} = \frac{\frac{406}{11} \times \frac{595}{9} - \frac{220}{9} \times \left(\frac{3245 - 81K}{220}\right)}{\frac{406}{11}} = \frac{\frac{241570}{99} - \frac{3245 - 81K}{9}}{\frac{406}{11}}$ 通分化簡分子： $\frac{241570 - 11(3245 - 81K)}{99} = \frac{241570 - 35695 + 891K}{99} = \frac{205875 + 891K}{99}$ 同除以 $c_1 = \frac{406}{11}$： $d_1 = \frac{205875 + 891K}{9 \times 406} = \frac{22875 + 99K}{406}$ $d_2 = \frac{c_1 \times K - b_1 \times 0}{c_1} = K$

4. $s^1$ 列計算： $e_1 = \frac{d_1 \times c_2 - c_1 \times d_2}{d_1} = \frac{\left(\frac{22875 + 99K}{406}\right)\left(\frac{3245 - 81K}{220}\right) - \frac{406}{11}K}{d_1}$

5. $s^0$ 列計算： $f_1 = \frac{e_1 \times d_2 - d_1 \times 0}{e_1} = d_2 = K$

羅斯表第一行整理如下：

• $s^6$：$1$
• $s^5$：$9$
• $s^4$：$\frac{220}{9}$
• $s^3$：$\frac{406}{11}$
• $s^2$：$d_1 = \frac{22875 + 99K}{406}$
• $s^1$：$e_1$
• $s^0$：$K$

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