107 高普考高考二級 電力工程 電力電子 考古題詳解

核心觀念

本題評量非線性負載於交流電源側所引發之諧波與功率因數特性，出自 Ned Mohan 所著之經典電力電子學教材架構，核心觀念涵蓋以下要點：

1. 非弦波週期波形之有效值（RMS Value）： 週期為 $T$ 之電流波形 $i(t)$，其有效值定義為方均根值： $I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) \, dt}$

2. 傅立葉級數展開（Fourier Series）與基波分析： 對稱方波具備奇函數對稱性（Odd Symmetry）與半波對稱性（Half-Wave Symmetry），僅含奇次諧波。其基波（Fundamental Component）振幅為： $I_{1,\text{peak}} = \frac{4 I_m}{\pi}$ 基波有效值為： $I_{1,\text{rms}} = \frac{I_{1,\text{peak}}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} I_m$

3. 失真因數（Distortion Factor, DF）： 依電力電子學定義，失真因數代表基波有效值佔總電流有效值之比率： $\text{DF} = \frac{I_{1,\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}$ （註：總諧波失真率 $\text{THD} = \sqrt{\frac{1}{\text{DF}^2} - 1}$）

4. 位移功率因數（Displacement Power Factor, DPF）與總功率因數（Power Factor, PF）： $\text{DPF} = \cos(\phi_1) = \cos(\theta_{v1} - \theta_{i1})$ $\text{PF} = \frac{P}{S} = \text{DF} \times \text{DPF} = \left(\frac{I_{1,\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}\right) \cos(\phi_1)$

5. 被動濾波與虛功補償機制： 利用並聯（Shunt）被動元件提供諧波分流路徑與超前虛功，在不改變負載端端電壓及負載汲取電流的前提下，改善電源側之電流波形與相角。

解題方法

原卷圖一所示為單相交流電源供應非線性負載（如整流電路搭配高感性負載）所引入之對稱方波電流。設電源電壓為標準弦波 $v_s(t) = V_m \sin(\omega t)$，方波電流峰值為 $I_m$，正半週 $0 \le \omega t < \pi$ 區間電流為 $+I_m$，負半週 $\pi \le \omega t < 2\pi$ 區間電流為 $-I_m$。

(一) 計算電流波形之有效值

電流波形週期為 $2\pi$，依方均根值定義進行積分： $I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} i^2(\omega t) \, d(\omega t)}$ 代入波形分段常數值： $I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \left[ \int_0^{\pi} (I_m)^2 \, d(\omega t) + \int_{\pi}^{2\pi} (-I_m)^2 \, d(\omega t) \right]}$ $I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \left( I_m^2 \cdot \pi + I_m^2 \cdot \pi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi I_m^2} = I_m$

(二) 計算失真因數（Distortion Factor, DF）

將對稱方波進行傅立葉級數展開： $i(\omega t) = \sum_{n=1, 3, 5, \dots}^{\infty} \frac{4 I_m}{n\pi} \sin(n\omega t)$ 其中基波成分（$n=1$）之時域表達式為： $i_1(\omega t) = \frac{4 I_m}{\pi} \sin(\omega t)$ 求得基波有效值 $I_{1,\text{rms}}$： $I_{1,\text{rms}} = \frac{I_{1,\text{peak}}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{4 I_m}{\pi}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} I_m \approx 0.9003 I_m$ 依定義計算失真因數 $\text{DF}$： $\text{DF} = \frac{I_{1,\text{rms}}}{I_{\text{rms}}} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{\pi} I_m}{I_m} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \approx 0.9003 \quad (90.03\%)$

(三) 計算位移功率因數（Displacement Power Factor, DPF）

位移功率因數定義為基波電壓與基波電流之相位差餘弦值： $\text{DPF} = \cos(\phi_1) = \cos(\theta_{v1} - \theta_{i1})$

核心觀念

本題評量隔離型直流－直流轉換器中「全橋式轉換器（Full-Bridge DC-DC Converter）」於連續導通模式（CCM）下之穩態分析能力。解題依據的核心觀念與公式如下：

1. 電感伏秒平衡定律（Volt-Second Balance）：穩態下一週期內電感兩端平均電壓為零，藉此推導輸入與輸出電壓轉換比： $V_o = 2 D V_s \left(\frac{N_2}{N_1}\right)$ 其中 $V_s$ 為直流輸入電壓、$D = \frac{t_{on}}{T_s}$ 為開關責任週期（各組開關導通率，最大為 $0.5$）、$N_1 : N_2$ 為高頻變壓器初級與次級匝數比。
2. 輸出整流之倍頻效應：變壓器次級側經全波整流後，輸出濾波電感 $L$ 在開關一個週期 $T_s$ 內經歷兩次充電與放電，其電流漣波頻率為開關頻率的兩倍： $f_{ripple} = 2 f_s = \frac{2}{T_s}$
3. 電感漣波電流計算：由電感微分方程式 $v_L = L \frac{di_L}{dt}$，利用全關斷飛輪區間（$v_L = -V_o$）之電壓與持續時間計算峰對峰漣波： $\Delta i_L = \frac{V_o}{L} \Delta t_{off} = \frac{V_o}{L} \left(\frac{T_s}{2} - t_{on}\right)$
4. 開關電流峰值：開關導通時流經之電流為變壓器次級側電感電流經匝數比折算至初級側之數值，其峰值對應電感電流之最大值 $I_{L,max}$： $I_{S,peak} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right) I_{L,max} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right) \left(I_o + \frac{\Delta i_L}{2}\right)$

解題方法

依原卷圖二所示，本電路為全橋式直流－直流轉換器，圖中給定之電氣參數為：輸入直流電壓 $V_s = 100\,\mathrm{V}$、變壓器匝數比 $N_1 : N_2 = 1 : 1$、開關切換週期 $T_s = 50\,\mu\mathrm{s}$（對應開關頻率 $f_s = 20\,\mathrm{kHz}$），開關導通時間 $t_{on} = 15\,\mu\mathrm{s}$（對應責任週期 $D = \frac{t_{on}}{T_s} = 0.3$）。電感值 $L = 250\,\mu\mathrm{H}$、負載電阻 $R = 30\,\Omega$。

(一) 計算輸出電壓 $V_o$

1. 開關對（$S_1, S_2$）與（$S_3, S_4$）交替導通，各導通 $t_{on} = D T_s = 15\,\mu\mathrm{s}$。
2. 當開關導通時，次級側整流電壓為 $V_{rec} = V_s \left(\frac{N_2}{N_1}\right) = 100 \times 1 = 100\,\mathrm{V}$，電感跨壓為 $v_L = V_{rec} - V_o$。
3. 當所有開關皆關斷時（飛輪區間），次級側整流二極體皆導通，電感跨壓為 $v_L = -V_o$。
4. 依半週期 $\frac{T_s}{2}$ 內電感伏秒平衡： $\left[V_s \left(\frac{N_2}{N_1}\right) - V_o\right] t_{on} + (-V_o)\left(\frac{T_s}{2} - t_{on}\right) = 0$ 整理可得輸出電壓公式： $V_o = 2 D V_s \left(\frac{N_2}{N_1}\right) = 2 \times 0.3 \times 100 \times 1 = 60\,\mathrm{V}$

(二) 計算電感電流 $i_L$ 之漣波頻率

1. 開關工作頻率為：

核心觀念

本題為經典的單相功因修正升壓型轉換器（Single-Phase Boost PFC Converter）​及其平均電流模式控制（Average Current-Mode Control）電路分析。解題所依據的核心觀念與理論公式如下：

1. 功率平衡與功因修正（PFC）原理：

• 理想 PFC 電路控制交流輸入電流 $i_s(t)$ 與交流輸入電壓 $v_s(t) = \hat{V}_s \sin(\omega t)$ 同相位，且呈弦波追隨，功率因數 $\mathrm{PF} = 1$。
• 穩態且理想無損耗條件下，輸入平均功率等於直流輸出功率： $P_{\mathrm{in}} = V_{s,\mathrm{rms}} I_{s,\mathrm{rms}} = P_o = \frac{V_d^2}{R}$
• 電流峰值 $\hat{I}_s$ 與有效值關係為 $\hat{I}_s = \sqrt{2} I_{s,\mathrm{rms}} = \frac{2 P_o}{\hat{V}_s}$。

2. 直流側二次諧波電壓漣波（Second-Harmonic Ripple）推導：

• 單相系統的瞬時輸入功率具有兩倍市電頻率（$2\omega$）的脈動成分： $p_{\mathrm{in}}(t) = v_s(t) i_s(t) = 2 V_{s,\mathrm{rms}} I_{s,\mathrm{rms}} \sin^2(\omega t) = P_o - P_o \cos(2\omega t)$
• 輸出負載吸收穩定的直流功率 $P_o$，故二次諧波脈動功率全由輸出電容 $C$ 吸收： $i_C(t) \approx -\frac{P_o}{V_d} \cos(2\omega t)$
• 輸出電壓峰對峰漣波值（Peak-to-Peak Ripple）為： $\Delta v_d = \frac{P_o}{\omega C V_d} = \frac{I_d}{\omega C} = \frac{P_o}{2\pi f C V_d}$

3. 電流感測增益與控制器信號對應：

• 電流感測器增益為 $k_i = \frac{1\,\mathrm{V}}{10\,\mathrm{A}} = 0.1\,\mathrm{V/A}$。
• 電壓外環之輸出提供電流振幅指令 $\hat{I}_s^*$（單位為伏特）。穩態下電流閉迴路達成完全追蹤時，感測電壓峰值等於控制器給定之峰值指令： $\hat{I}_s^* = k_i \cdot \hat{I}_s$

4. 升壓型前饋控制（Feedforward Control）原理：

• 升壓型轉換器在連續導通模式（CCM）下，電感伏秒平衡滿足： $|v_s| = (1 - d) v_d \implies d = 1 - \frac{|v_s|}{v_d}$
• 為減輕電流調節器負擔並加速動態追隨，前饋信號直接提供穩態所需的責任週期對應電壓： $v_{\mathrm{ff}} = \hat{V}_{\mathrm{tri}} \left(1 - \frac{|v_s|}{v_d}\right)$

解題方法

電路與波形基準參數確立

對照考卷原圖三之標準電路架構與示波器穩態波形數值：

• 交流電源：市電有效值 $V_{s,\mathrm{rms}} = 120\,\mathrm{V}$，頻率 $f = 60\,\mathrm{Hz}$（角頻率 $\omega = 2\pi \times 60 \approx 377\,\mathrm{rad/s}$），電壓峰值 $\hat{V}_s = \sqrt{2} \times 120 \approx 169.7\,\mathrm{V}$。
• 直流輸出：額定穩態輸出電壓 $V_d = 200\,\mathrm{V}$，負載電阻 $R = 40\,\Omega$（或標示穩態輸出功率 $P_o = 1\,\mathrm{kW} = 1000\,\mathrm{W}$）。
• 濾波元件：電感 $L = 250\,\mu\mathrm{H}$，輸出電容 $C = 1000\,\mu\mathrm{F}$。
• 開關載波：鋸齒波週期 $T_s = 20\,\mu\mathrm{s}$（切換頻率 $f_s = 50\,\mathrm{kHz}$）。
• 感測器特性：$k_i = 0.1\,\mathrm{V/A}$。

(一) 計算電路中電流 $i_s$ 之峰值 $\hat{I}_s$

1. 輸出端直流功率計算： $P_o = \frac{V_d^2}{R} = \frac{200^2}{40} = 1000\,\mathrm{W}$
2. 輸入端功率平衡推導： 電路為理想元件且達單位功因（$\mathrm{PF} = 1$），無功功率為零，轉換效率為 $100\%$： $P_{\mathrm{in}} = V_{s,\mathrm{rms}} \cdot I_{s,\mathrm{rms}} = P_o = 1000\,\mathrm{W}$
3. 輸入電流有效值與峰值計算： $I_{s,\mathrm{rms}} = \frac{P_o}{V_{s,\mathrm{rms}}} = \frac{1000}{120} = \frac{25}{3} \approx 8.333\,\mathrm{A}$ 題目要求不考慮切換高頻漣波，故弦波峰值為： $\hat{I}_s = \sqrt{2} \cdot I_{s,\mathrm{rms}} = \sqrt{2} \times \frac{25}{3} = \frac{25\sqrt{2}}{3} \approx 11.79\,\mathrm{A}$

(二) 計算輸出電壓 $v_d$ 之峰對峰值 $\Delta v_d$

1. 負載直流電流計算： $I_d = \frac{P_o}{V_d} = \frac{1000}{200} = 5\,\mathrm{A}$
2. 二次諧波漣波電壓推導： 流經電容之 $120\,\mathrm{Hz}$ 漣波電流為 $i_C(t) = -I_d \cos(2\omega t)$。 電容電壓漣波為： $\tilde{v}_d(t) = \frac{1}{C} \int i_C(t)\,dt = -\frac{I_d}{2\omega C} \sin(2\omega t)$ 電壓漣波之單邊峰值振幅為： $\hat{V}_{d,\mathrm{ripple}} = \frac{I_d}{2\omega C} = \frac{P_o}{2\omega C V_d}$
3. 輸出電壓之峰對峰值（$\Delta v_d$）計算：

核心觀念

本題評量三相電壓源換流器（Three-Phase Voltage Source Inverter, VSI）之正弦脈波寬度調變（Sinusoidal PWM, SPWM）與三次諧波注入調變（Third-Harmonic Injection PWM, THIPWM）的核心原理與分析計算：

1. 三相換流器架構與電位定義：

• 直流側中點標記為 $o$，直流鏈總電壓設為 $V_d$（即正母線電位為 $+V_d/2$、負母線電位為 $-V_d/2$）。若原圖給定特定直流電壓值，則直接代入 $V_d$。
• 負載側三相為對稱 Y 接，其中性點標記為 $n$。
• 三相橋臂中點相對於直流中點 $o$ 之極電壓（Pole Voltage）分別為 $v_{ao}(t)$、$v_{bo}(t)$、$v_{co}(t)$。
• 對稱三相對稱負載中，相電壓滿足 $v_{an} + v_{bn} + v_{cn} = 0$，由 $v_{xo} = v_{xn} + v_{no}$（$x=a,b,c$）可得中性點對直流中點電壓：

2. 脈波寬度調變（PWM）之線性調變特性：

• 三角載波 $v_{\mathrm{tri}}$ 之峰值為 $\hat{V}_{\mathrm{tri}} = 1\,\mathrm{V}$，週期 $T_s = 20\,\mu\mathrm{s}$。
• 在線性調變區（$|v_{\mathrm{cont}}| \le \hat{V}_{\mathrm{tri}} = 1\,\mathrm{V}$）內，上臂開關導通率為 $d = \frac{1 + v_{\mathrm{cont}}/\hat{V}_{\mathrm{tri}}}{2}$。
• 一個載波週期內的極電壓平均值與控制信號成正比：

3. 基本波與諧波的線電壓合成：

• 線電壓為兩極電壓之差：$v_{bc}(t) = v_{bo}(t) - v_{co}(t)$。
• 同相成分（零序成分，如三次諧波）在三相線電壓中會完全相消抵消。

解題方法

(一) 計算 $\bar{v}_{ao}$ 與 $\bar{v}_{no}$ 之週期平均值

給定控制信號：$v_{\mathrm{cont},a} = 0.5$、$v_{\mathrm{cont},b} = 0.5$、$v_{\mathrm{cont},c} = -1$，三角波峰值 $\hat{V}_{\mathrm{tri}} = 1\,\mathrm{V}$。

1. 求 $v_{ao}(t)$ 之平均值 $\bar{v}_{ao}$： 由於控制信號在一週期內為常數，上臂導通率為：

因此，在一個切換週期 $T_s = 20\,\mu\mathrm{s}$ 內，$v_{ao}(t)$ 的平均值為：

2. 求 $v_{no}(t)$ 之平均值 $\bar{v}_{no}$： 同理計算 $b$ 相與 $c$ 相極電壓平均值：

根據三相對稱負載之中性點漂移電壓公式：

(二) 計算基本波成分 $v_{bo,1}(t)$ 與 $v_{bc,1}(t)$

給定正弦調變控制信號：

控制信號振幅 $\hat{V}_{\mathrm{cont}} = 1\,\mathrm{V}$，調變率 $m_a = \frac{\hat{V}_{\mathrm{cont}}}{\hat{V}_{\mathrm{tri}}} = \frac{1}{1} = 1 \le 1$（處於線性調變區）。

1. 極電壓基本波成分 $v_{bo,1}(t)$： 在線性調變區內，輸出極電壓基本波之振幅為 $m_a \frac{V_d}{2}$，且與控制信號同相位：

2. 線電壓基本波成分 $v_{bc,1}(t)$： 由線電壓定義：$v_{bc,1}(t) = v_{bo,1}(t) - v_{co,1}(t)$。 其中：