109 高普考高考二級 電力工程 電力電子 考古題詳解

109 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力電子

第 一 題30 分

圖一之方波變頻器（Square-Wave Inverter），其 RLRL 負載為 R=15 ΩR=15\ \Omega、L=10 mHL=10\ \mathrm{mH}。輸出頻率為 400 Hz400\ \mathrm{Hz}。

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試求建立具有 8 A(rms)8\ \mathrm{A(rms)} 基本波頻率成分的負載電流所需之直流電壓源數值，以及負載電流之 THD\mathrm{THD}。

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核心觀念

單相全橋方波變頻器的輸出電壓在 +Vdc+V_{dc} 與 −Vdc-V_{dc} 間切換，因此電壓波形只含奇次諧波。第 nn 次奇次諧波的電壓有效值為

Vn,rms=4Vdcnπ2,n=1,3,5,…V_{n,\mathrm{rms}}=\frac{4V_{dc}}{n\pi\sqrt{2}},\qquad n=1,3,5,\ldots

對串聯 RLRL 負載，第 nn 次諧波的阻抗大小為

∣Zn∣=R2+(nωL)2,ω=2πf|Z_n|=\sqrt{R^2+(n\omega L)^2},\qquad \omega=2\pi f

因此該次負載電流有效值為 In,rms=Vn,rms/∣Zn∣I_{n,\mathrm{rms}}=V_{n,\mathrm{rms}}/|Z_n|。電流總諧波失真定義為

THDi=∑n=2∞In,rms2I1,rms\mathrm{THD}_i=\frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}I_{n,\mathrm{rms}}^2}}{I_{1,\mathrm{rms}}}

本題方波電壓沒有偶次諧波，所以總和只需計入 n=3,5,7,…n=3,5,7,\ldots。

解題方法

先用基本波電流 I1,rms=8 AI_{1,\mathrm{rms}}=8\ \mathrm{A} 求基本波所需電壓，再由方波基本波電壓與直流電壓的關係求 VdcV_{dc}。接著依序計算各奇次諧波電流，代入 THD 定義。

頻率為 f=400 Hzf=400\ \mathrm{Hz}，故

ω=2π(400)=2513.27 rad/s\omega=2\pi(400)=2513.27\ \mathrm{rad/s}

基本波負載阻抗為

∣Z1∣=152+(2513.27×0.01)2=29.269 Ω|Z_1|=\sqrt{15^2+\left(2513.27\times0.01\right)^2} =29.269\ \Omega

建立 8 A(rms)8\ \mathrm{A(rms)} 基本波電流所需的基本波電壓為

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第 二 題30 分

電流源

i=3+5sin⁡(377πt) Ai=3+5\sin(377\pi t)\ \mathrm{A}

連接至一電阻器、一電感器與一直流電壓源（電流流進其正端）串聯組合之負載。

其中 R=4 ΩR=4\ \Omega、L=15 mHL=15\ \mathrm{mH}、VDC=6 VV_{\mathrm{DC}}=6\ \mathrm{V}。請計算每一個元件所吸收的平均功率。

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核心觀念

採用被動符號慣例：電流流入元件標示的正端時，元件吸收功率為 p(t)=v(t)i(t)p(t)=v(t)i(t)。平均功率是功率對一個完整週期取平均。

電阻的瞬時功率為 pR(t)=Ri2(t)p_R(t)=Ri^2(t)；理想電感的平均功率在週期穩態下為零，因為電感只儲存並釋放磁場能量；直流電壓源吸收的功率則為 pDC(t)=VDCi(t)p_{\mathrm{DC}}(t)=V_{\mathrm{DC}}i(t)。

解題方法

已知串聯電流為

i(t)=3+5sin⁡(377πt) A.i(t)=3+5\sin(377\pi t)\ \mathrm{A}.

其直流分量為 IDC=3 AI_{\mathrm{DC}}=3\ \mathrm{A}，正弦分量的峰值為 5 A5\ \mathrm{A}。一個完整週期內，正弦分量的平均值為 00，平方的平均值為 1/21/2。

電阻吸收的平均功率為

PR=R⟨i2(t)⟩=4⟨(3+5sin⁡(377πt))2⟩=4(9+30⟨sin⁡(377πt)⟩+25⟨sin⁡2(377πt)⟩)=4(9+0+252)=86 W.\begin{aligned} P_R &=R\left\langle i^2(t)\right\rangle\\ &=4\left\langle \left(3+5\sin(377\pi t)\right)^2\right\rangle\\ &=4\left(9+30\left\langle\sin(377\pi t)\right\rangle +25\left\langle\sin^2(377\pi t)\right\rangle\right)\\ &=4\left(9+0+\frac{25}{2}\right)\\ &=\boxed{86\ \mathrm{W}}. \end{aligned}

理想電感的電壓為 vL(t)=L di/dtv_L(t)=L\,di/dt，因此瞬時功率為

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第 三 題20 分

圖二之電力轉換器（AC/AC）連接至交流電源 120 V/rms120\ \mathrm{V/rms}、50 Hz50\ \mathrm{Hz}，轉換器之輸出電壓波形如圖三所示。

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圖三中電壓波形之基本波頻率為何？請畫出轉換器開關之控制時序圖。

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核心觀念

本題考查單相橋式 AC/AC 轉換器的輸出波形週期，以及依輸入電壓極性選擇導通開關，使負載電壓維持所需極性。圖三每 10 ms10\ \mathrm{ms} 出現一個輸入半週波；輸出連續四個半週為正，接續四個半週為負。

解題方法

交流電源頻率為 50 Hz50\ \mathrm{Hz}，因此輸入週期為

Ts=150=20 msT_s=\frac{1}{50}=20\ \mathrm{ms}

輸入每半週長 10 ms10\ \mathrm{ms}。由圖三讀取，輸出為正的時間是 00 至 40 ms40\ \mathrm{ms}，為負的時間是 4040 至 80 ms80\ \mathrm{ms}；到 80 ms80\ \mathrm{ms} 後波形重複。因此輸出基本週期為

To=80 msT_o=80\ \mathrm{ms}

基本波頻率為

fo=1To=10.08=12.5 Hzf_o=\frac{1}{T_o} =\frac{1}{0.08} =12.5\ \mathrm{Hz}

也可由頻率比驗算：一個輸出週期包含四個輸入週期，故 fo=50/4=12.5 Hzf_o=50/4=12.5\ \mathrm{Hz}。

開關控制時序

在此橋式電路中，S1、S2S_1、S_2 與 S3、S4S_3、S_4 為兩組對角開關。輸入電壓正半週時，觸發 S1、S2S_1、S_2 可使輸出為正；輸入負半週時，觸發 S3、S4S_3、S_4 可使輸出為正。要使輸出為負，則交換兩組開關。

依圖三，控制時序如下；表中每個區間代表該組開關受觸發並導通的輸入半週，時序每 80 ms80\ \mathrm{ms} 重複一次。

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第 四 題20 分

如圖三之輸出電壓波形，試求其輸出電壓有效值（Vo,rmsV_{o,\mathrm{rms}}）、基本波電壓之峰值（Vo,1,pV_{o,1,\mathrm{p}}）與有效值（Vo,1,rmsV_{o,1,\mathrm{rms}}），以及輸出電壓諧波成分（Vo,hV_{o,\mathrm{h}}）。

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核心觀念

輸出電壓的有效值由整個波形平方平均後開根號；基波則由傅立葉級數求出。各諧波彼此正交，因此總有效值平方等於基波有效值平方加上諧波有效值平方。

由圖可讀出輸出波形每 80 ms80\text{ ms} 重複一次，故輸出基頻為

fo=180 ms=12.5 Hz.f_o=\frac{1}{80\text{ ms}}=12.5\text{ Hz}.

輸入電源頻率為 50 Hz50\text{ Hz}，是輸出基頻的 4 倍。令 θ=2πfot\theta=2\pi f_o t，輸入峰值為

Vm=2(120)=169.7 V.V_m=\sqrt{2}(120)=169.7\text{ V}.

解題方法

  1. 輸出電壓有效值

波形各段是輸入正弦波的正、負半波，僅依輸出週期改變極性；平方後與原輸入正弦波相同。因此

Vo,rms=1To∫0Tovo2(t) dt=Vm2=120 V.V_{o,\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{1}{T_o}\int_0^{T_o}v_o^2(t)\,dt} =\frac{V_m}{\sqrt{2}} =120\text{ V}.
  1. 基本波電壓峰值

在 0≤θ≤π0\leq\theta\leq\pi，輸出為 Vm∣sin⁡4θ∣V_m|\sin4\theta|；下一個半週波形反相，因此只需計算正弦項的傅立葉係數：

Vo,1,p=b1=2π∫0πVm∣sin⁡4θ∣sin⁡θ dθ.V_{o,1,\mathrm{p}}=b_1 =\frac{2}{\pi}\int_0^\pi V_m|\sin4\theta|\sin\theta\,d\theta.

將積分區間依 sin⁡4θ\sin4\theta 的正負分成四段，可得

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