109 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

109 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題25 分

有三個完全相同的 100 kVA100\ \mathrm{kVA}、2300/460 V2300/460\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 單相變壓器（single-phase transformers），且其參考到低電壓側的等效阻抗為 0.045+j0.16 Ω0.045+j0.16\ \Omega。今欲將之連接成為一組 2300/460 V2300/460\ \mathrm{V} 的三相變壓器（three-phase transformer bank），以供應額定 300\ \mathrm{kVA}、三相 460 V460\ \mathrm{V}、功率因數為 0.850.85 落後之負載。

（一）試繪出此三相變壓器之接線方式，且圖中應包含 0.045+j0.16 Ω0.045+j0.16\ \Omega 之等效阻抗。（10 分）

（二）試計算此三相電源輸入端之線電壓值與線電流值。（10 分）

（三）試求出此三相變壓器之電壓調整率（voltage regulation）。（5 分）

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核心觀念

本題考查三台單相變壓器組成三相變壓器組的接線、每台變壓器容量限制、三相功率計算，以及以每相等效電路求電壓調整率。

三台單相變壓器各為 100 kVA100\ \mathrm{kVA}，負載總容量為 300 kVA300\ \mathrm{kVA}。採用 Δ−Δ\Delta-\Delta 接線時，每台繞組承受線電壓，每台容量為 300/3=100 kVA300/3=100\ \mathrm{kVA}，恰好符合額定容量；一次、二次的線電壓比為 2300/4602300/460，因此可組成題目要求的電壓等級。

解題方法

令二次側線電壓 VL2=460 VV_{L2}=460\ \mathrm{V}，負載視為平衡三相負載。先由負載視在功率求二次線電流，再依 Δ−Δ\Delta-\Delta 接線關係換算相電流及一次側電流。電壓調整率則將每台變壓器的等效阻抗直接用於其低壓側相等效電路計算。

（一）接線方式及等效阻抗

採用 Δ−Δ\Delta-\Delta 接線。一次側每相繞組接於一組一次線端之間；二次側每相繞組也接於一組二次線端之間，三個繞組首尾相接形成三角形。每台變壓器低壓側參考阻抗為

Zeq=0.045+j0.16 ΩZ_{\mathrm{eq}}=0.045+j0.16\ \Omega

相量接線示意如下；三個阻抗分別代表三台變壓器各自參考到低壓側的串聯等效阻抗：

一次側：Δ，線電壓 2300 V

 A
 / \
 T_CA/ \T_AB
 / \
 C-------B
 T_BC

二次側：Δ，線電壓 460 V；各支路串聯低壓側等效阻抗

 a
 / \
 (Zeq, T_ca)/ $Zeq, T_ab)
 / \
 c-------b
 (Zeq, T_bc)

一次側各繞組接於 ABAB、BCBC、CACA，二次側各繞組接於 abab、bcbc、caca；接線極性須使三相相序一致。圖中的 ZeqZ_{\mathrm{eq}} 置於各二次相支路內，與對應的理想變壓器串聯。

（二）三相電源輸入端線電壓及線電流

負載二次側視在功率為 S2=300 kVAS_2=300\ \mathrm{kVA}，因此二次側線電流為

IL2=S23VL2=300 0003×460=376.5 AI_{L2}=\frac{S_2}{\sqrt{3}V_{L2}} =\frac{300\,000}{\sqrt{3}\times460} =376.5\ \mathrm{A}

Δ\Delta 接線中，線電流為相電流的 3\sqrt{3} 倍，故每台變壓器二次繞組電流為

Iϕ2=IL23=217.4 AI_{\phi2}=\frac{I_{L2}}{\sqrt{3}} =217.4\ \mathrm{A}

每台變壓器的二次繞組額定電流為 100 000/460=217.4 A100\,000/460=217.4\ \mathrm{A}，與計算值相符。理想變比為 $2300/460=5

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第 二 題25 分

某 15 kW15\ \mathrm{kW}、120 V120\ \mathrm{V}、1800 rpm1800\ \mathrm{rpm} 之直流並激電動機（shunt motor），已知其電樞電阻 Ra=0.15 ΩR_a=0.15\ \Omega。

（一）為了避免起動電流過大，造成電動機的損壞，需加裝起動器（starter），使其電樞電流於起動期間限制在額定值的 100%100\% 至 200%200\% 之間。試設計此起動器電路。（15 分）

（二）此電動機之旋轉損失（rotational loss）為 1 kW1\ \mathrm{kW}，試計算此電動機於額定滿載運轉時之輸出扭力為多少 N⋅m\mathrm{N\cdot m}？（10 分）

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核心觀念

直流並激電動機起動瞬間轉速為零，因此反電勢 Eb=0E_b=0。若直接接上電源，電樞電流會由電樞電阻限制，故

Ia,start=VRaI_{a,\mathrm{start}}=\frac{V}{R_a}

通常遠大於額定電流，需串入起動電阻限制電流。電動機運轉時，電樞電流與反電勢的關係為

V=Eb+IaRaV=E_b+I_aR_a

額定滿載輸出扭力則由軸輸出功率與角速度求得：

Tout=PoutωT_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega}

（一）起動器電路設計

解題方法

先由額定輸出功率與端電壓估算額定電樞電流，再依題目指定的起動電流範圍設計串聯起動電阻。並激電動機的額定線電流還包含磁場電流；題目未提供磁場電阻，因此以額定電樞電流約等於額定電流估算。

額定電流估算為

Irated≈PratedV=15 000120=125 AI_{\mathrm{rated}}\approx \frac{P_{\mathrm{rated}}}{V} =\frac{15\,000}{120}=125\ \mathrm{A}

起動期間電樞電流需限制在額定值的 100%100\% 至 200%200\%，因此

125 A≤Ia,start≤250 A125\ \mathrm{A}\le I_{a,\mathrm{start}}\le 250\ \mathrm{A}

起動瞬間 Eb=0E_b=0，若串入總電阻 RtotalR_{\mathrm{total}}，則

Ia,start=VRtotalI_{a,\mathrm{start}}=\frac{V}{R_{\mathrm{total}}}

故總串聯電阻應滿足

120250≤Rtotal≤120125\frac{120}{250}\le R_{\mathrm{total}}\le\frac{120}{125} 0.48 Ω≤Rtotal≤0.96 Ω0.48\ \Omega\le R_{\mathrm{total}}\le0.96\ \Omega

已知電樞本身有 Ra=0.15 ΩR_a=0.15\ \Omega，因此起動器需額外串入的電阻為

Rs=Rtotal−RaR_s=R_{\mathrm{total}}-R_a 0.33 Ω≤Rs≤0.81 Ω0.33\ \Omega\le R_s\le0.81\ \Omega
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第 三 題25 分

以下為一具三相 Y 接、10 MVA10\ \mathrm{MVA}、線電壓 14 kV14\ \mathrm{kV}、六極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 同步機之開路與短路測試資料：

開路測試：

場電流 IfI_f（A）100150200250300350450650
線電壓 VaV_a（kV）9.012.014.015.315.916.416.817

短路測試：

電樞電流 =412 A=412\ \mathrm{A}；場電流 =110 A=110\ \mathrm{A}。

已知此同步機之電樞電阻為 1.3 Ω1.3\ \Omega/每相。

（一）試計算此同步機之同步電抗 XsX_s 與短路比（SCR）值。（15 分）

（二）若此同步機以發電機模式對外提供額定電壓值與一半的負載電流，且其功率因數為 0.80.8 落後，試問此時同步機之場電流值應為若干安培？（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題用開路特性曲線（OCC）與短路特性曲線（SCC）求同步阻抗、同步電抗及短路比（SCR），再以同步發電機相量方程求負載下的內部感應電勢，最後由 OCC 反查場電流。

三相 Y 接時，線電流等於相電流，且相電壓為線電壓除以 3\sqrt{3}。發電機的每相相量方程為

E‾a=V‾ϕ+(Ra+jXs)I‾a\underline{E}_a=\underline{V}_\phi+(R_a+jX_s)\underline{I}_a

（一）同步電抗與短路比

額定線電流為

Irated=10×1063(14×103)=412.4 AI_{\text{rated}}=\frac{10\times10^6}{\sqrt{3}(14\times10^3)} =412.4\ \mathrm{A}

開路線電壓 14 kV14\ \mathrm{kV} 對應場電流 If=200 AI_f=200\ \mathrm{A}。短路時，場電流 110 A110\ \mathrm{A} 對應電樞電流 412 A412\ \mathrm{A}。短路特性近似線性，因此將短路電流換算至 If=200 AI_f=200\ \mathrm{A}：

Isc,200=412(200110)=749.1 AI_{sc,200}=412\left(\frac{200}{110}\right)=749.1\ \mathrm{A}

同一場電流下，開路相電壓為

Vϕ,oc=14 0003=8082.9 VV_{\phi,oc}=\frac{14\,000}{\sqrt{3}}=8082.9\ \mathrm{V}

故同步阻抗及同步電抗為

Zs=Vϕ,ocIsc,200=8082.9749.1=10.79 ΩZ_s=\frac{V_{\phi,oc}}{I_{sc,200}} =\frac{8082.9}{749.1} =10.79\ \Omega Xs=Zs2−Ra2=10.792−1.32≈10.71 Ω/相X_s=\sqrt{Z_s^2-R_a^2} =\sqrt{10.79^2-1.3^2} \approx10.71\ \Omega/\text{相}

短路比為額定開路電壓所需場電流與額定短路電流所需場電流之比。額定短路電流約為 412 A412\ \mathrm{A}，對應場電流約 110 A110\ \mathrm{A}，因此

SCR=200110≈1.82\mathrm{SCR}=\frac{200}{110}\approx1.82

（二）半額定電流、功率因數 0.8 落後時的場電流

負載電流為額定電流的一半：

Ia=412.42=206.2 AI_a=\frac{412.4}{2}=206.2\ \mathrm{A}
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第 四 題25 分

某三相 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 交流感應電動機於全載（full load）運轉情況下，轉速為 1188 rpm1188\ \mathrm{rpm}。感應電動機之戴維寧等效電路（Thevenin equivalent circuit）如圖所示，其轉子電流大小（I2I_2）於啟動時為全載時之 1212 倍。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試問此電動機之極數（number of poles）為若干？（5 分）

（二）試求其啟動轉矩（starting torque）大小與全載轉矩（full-load torque）大小之比值。（20 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

感應電動機的同步轉速、極數與頻率關係為

ns=120fPn_s=\frac{120f}{P}

其中 nsn_s 為同步轉速（rpm），ff 為電源頻率（Hz），PP 為極數。轉子轉速低於同步轉速，轉差率為

s=ns−nrnss=\frac{n_s-n_r}{n_s}

由戴維寧等效電路可知，轉子電流流經等效電阻 R2/sR_2/s。因此電磁轉矩可寫為

T=3I22(R2/s)ωsT=\frac{3I_2^2(R_2/s)}{\omega_s}

其中 ωs\omega_s 為同步角速度。比較同一部電動機在啟動與全載時的轉矩時，R2R_2 與 ωs\omega_s 不變。

解題方法

（一）求極數

已知 f=60 Hzf=60\ \mathrm{Hz}、全載轉速 nr=1188 rpmn_r=1188\ \mathrm{rpm}。同步轉速須略高於轉子轉速；符合 60 Hz 感應電動機常用同步轉速的數值為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}，故

P=120fns=120×601200=6P=\frac{120f}{n_s} =\frac{120\times60}{1200} =6

全載轉差率為

sFL=1200−11881200=0.01s_{\mathrm{FL}} =\frac{1200-1188}{1200} =0.01

（二）求啟動轉矩與全載轉矩之比

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