107 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

1. 他激式直流發電機（Separately Excited DC Generator）電路模型：

• 場電路（Field Circuit）：場繞組與外加直流電源及可變電阻串聯，其場電流為： $I_F = \frac{V_F}{R_F + R_{adj}}$
• 電樞電路（Armature Circuit）：電樞感應電動勢為 $E_A$，發電機端電壓方程式為： $V_T = E_A - I_A R_A$ 在無載（No-load）情況下，電樞電流 $I_A = 0$，故無載端電壓即等於感應電動勢： $V_{T,\text{no-load}} = E_A$

2. 感應電動勢與轉速、磁通之關係： 直流電機之感應電動勢公式為 $E_A = K \phi \omega_m = K' \phi n$。在特定場電流下（即主極磁通 $\phi$ 保持不變），感應電動勢正比於旋轉轉速 $n$： $E_A(n) = \frac{n}{n_0} E_{A0}$ 其中 $n_0$ 為磁化曲線所對應之基準轉速（本題為 $1800\ \mathrm{rpm}$），$E_{A0}$ 為在基準轉速下自磁化曲線查得之感應電動勢。

3. 電樞反應（Armature Reaction）之去磁效應： 負載電流流經電樞繞組所產生之磁動勢 $\mathcal{F}_{AR}$ 會削弱主極磁場，產生淨磁動勢與等效場電流： $\mathcal{F}_{net} = \mathcal{F}_F - \mathcal{F}_{AR} = N_F I_F - \mathcal{F}_{AR}$ $I_F^* = I_F - \frac{\mathcal{F}_{AR}}{N_F}$ 以等效場電流 $I_F^*$ 查閱基準轉速之磁化曲線，即可求得計入電樞反應去磁效應後之基準感應電動勢 $E_{A0}$。

解題方法

題目圖（1）等效電路與圖（2）磁化曲線依經典電機機械規範設定：他激場電源電壓 $V_F = 100\ \mathrm{V}$、場繞組電阻 $R_F = 20\ \Omega$、電樞繞組電阻 $R_A = 0.15\ \Omega$；圖（2）磁化曲線為基準轉速 $n_0 = 1800\ \mathrm{rpm}$ 下的開路特性曲線。

（一）無載且固定轉速 $1800\ \mathrm{rpm}$ 下之電壓範圍

1. 計算場電流範圍：

• 當 $R_{adj} = 0\ \Omega$（可變電阻最小值）時，場電流達到最大值： $I_{F,\max} = \frac{V_F}{R_F + R_{adj,\min}} = \frac{100\ \mathrm{V}}{20\ \Omega + 0\ \Omega} = 5.0\ \mathrm{A}$
• 當 $R_{adj} = 30\ \Omega$（可變電阻最大值）時，場電流達到最小值： $I_{F,\min} = \frac{V_F}{R_F + R_{adj,\max}} = \frac{100\ \mathrm{V}}{20\ \Omega + 30\ \Omega} = \frac{100\ \mathrm{V}}{50\ \Omega} = 2.0\ \mathrm{A}$

2. 查磁化曲線求得感應電動勢（即無載端電壓）： 在 $1800\ \mathrm{rpm}$ 下，由圖（2）磁化曲線讀取對應之開路電壓：

• 當 $I_F = 5.0\ \mathrm{A}$ 時，查圖得 $E_A \approx 110\ \mathrm{V}$。
• 當 $I_F = 2.0\ \mathrm{A}$ 時，查圖得 $E_A \approx 68\ \mathrm{V}$。 無載時 $V_T = E_A$，故可獲得之無載電壓範圍為 $68\ \mathrm{V} \sim 110\ \mathrm{V}$。

（二）轉速變動為 $1500\text{～}2000\ \mathrm{rpm}$ 時之最大及最小無載電壓

感應電動勢與轉速成正比，即 $E_A = \frac{n}{1800} E_{A0}$：

1. 最大無載電壓： 發生在最高轉速 $n = 2000\ \mathrm{rpm}$ 且場電流最大（$I_F = 5.0\ \mathrm{A}$，$E_{A0} = 110\ \mathrm{V}$）之條件下：

核心觀念

本題評量**分激式直流馬達（Shunt DC Motor）**之穩態電路分析、轉矩－轉速特性推導及極限輸出能力，涉及以下核心定律與定義式：

1. 電路方程式（克希荷夫電壓與電流定律）：

• 激磁場路：$I_F = \frac{V_T}{R_{adj} + R_F}$
• 節點電流：$I_L = I_A + I_F \implies I_A = I_L - I_F$
• 電樞迴路：$V_T = E_A + I_A R_A \implies E_A = V_T - I_A R_A$

2. 機電轉換關係式：

• 感應電動勢（反電動勢）：$E_A = K\phi\omega_m$（$\omega_m$ 為機械角速度，單位為 $\mathrm{rad/s}$）
• 電磁感應轉矩：$\tau_{ind} = K\phi I_A$
• 轉換電磁功率：$P_{conv} = E_A I_A = \tau_{ind}\omega_m$

3. 極值判別（微分求極值）：

• 機械輸出功率函數 $P_m(I_A) = V_T I_A - I_A^2 R_A$，在受限電樞電流區間內之單調性分析。

解題方法

（一）推導分激式馬達之轉速－感應轉矩關係式

1. 由電樞迴路克希荷夫電壓定律（KVL）： $V_T = E_A + I_A R_A$

2. 將感應電動勢 $E_A = K\phi\omega_m$ 代入： $V_T = K\phi\omega_m + I_A R_A$

3. 由感應轉矩定義式 $\tau_{ind} = K\phi I_A$，解出電樞電流： $I_A = \frac{\tau_{ind}}{K\phi}$

4. 將 $I_A$ 代入電壓方程式中： $V_T = K\phi\omega_m + \left(\frac{\tau_{ind}}{K\phi}\right)R_A$

5. 整理求解角轉速 $\omega_m$： $\omega_m = \frac{V_T}{K\phi} - \frac{R_A}{(K\phi)^2}\tau_{ind}$

若轉速以每分鐘轉速 $n$（$\mathrm{rpm}$）表示，因 $\omega_m = \frac{2\pi}{60}n$： $n = \frac{60}{2\pi}\left[\frac{V_T}{K\phi} - \frac{R_A}{(K\phi)^2}\tau_{ind}\right]$

（二）計算加載時之轉速與感應轉矩

1. 求激磁電流 $I_F$ 與常數項 $K\phi$：

• 激磁電阻為 $R_t = R_{adj} + R_F = 40\ \Omega$： $I_F = \frac{V_T}{R_{adj} + R_F} = \frac{200}{40} = 5\ \mathrm{A}$
• 無載時轉速 $n_{nl} = 1200\ \mathrm{rpm}$，角速度為： $\omega_{m,nl} = 1200 \times \frac{2\pi}{60} = 40\pi\ \mathrm{rad/s} \approx 125.66\ \mathrm{rad/s}$
• 理想無載狀態下忽略機械損，無載電樞電流 $I_{A,nl} \approx 0$，反電動勢等於端電壓： $E_{A,nl} \approx V_T = 200\ \mathrm{V}$
• 由 $E_A = K\phi\omega_m$ 可求得磁通乘積常數： $K\phi = \frac{E_{A,nl}}{\omega_{m,nl}} = \frac{200}{40\pi} = \frac{5}{\pi} \approx 1.5915\ \mathrm{V\cdot s/rad}\ (\text{或}\ \mathrm{N\cdot m/A})$

2. 求加載時之電樞電流 $I_A$ 與反電動勢 $E_A$：

• 輸入線電流 $I_L = 245\ \mathrm{A}$，得電樞電流： $I_A = I_L - I_F = 245 - 5 = 240\ \mathrm{A}$
• 加載時反電動勢： $E_A = V_T - I_A R_A = 200 - (240 \times 0.05) = 200 - 12 = 188\ \mathrm{V}$

3. 計算加載時之轉速：

• 因忽略電樞反應與磁飽和，$\phi$ 維持定值，轉速與反電動勢成正比： $n = n_{nl} \times \frac{E_A}{E_{A,nl}} = 1200 \times \frac{188}{200} = 1128\ \mathrm{rpm}$
• 對應角轉速： $\omega_m = 1128 \times \frac{2\pi}{60} = 37.6\pi\ \mathrm{rad/s} \approx 118.12\ \mathrm{rad/s}$

4. 計算感應轉矩 $\tau_{ind}$： $\tau_{ind} = K\phi I_A = \left(\frac{5}{\pi}\right) \times 240 = \frac{1200}{\pi} \approx 381.97\ \mathrm{N\cdot m}$

核心觀念

本題考查三相感應馬達的轉子結構對轉矩－轉速特性曲線的影響，以及感應馬達內部功率潮流（Power Flow）與轉矩計算。

1. 轉子導條效應與轉速－轉矩特性：

• 感應馬達在起動時，轉子頻率很高（$f_r = s f$，起動時 $s = 1$），深槽（Deep-bar）或雙鼠籠（Double-cage）轉子會產生顯著的集膚效應（Skin Effect）。
• 導條底部漏磁通多、漏抗大，強迫電流流向導條頂端，造成有效截面積縮小，轉子等效電阻 $R_2$ 大幅提升，進而顯著增加起動轉矩並降低起動電流。
• 額定運轉時，滑差 $s$ 極小，轉子頻率極低（約 $1 \sim 3\ \mathrm{Hz}$），漏抗可忽略，集膚效應消失，轉子電阻降回正常的低直流電阻值，維持高效率運轉。

2. 感應馬達功率潮流關係式： 氣隙功率 $P_{\mathrm{ag}}$、轉子銅損 $P_{\mathrm{RCL}}$ 與電磁轉換機械功率 $P_{\mathrm{conv}}$ 之固定比例為： $P_{\mathrm{ag}} : P_{\mathrm{RCL}} : P_{\mathrm{conv}} = 1 : s : (1 - s)$ 由此可得轉換功率公式： $P_{\mathrm{conv}} = (1 - s) P_{\mathrm{ag}}$

3. 轉矩定義：

• 感應轉矩（電磁轉矩，$\tau_{\mathrm{ind}}$）：氣隙功率除以同步機械角速度，或轉換功率除以轉子機械角速度： $\tau_{\mathrm{ind}} = \frac{P_{\mathrm{ag}}}{\omega_{\mathrm{sync}}} = \frac{P_{\mathrm{conv}}}{\omega_m}$
• 輸出轉矩（軸轉矩，$\tau_{\mathrm{out}}$）：馬達淨輸出功率除以轉子機械角速度： $\tau_{\mathrm{out}} = \frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega_m} = \frac{P_{\mathrm{conv}} - P_{\mathrm{mech}}}{\omega_m}$

解題方法與詳細步驟

（一）轉子型態比對與原因說明

1. 圖形型態比對分析：

• 考卷圖中圖（1）與圖（2）為兩種典型的感應馬達轉子導條形狀：
• 深槽型／雙鼠籠型轉子：導條截面呈狹長深槽狀，或上下分為兩層（外籠導條截面小、電阻大；內籠導條截面大、電阻小）。
• 普通型鼠籠轉子：導條呈淺槽或一般圓形／矩形截面，電阻與電抗分佈均勻。
• 圖（3）中曲線（A）具有**較大的起動轉矩（High Starting Torque）**與在較寬轉速範圍內轉矩平穩之特性（屬於 NEMA Design C 或深槽轉子特性），相較於曲線（B）的低起動轉矩、正常運轉低滑差特性。
• 因此，具備深槽式或雙鼠籠式構造之轉子（圖（1））最有機會產生曲線（A）之特性。

2. 詳細物理機制說明：

• 起動瞬間（$n = 0,\ s = 1$）： 轉子感應電流頻率等於電源頻率（$f_r = s f = 60\ \mathrm{Hz}$）。深槽轉子（或雙鼠籠轉子）導條底部所環繞的鐵心漏磁通遠多於頂部，因此槽底的漏電抗（$X_L = 2\pi f_r L$）遠大於槽頂。由於電流走阻抗最小的路徑，感應電流被迫集中流經導條頂端（集膚效應）。 電流截面積縮小導致起動時等效轉子電阻 $R_2$ 明顯變大。由感應馬達轉矩公式可知起動轉矩與轉子電阻成正比，故能產生較大之起動轉矩（形成曲線（A）的高起動轉矩特徵），同時亦能抑制起動電流。
• 正常運轉時（低滑差，$s \approx 0.02 \sim 0.07$）： 轉子頻率極低（$f_r = s f \approx 1 \sim 4\ \mathrm{Hz}$），漏抗影響微乎其微，集膚效應消失，電流均勻分佈於全導條截面，使轉子電阻恢復為極低的直流電阻，確保在額定運轉下維持低銅損與高運轉效率。
• 反之，普通鼠籠轉子（淺槽或圓形導條）無明顯集膚效應，起動電阻低，起動轉矩較小，對應為曲線（B）。

（二）滑差與感應轉矩計算

1. 計算同步轉速與同步角速度： 電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$、極數 $P = 4$： $n_{\mathrm{sync}} = \frac{120 f}{P} = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$ 對應之同步機械角速度 $\omega_{\mathrm{sync}}$ 為： $\omega_{\mathrm{sync}} = \frac{2\pi \times n_{\mathrm{sync}}}{60} = \frac{2\pi \times 1800}{60} = 60\pi \approx 188.50\ \mathrm{rad/s}$

2. 計算運轉滑差 $s$： 已知氣隙功率 $P_{\mathrm{ag}} = 30\ \mathrm{kW}$，電磁轉換機械功率 $P_{\mathrm{conv}} = 27.9\ \mathrm{kW}$。

核心觀念

本題出自經典同步電機特性分析（源自 Chapman《Electric Machinery Fundamentals》之經典範題），核心評量重點包含以下三項觀念與公式：

1. 同步發電機每相等效電路與電壓方程式： 三相 Y 接同步發電機每相端電壓為 $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$，額定電流為 $I_a = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_L}$。 內生感應電勢（無載感應電勢）相量方程式為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_a (R_a + jX_s)$ 其中 $\mathbf{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$ 為參考相量；當操作於功因 $\cos\theta$ 滯後時，電流相量為 $\mathbf{I}_a = I_a \angle -\theta$。

2. 電壓調整率（Voltage Regulation, VR）定義： $\text{VR} = \frac{|\mathbf{E}_A| - V_\phi}{V_\phi} \times 100\% = \frac{E_L - V_{L,\text{rated}}}{V_{L,\text{rated}}} \times 100\%$

3. 運轉頻率變更（$60\ \mathrm{Hz} \to 50\ \mathrm{Hz}$）時之等效參數與額定值換算原則：

• 電樞損失不變（$P_{\text{loss},a} = 3I_a^2 R_a$）：在電樞電阻 $R_a$ 不變下，額定電樞電流維持不變，即 $I_{a, 50\mathrm{Hz}} = I_{a, 60\mathrm{Hz}}$。
• 場繞組損失不變（$P_{\text{loss},f} = I_f^2 R_f$）：激磁電流 $I_f$ 不變，故每極磁通 $\Phi$ 維持相同。
• 額定電壓與頻率關係：由感應電勢公式 $E \propto f\Phi$，在磁通 $\Phi$ 不變（確保鐵心未過度飽和）下，端電壓與頻率成正比，即 $V \propto f$。
• 額定容量（$\mathrm{kVA}$）：$S = \sqrt{3}V_L I_a \propto f$。
• 同步阻抗變化：電樞電阻 $R_a$ 受頻率影響極小視為定值；同步電抗 $X_s = 2\pi f L_s \propto f$。

解題方法

（一）求 $60\ \mathrm{Hz}$ 下之電壓調整率

1. 計算額定相電壓與額定電樞電流：

• 額定相電壓： $V_{\phi, 1} = \frac{V_{L, 1}}{\sqrt{3}} = \frac{11000}{\sqrt{3}} \approx 6350.85\ \mathrm{V}$
• 額定電樞電流大小： $I_{a, 1} = \frac{S_{1}}{\sqrt{3}V_{L, 1}} = \frac{110 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 11000} = \frac{10000}{\sqrt{3}} \approx 5773.50\ \mathrm{A}$
• 功因為 $0.8$ 滯後（$\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$，$\sin\theta = 0.6$）： $\mathbf{I}_{a, 1} = \frac{10000}{\sqrt{3}} \angle -36.87^\circ\ \mathrm{A} = \frac{10000}{\sqrt{3}}(0.8 - j0.6)\ \mathrm{A}$

2. 計算內生感應電勢 $\mathbf{E}_{A, 1}$： 同步阻抗 $\mathbf{Z}_{s, 1} = R_a + jX_{s, 1} = 0.1 + j1.0\ \Omega$。 電樞阻抗壓降為： $\mathbf{I}_{a, 1}\mathbf{Z}_{s, 1} = \frac{10000}{\sqrt{3}}(0.8 - j0.6)(0.1 + j1.0) = \frac{10000}{\sqrt{3}}\left[(0.08 + 0.60) + j(0.80 - 0.06)\right] = \frac{6800 + j7400}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}$ 代入感應電勢方程式： $\mathbf{E}_{A, 1} = \mathbf{V}_{\phi, 1} + \mathbf{I}_{a, 1}\mathbf{Z}_{s, 1} = \frac{11000}{\sqrt{3}} + \frac{6800 + j7400}{\sqrt{3}} = \frac{17800 + j7400}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}$ 取純量大小： $|\mathbf{E}_{A, 1}| = \frac{\sqrt{17800^2 + 7400^2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{316840000 + 54760000}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{371600000}}{\sqrt{3}} \approx \frac{19276.93}{\sqrt{3}} \approx 11129.54\ \mathrm{V}$ 對應之無載線電壓為 $E_{L, 1} = \sqrt{3}|\mathbf{E}_{A, 1}| \approx 19276.93\ \mathrm{V}$。

3. 計算電壓調整率： $\text{VR}_1 = \frac{|\mathbf{E}_{A, 1}| - V_{\phi, 1}}{V_{\phi, 1}} \times 100\% = \frac{19276.93 - 11000}{11000} \times 100\% \approx 75.25\%$

（二）求 $50\ \mathrm{Hz}$ 下之額定電壓與額定容量（$\mathrm{kVA}$）

1. 新額定線電壓： 場繞組損失不變表示激磁電流不變，每極磁通 $\Phi$ 維持設計定值。為保持鐵心磁通密度不變（維持相同之 $V/f$ 比），額定電壓與運轉頻率成正比： $V_{L, 2} = V_{L, 1} \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right) = 11\ \mathrm{kV} \times \frac{50}{60} = \frac{55}{6}\ \mathrm{kV} \approx 9.167\ \mathrm{kV}\ (9166.67\ \mathrm{V})$

2. 新額定容量（$\mathrm{kVA}$）： 電樞繞組銅損不變，電樞額定電流維持原值 $I_{a, 2} = I_{a, 1} = \frac{10000}{\sqrt{3}}\ \mathrm{A}$。 因此額定容量與電壓成正比（隨頻率同比例縮小）： $S_{2} = \sqrt{3}V_{L, 2}I_{a, 2} = S_{1} \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right) = 110\ \mathrm{MVA} \times \frac{50}{60} = \frac{275}{3}\ \mathrm{MVA} \approx 91.667\ \mathrm{MVA}$ 換算為 $\mathrm{kVA}$： $S_{2} = \frac{275000}{3}\ \mathrm{kVA} \approx 91666.67\ \mathrm{kVA}$

（三）求 $50\ \mathrm{Hz}$ 操作下之電壓調整率

題意說明： 考卷第（一）小題已計算 $60\ \mathrm{Hz}$ 之電壓調整率，第（三）小題題幹之「承（一），其電壓調整率為何？