108 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題評量磁路基本定律（Magnetic Circuits）與鐵心材料的非線性磁化特性（$B\text{-}H$ 曲線應用）。解題核心建立在磁路與電路的對偶關係，主要依循以下觀念與公式：

1. 磁通密度（Flux Density, $B$）與磁通量（Flux, $\phi$）之關係： $B = \frac{\phi}{A}$ 其中 $A$ 為磁路有效截面積（單位：$\mathrm{m^2}$）。

2. 磁化曲線（Magnetization Curve）查表： 鐵磁材料具有非線性特性，磁通密度 $B$ 與磁場強度（Magnetizing Intensity, $H$）之關係無法單純以常數處理，必須透過工作點之 $B$ 值，對應題目給定之實驗數據找出對應之 $H$。

3. 安培環路定律與磁動勢（Magnetomotive Force, $\mathrm{mmf}$, $\mathcal{F}$）： $\mathcal{F} = N \cdot I = H \cdot l$ 其中 $N$ 為線圈匝數，$I$ 為激磁電流，$l$ 為磁路平均路徑長度（單位：$\mathrm{m}$）。

4. 相對導磁係數（Relative Permeability, $\mu_r$）： 材料之導磁係數 $\mu = \frac{B}{H}$，相對導磁係數定義為材料導磁係數與自由空間導磁係數 $\mu_0$ 之比值： $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{B}{\mu_0 H}$

5. 磁路歐姆定律與磁阻（Reluctance, $\mathcal{R}$）： $\mathcal{R} = \frac{\mathcal{F}}{\phi} = \frac{l}{\mu A}$

解題方法

步驟一：單位統一與求取鐵心磁通密度 $B$

已知給定數據：

• 線圈匝數：$N = 460\ \text{匝}$
• 平均路徑長：$l = 80\ \mathrm{cm} = 0.8\ \mathrm{m}$
• 有效截面積：$A = 150\ \mathrm{cm^2} = 150 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 0.015\ \mathrm{m^2}$
• 目標磁通量：$\phi = 0.012\ \mathrm{Wb}$
• 自由空間導磁係數：$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$

計算鐵心內部所需的磁通密度 $B$： $B = \frac{\phi}{A} = \frac{0.012\ \mathrm{Wb}}{0.015\ \mathrm{m^2}} = 0.8\ \mathrm{T}$

步驟二：查取對應之磁場強度 $H$

比對製造商提供的磁化曲線五組數據： $(B, H) = (0.9, 120)、(0.8, 115)、(0.7, 110)、(0.6, 90)、(0.5, 80)$ 當 $B = 0.8\ \mathrm{T}$ 時，對應之磁場強度為： $H = 115\ \mathrm{A\cdot turns/m}$

(一) 求線圈之磁動勢 $\mathcal{F}$

根據安培環路定律，均勻封閉磁路之磁動勢等於磁場強度與平均路徑長度的乘積： $\mathcal{F} = H \cdot l = 115\ \mathrm{A\cdot turns/m} \times 0.8\ \mathrm{m} = 92\ \mathrm{A\cdot turns}\ (\text{或 }\mathrm{A\cdot t})$

核心觀念

本題評量理想單相自耦變壓器（Ideal Single-Phase Autotransformer）​的降壓運轉特性與參數計算，涵蓋以下核心原理與公式：

1. 理想變壓器特性：

• 忽略繞組電阻與漏磁通，鐵心導磁係數視為無限大，無鐵損與銅損。
• 視在功率守恆：一次側輸入容量等於二次側輸出容量，即 $S_1 = S_2$。

2. 匝數比與電壓、電流關係：

• 自耦變壓器一次側與二次側共用部分繞組。降壓運轉時，高壓側（一次側）接於全繞組 $N_1$，低壓側（二次側）接於抽頭繞組 $N_2$。
• 電壓與匝數成正比： $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} = a$
• 電流與匝數成反比： $\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a}$

3. 交流負載功率關係：

• 純電阻性負載的功率因數 $\cos\theta = 1.0$。
• 二次側額定視在功率 $S_2 = V_2 \cdot I_2$。

解題方法

(一) 求二次側電壓 $V_2$

由題意可知，變壓器為降壓運轉，二次側接於 $60\%$ 抽頭處，故二次側與一次側之電壓比即為抽頭百分比： $\frac{V_2}{V_1} = 60\% = 0.6$

將一次側端電壓 $V_1 = 440\ \mathrm{V}$ 代入： $V_2 = 0.6 \times V_1 = 0.6 \times 440 = 264\ \mathrm{V}$

(二) 求二次側電流 $I_2$

二次側端點連接至額定 $10\ \mathrm{kVA}$ 之純電阻性負載，其額定容量為 $S_2 = 10\ \mathrm{kVA} = 10000\ \mathrm{VA}$。 二次側電流為： $I_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{10000}{264} = \frac{1250}{33}\ \mathrm{A} \approx 37.88\ \mathrm{A}$

(三) 求一次側電流 $I_1$

對於理想自耦變壓器，輸入容量等於輸出容量（$S_1 = S_2 = 10\ \mathrm{kVA}$），亦可依電流比與匝數比成反比計算。

核心觀念

本題考查直流並激發電機（DC Shunt Generator）​的等效電路與穩態運轉特性，包含以下核心理論與定義式：

1. 並激發電機等效電路與電流關係： 並激場繞組與電樞繞組並聯，其總場電阻為繞組電阻與可調電阻器之和： $R_{F,\text{total}} = R_F + R_{F(\text{adj})}$ 發電機對外輸出電流為負載電流 $I_L$，內部電樞必須同時供應負載與激磁電流： $I_F = \frac{V_t}{R_{F,\text{total}}}$ $I_A = I_L + I_F$

2. 電壓調整率（Voltage Regulation, VR）： 衡量發電機從無載到滿載時端電壓變化的百分比，以滿載端電壓為基準： $\text{VR} = \frac{V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}}}{V_{\text{FL}}} \times 100\%$

3. 發電機功率潮流與損失：

• 總銅損（Total Copper Loss, $P_{\text{Cu}}$）：包含電樞繞組銅損與並激場繞組銅損： $P_{\text{Cu}} = P_{\text{Cu},A} + P_{\text{Cu},F} = I_A^2 R_A + I_F^2 R_{F,\text{total}} = I_A^2 R_A + V_t I_F$
• 滿載輸出電功率（Output Power, $P_{\text{out}}$）： $P_{\text{out}} = V_{\text{FL}} \times I_L$
• 旋轉與雜項損失（Rotational & Miscellaneous Losses, $P_{\text{rot}}$）： $P_{\text{rot}} = 5\% \times P_{\text{out}}$
• 效率（Efficiency, $\eta$）： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}} + P_{\text{loss}}} \times 100\%$

4. 原動機輸入機械轉矩（Input Mechanical Torque, $\tau_{\text{in}}$）： 由輸入機械功率與角速度之關係求解： $P_{\text{in}} = \tau_{\text{in}} \omega_m \implies \tau_{\text{in}} = \frac{P_{\text{in}}}{\omega_m}$ 其中轉速轉換為角速度公式為 $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ \text{rad/s}$。

解題方法

基本電路參數準備

• 總激磁場電阻： $R_{F,\text{total}} = R_F + R_{F(\text{adj})} = 20 + 55 = 75\ \Omega$
• 滿載運轉條件：端電壓 $V_{\text{FL}} = 416\ \text{V}$，負載電流 $I_L = 400\ \text{A}$。
• 滿載時之並激場電流： $I_F = \frac{V_{\text{FL}}}{R_{F,\text{total}}} = \frac{416}{75} \approx 5.547\ \text{A}$
• 滿載時之電樞電流： $I_A = I_L + I_F = 400 + 5.547 = 405.547\ \text{A}$

(一) 求電壓調整率

將無載端電壓 $V_{\text{NL}} = 445\ \text{V}$ 及滿載端電壓 $V_{\text{FL}} = 416\ \text{V}$ 代入定義式： $\text{VR} = \frac{V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}}}{V_{\text{FL}}} \times 100\% = \frac{445 - 416}{416} \times 100\% = \frac{29}{416} \times 100\% \approx 6.971\%$

(二) 求總銅損

1. 電樞迴路銅損： $P_{\text{Cu},A} = I_A^2 R_A = (405.547)^2 \times 0.05 \approx 164468.38 \times 0.05 \approx 8223.42\ \text{W}$

2. 激磁場迴路銅損： $P_{\text{Cu},F} = V_{\text{FL}} \times I_F = 416 \times 5.547 \approx 2307.55\ \text{W}$

核心觀念

本題主要測驗三相同步發電機之原動機調速機頻率下垂特性（Governor Droop Characteristic / Frequency-versus-Power Characteristic）​與負載實功率平衡。

1. 頻率對功率特性方程式： 同步發電機之調速機構具備下垂特性，以確保單機或並聯運轉時系統頻率之穩定。發電機輸出實功率 $P$ 與系統頻率 $f_{\mathrm{sys}}$ 呈線性反比關係： $P = s_p (f_{\mathrm{nl}} - f_{\mathrm{sys}})$ 整理為求系統頻率之形式： $f_{\mathrm{sys}} = f_{\mathrm{nl}} - \frac{P}{s_p}$ 式中：

• $P$：發電機供應之總實功率（$\mathrm{MW}$）。
• $f_{\mathrm{nl}}$：發電機無載頻率（no-load frequency，單位 $\mathrm{Hz}$）。
• $f_{\mathrm{sys}}$：負載為 $P$ 時之系統運轉頻率（$\mathrm{Hz}$）。
• $s_p$：特性曲線斜率（governor slope），單位為 $\mathrm{MW/Hz}$。

2. 實功率之疊加性（Conservation of Real Power）： 系統中多個獨立負載並聯時，系統消耗之總實功率即為各負載實功率之代數和： $P_{\mathrm{total}} = \sum_{i} P_i$ 負載之功率因數與虛功率（$Q$）會影響發電機端電壓與激磁控制，但發電機的頻率調控（$P\text{-}f$ 特性）直接受實功率負載決定。

解題方法

(一) 三相開關 SW 尚未閉合前

1. 計算系統消耗之總實功率： 此時開關 SW 為開路狀態，發電機僅供電給一號負載，故系統總實功率需求即為一號負載之實功率： $P_{\mathrm{total1}} = P_1 = 200\ \mathrm{MW}$

2. 計算系統頻率： 代入題目已知參數：無載頻率 $f_{\mathrm{nl}} = 61.0\ \mathrm{Hz}$、斜率 $s_p = 200\ \mathrm{MW/Hz}$： $f_{\mathrm{sys1}} = f_{\mathrm{nl}} - \frac{P_{\mathrm{total1}}}{s_p} = 61.0 - \frac{200}{200} = 61.0 - 1.0 = 60.0\ \mathrm{Hz}$

(二) 三相開關 SW 閉合後

核心觀念

本題評量三相感應馬達的能量轉換平衡與功率潮流圖（Power Flow Diagram）​分析能力，涵蓋下列核心定義與公式：

1. 三相實功率輸入公式： $P_{\mathrm{in}} = \sqrt{3} V_{\mathrm{L}} I_{\mathrm{L}} \cos\theta$ 式中 $V_{\mathrm{L}}$ 為線電壓、$I_{\mathrm{L}}$ 為線電流、$\cos\theta$ 為負載功率因數。

2. 感應馬達功率潮流關係：

• 氣隙功率（Air-Gap Power, $P_{\mathrm{AG}}$）：電能從定子繞組跨越氣隙傳遞至轉子的電磁功率。由於正常運轉下轉差率 $s$ 極小，轉子感應頻率極低（$f_r = s f \approx 1 \sim 2\ \mathrm{Hz}$），轉子鐵損微小而常忽略不計，全機鐵損 $P_{\mathrm{core}}$ 主要集中在定子側： $P_{\mathrm{AG}} = P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{SCL}} - P_{\mathrm{core}}$
• 電磁轉換功率（機械內生功率, $P_{\mathrm{conv}}$）：氣隙功率扣除轉子銅損後轉換成的總機械功率： $P_{\mathrm{conv}} = P_{\mathrm{AG}} - P_{\mathrm{RCL}}$
• 軸輸出機械功率（$P_{\mathrm{out}}$）：內生機械功率扣除機械損（摩擦與風損 $P_{\mathrm{F\&W}}$）及雜散損 $P_{\mathrm{stray}}$： $P_{\mathrm{out}} = P_{\mathrm{conv}} - P_{\mathrm{F\&W}} - P_{\mathrm{stray}}$

3. 運轉效率（$\eta$）： $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\% = \frac{P_{\mathrm{in}} - \sum P_{\mathrm{loss}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\%$

解題方法

(一) 計算輸入功率 $P_{\mathrm{in}}$

馬達由平衡三相 $480\ \mathrm{V}$ 電源供電，線電流為 $60\ \mathrm{A}$，功率因數為 $0.8$ 落後： $P_{\mathrm{in}} = \sqrt{3} \times 480 \times 60 \times 0.8 = 23040\sqrt{3}\ \mathrm{W} \approx 39906.45\ \mathrm{W} \approx 39.91\ \mathrm{kW}$

(二) 計算氣隙功率 $P_{\mathrm{AG}}$

輸入定子的電能扣除定子繞組銅損 $P_{\mathrm{SCL}}$ 與定子鐵損 $P_{\mathrm{core}}$ 後，即為越過氣隙傳入轉子的電磁功率： $P_{\mathrm{AG}} = P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{SCL}} - P_{\mathrm{core}}$ 代入實測數據： $P_{\mathrm{AG}} = 39.91\ \mathrm{kW} - 2.0\ \mathrm{kW} - 1.8\ \mathrm{kW} = 36.11\ \mathrm{kW}$ （若精確至小數後三位：$39.906 - 2.0 - 1.8 = 36.106\ \mathrm{kW}$）

(三) 計算輸出功率 $P_{\mathrm{out}}$

1. 氣隙功率扣除轉子銅損 $P_{\mathrm{RCL}}$，得到轉子感應產生的轉換機械功率 $P_{\mathrm{conv}}$： $P_{\mathrm{conv}} = P_{\mathrm{AG}} - P_{\mathrm{RCL}} = 36.106\ \mathrm{kW} - 0.7\ \mathrm{kW} = 35.406\ \mathrm{kW}$