108 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

108 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

一、某工廠由 2.3 kV/60 Hz2.3\ \mathrm{kV}/60\ \mathrm{Hz} 匯流排受電，負載如圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中負載資料如下：

  • 感應馬達（IM）：500 kVA500\ \mathrm{kVA}，功率因數 0.750.75 lagging。
  • 照明及加熱負載：200 kW200\ \mathrm{kW}。
  • 同步馬達（SM）：22 極、300 kVA300\ \mathrm{kVA}，Y 接隱極式（Non-salient pole），實功率為 200 kW200\ \mathrm{kW}，虛功率調整為零。
  • 同步馬達參數：Ra=0R_a=0，Xs=10 Ω/phaseX_s=10\ \Omega/\mathrm{phase}。

（一）求工廠於此受電情況下之功率因數。（6 分）

（二）現調整同步馬達之激磁，以改善功率因數。在其實功率 200 kW200\ \mathrm{kW} 不變下，求工廠之最佳功率因數。求此時同步馬達之激磁電壓 Ef=∣Ef∣∠δfE_f=|E_f|\angle\delta_f。（14 分）

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核心觀念

本題考三相負載的複功率加總，以及同步馬達改變激磁後的無效功率調整。

採用負載吸收功率為正的慣例：

S=P+jQ,PF=PP2+Q2S=P+jQ,\qquad \mathrm{PF}=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}

感應馬達的滯後無效功率為正；同步馬達過激時可供應無效功率，故其吸收的 QQ 為負。同步馬達額定容量 300 kVA300\ \mathrm{kVA} 是調整激磁時的容量限制。

（一）原受電情況的功率因數

感應馬達的實功率為

PIM=500(0.75)=375 kWP_{\mathrm{IM}}=500(0.75)=375\ \mathrm{kW}

其無效功率為

=\sqrt{109375}=330.72\ \mathrm{kvar}$$ 照明及加熱負載視為純電阻負載，因此 $P=200\ \mathrm{kW}$、$Q=0$。同步馬達題目指定 $Q=0$，實功率為 $200\ \mathrm{kW}$。 全廠總實功率與無效功率為 $$P_{\mathrm{總}}=375+200+200=775\ \mathrm{kW}$$ $$Q_{\mathrm{總}}=330.72\ \mathrm{kvar}$$ 因此 $$\mathrm{PF} =\frac{775}{\sqrt{775^2+330.72^2}} =\frac{775}{\sqrt{710000}} =0.9198$$ 全廠功率因數為 **$0.920$ 滯後**。 ## （二）調整激磁後的最佳功率因數及激磁電壓 全廠實功率固定為 $775\ \mathrm{kW}$。要使功率因數最大，須盡量減少全廠剩餘無效功率。感應馬達需由同步馬達抵銷 $330.72\ \mathrm{kvar}$，但同步馬達在實功率 $200\ \mathrm{kW}$ 時受 $300\ \mathrm{kVA}$ 額定容量限制： $$|Q_{\mathrm{SM,max}}| =\sqrt{300^2-200^2} =223.61\ \mathrm{kvar}$$ 因 $223.61<330.72$，同步馬達無法完全抵銷感應馬達的無效功率。最佳調整點是同步馬達達到額定容量、採過激運轉： $$Q_{\mathrm{SM}}=-223.61\ \mathrm{kvar}$$ 全廠剩餘無效功率為
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第 二 題20 分

二、如圖所示之三相二極體橋式整流器供電交流馬達驅動系統：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）草繪 (van,iag)(v_{an},i_{ag}) 之波形，其中 iagi_{ag} 之主要諧波成分為何？（7 分）

（二）如馬達之電樞電流（a 相為例）為

ias=50sin⁡(377t)+10sin⁡(3×377t−15∘)+20sin⁡(5×377t−25∘)+15sin⁡(7×377t−40∘) Ai_{as}=50\sin(377t)+10\sin(3\times377t-15^\circ)+20\sin(5\times377t-25^\circ)+15\sin(7\times377t-40^\circ)\ \mathrm{A}

求其有效值及 THDiTHD_i。（7 分）

（三）試述 iasi_{as} 中所含各次諧波電流對馬達運轉特性之影響。（6 分）

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核心觀念

三相二極體橋式整流器是六脈波整流器。電源相電壓 vanv_{an} 為正弦波；整流器交流側線電流 iagi_{ag} 含有特徵諧波，理想平衡條件下諧波次數為 h=6k±1h=6k\pm1，其中 k=1,2,…k=1,2,\ldots，即 5、7、11、13,…5、7、11、13,\ldots 次。五次諧波為負序，七次諧波為正序。

計算非正弦週期電流的有效值時，各次諧波彼此正交，故有效值平方等於各次諧波有效值平方和；電流總諧波失真率定義為諧波電流有效值的平方和開根號，再除以基波有效值。

（一）波形與主要諧波

以直流側電流連續且平衡為理想近似，vanv_{an} 為正弦波；iagi_{ag} 在相 aa 電壓最高時由上橋臂導通，在相 aa 電壓最低時由下橋臂導通。因此，線電流約為正、負各持續 120∘120^\circ，其餘時段為零：

角度 θ 30° 150° 210° 330° 390°
v_an 正弦波（每 360° 一週期）

i_ag +I_d ────────┐ ┌────────
 └──────┘
 0 -I_d ────────┐
 └── 0

實際圖中的直流側有電容 CdC_d，因此若電容使整流器輸入電流呈脈衝狀，波形會比上述理想連續電流更尖；但三相六脈波整流器的特徵諧波仍以 6k±16k\pm1 次為主，通常五次與七次最顯著。

（二）電樞電流有效值及 THDiTHD_i

題目給的是各次諧波的峰值，因此基波及各次諧波的有效值分別為其峰值除以 2\sqrt{2}。總有效值為

Irms=502+102+202+1522=32252≈40.16 A.I_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{50^2+10^2+20^2+15^2}{2}} =\sqrt{\frac{3225}{2}} \approx 40.16\ \mathrm{A}.

諧波電流有效值合成為

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第 三 題25 分

三、如圖所示之三相完全換位之 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、220 kV220\ \mathrm{kV} 輸電線，線長為 200 km200\ \mathrm{km}。單位長度串聯阻抗為

z=0.175+j0.7 Ω/kmz=0.175+j0.7\ \Omega/\mathrm{km}

單位長度並聯導納為

y=j4.65×10−6 S/kmy=j4.65\times10^{-6}\ \mathrm{S}/\mathrm{km}

此輸電線傳送功率為 40 MW40\ \mathrm{MW}、220 kV220\ \mathrm{kV}、功率因數 0.90.9 落後。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）繪出此中程輸電線之標稱 π\pi（Nominal-π\pi）等效電路，求線之 AA、BB、CC、DD 傳輸參數。（15 分）

（二）求此輸電線之電壓調節率。（6 分）

（三）忽略線之並聯導納，重求此輸電線之電壓調節率。（4 分）

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核心觀念

三相完全換位輸電線可用每相等效電路分析。標稱 π\pi 模型將全線並聯導納平均分置於兩端，並將全線串聯阻抗置於中間。其傳輸參數為

[VSIS]=[ABCD][VRIR],A=D=1+YZ2,B=Z(1+YZ4),C=Y(1+YZ4).\begin{bmatrix}V_S\\ I_S\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A&B\\ C&D\end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_R\\ I_R\end{bmatrix}, \qquad A=D=1+\frac{YZ}{2},\quad B=Z\left(1+\frac{YZ}{4}\right),\quad C=Y\left(1+\frac{YZ}{4}\right).

送端電壓固定時，電壓調節率定義為

電壓調節率=∣VR,空載∣−∣VR,滿載∣∣VR,滿載∣×100%.\text{電壓調節率} =\frac{|V_{R,\text{空載}}|-|V_{R,\text{滿載}}|} {|V_{R,\text{滿載}}|}\times100\%.

空載時 IR=0I_R=0，因此 VS=AVR,空載V_S=AV_{R,\text{空載}}，故 ∣VR,空載∣=∣VS∣/∣A∣|V_{R,\text{空載}}|=|V_S|/|A|。

解題方法

全線每相串聯阻抗與並聯導納為

Z=zℓ=(0.175+j0.7)(200)=35+j140 Ω,Z=z\ell=(0.175+j0.7)(200)=35+j140\ \Omega, Y=yℓ=j4.65×10−6(200)=j9.30×10−4 S.Y=y\ell=j4.65\times10^{-6}(200) =j9.30\times10^{-4}\ \mathrm{S}.

標稱 π\pi 等效電路為

 Z = 35 + j140 Ω
 ──┬───────────────┬──
 │ │
 Y/2 Y/2
 │ │
 ──┴───────────────┴──

先計算

YZ=(35+j140)(j0.00093)=−0.1302+j0.03255.YZ=(35+j140)(j0.00093)=-0.1302+j0.03255.

因此

A=D=1+YZ2=0.9349+j0.016275,A=D=1+\frac{YZ}{2} =0.9349+j0.016275, B=Z(1+YZ4)=32.7215+j135.7278 Ω,B=Z\left(1+\frac{YZ}{4}\right) =32.7215+j135.7278\ \Omega, C=Y(1+YZ4)=−7.568×10−6+j8.9973×10−4 S.C=Y\left(1+\frac{YZ}{4}\right) =-7.568\times10^{-6}+j8.9973\times10^{-4}\ \mathrm{S}.

受電端每相電壓及負載電流為

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第 四 題15 分

四、如圖所示之四匯流排電力系統，其標么線阻抗如下：

Z12=0.2+j0.6,Z13=0.1+j0.3,Z23=0.3+j0.9,Z24=0.1+j0.3,Z34=0.2+j0.6Z_{12}=0.2+j0.6,\quad Z_{13}=0.1+j0.3,\quad Z_{23}=0.3+j0.9,\quad Z_{24}=0.1+j0.3,\quad Z_{34}=0.2+j0.6

匯流排資料為：

  • 匯流排 1：V1=1.05∠0∘V_1=1.05\angle0^\circ。
  • 匯流排 3：∣V3∣=1.02|V_3|=1.02。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

求此電力系統之匯流排導納矩陣（Admittance matrix）YbusY_{\mathrm{bus}}。（15 分）

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核心觀念

匯流排導納矩陣 YbusY_{\mathrm{bus}} 由網路支路導納與匯流排間的連接關係決定：

  • 對角元素 YiiY_{ii}：連接至匯流排 ii 的所有支路導納總和。
  • 非對角元素 YijY_{ij}：若匯流排 i,ji,j 之間有支路，則為該支路導納的負值；若無直接支路，則為 00。

題目給的 V1V_1、∣V3∣|V_3| 是匯流排電壓資料，不影響 YbusY_{\mathrm{bus}} 的組成。依圖中五條支路計算，且未標示並聯支路或匯流排對地導納，故不計入對地導納。

解題方法

先將各支路阻抗取倒數，得到支路導納：

y12=10.2+j0.6=0.2−j0.60.22+0.62=0.5−j1.5,y13=10.1+j0.3=0.1−j0.30.12+0.32=1−j3,y23=10.3+j0.9=0.3−j0.90.32+0.92=13−j1,y24=10.1+j0.3=1−j3,y34=10.2+j0.6=0.5−j1.5.\begin{aligned} y_{12} &=\frac{1}{0.2+j0.6} =\frac{0.2-j0.6}{0.2^2+0.6^2} =0.5-j1.5,\\ y_{13} &=\frac{1}{0.1+j0.3} =\frac{0.1-j0.3}{0.1^2+0.3^2} =1-j3,\\ y_{23} &=\frac{1}{0.3+j0.9} =\frac{0.3-j0.9}{0.3^2+0.9^2} =\frac{1}{3}-j1,\\ y_{24} &=\frac{1}{0.1+j0.3} =1-j3,\\ y_{34} &=\frac{1}{0.2+j0.6} =0.5-j1.5. \end{aligned}

對角元素為各匯流排所連支路導納總和：

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第 五 題20 分

五、有一 Y 接同步發電機，其額定值為 300 MVA300\ \mathrm{MVA}、12 kV12\ \mathrm{kV}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}，中性點直接接地。此發電機之電抗為

Xd′′=X2=0.15 pu,X0=0.05 puX_d''=X_2=0.15\ \mathrm{pu},\qquad X_0=0.05\ \mathrm{pu}

故障發生前，發電機工作於額定電壓及無載下，求：

（一）單線接地故障電流對三相短路故障電流之比值。（10 分）

（二）今 Y 接同步發電機之中性點經電感接地，使單線接地故障電流等於三相短路故障電流，求此電感之電抗歐姆值。（10 分）

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核心觀念

本題評量同步發電機端故障分析與對稱成分法（Method of Symmetrical Components）​之應用，重點概念如下：

  1. 三相短路故障（3ϕ3\phi 短路）： 三相短路為對稱故障，系統僅存在正序網路。無載且額定電壓下，故障電流標麼值為： If,3ϕ=EaX1=EaXd′′I_{f, 3\phi} = \frac{E_a}{X_1} = \frac{E_a}{X_d''}

  2. 單線接地故障（1LG1\mathrm{LG} 故障）： 單線接地為不對稱故障，其正序、負序、零序網路呈串聯連接。故障相電流為零序電流之 3 倍（Ia=3Ia0I_a = 3I_{a0}）： If,1ϕ=3EaX1+X2+X0+3ZnI_{f, 1\phi} = \frac{3E_a}{X_1 + X_2 + X_0 + 3Z_n} 若中性點直接接地（Solidly Grounded），則 Zn=0Z_n = 0；若中性點經電抗 XnX_n 接地，則在零序網路中反應為 3Xn3X_n。

  3. 標麼值與歐姆值轉換： 三相系統之阻抗基準值（Base Impedance）： Zbase=Vbase,L−L2Sbase,3ϕZ_{\mathrm{base}} = \frac{V_{\mathrm{base, L-L}}^2}{S_{\mathrm{base, 3\phi}}} 實體歐姆值與標麼值之關係： Z(Ω)=Z(pu)×ZbaseZ_{(\Omega)} = Z_{(\mathrm{pu})} \times Z_{\mathrm{base}}

解題方法

基本參數與基準值

  • 發電機額定容量：Sbase=300 MVAS_{\mathrm{base}} = 300\ \mathrm{MVA}
  • 發電機額定線電壓：Vbase=12 kVV_{\mathrm{base}} = 12\ \mathrm{kV}
  • 故障前內部應電動勢（無載額定電壓）：Ea=1.0∠0∘ puE_a = 1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}
  • 各序電抗值： X1=Xd′′=0.15 pu,X2=0.15 pu,X0=0.05 puX_1 = X_d'' = 0.15\ \mathrm{pu},\qquad X_2 = 0.15\ \mathrm{pu},\qquad X_0 = 0.05\ \mathrm{pu}

（一）求單線接地故障電流對三相短路故障電流之比值

  1. 計算三相短路故障電流 If,3ϕI_{f, 3\phi}： If,3ϕ=EaX1=1.00.15=203 puI_{f, 3\phi} = \frac{E_a}{X_1} = \frac{1.0}{0.15} = \frac{20}{3}\ \mathrm{pu}

  2. 計算中性點直接接地（Zn=0Z_n = 0）時之單線接地故障電流 If,1ϕI_{f, 1\phi}： Ia0=EaX1+X2+X0=1.00.15+0.15+0.05=1.00.35=207 puI_{a0} = \frac{E_a}{X_1 + X_2 + X_0} = \frac{1.0}{0.15 + 0.15 + 0.05} = \frac{1.0}{0.35} = \frac{20}{7}\ \mathrm{pu} 單線接地故障電流大小為： If,1ϕ=3Ia0=3×207=607 puI_{f, 1\phi} = 3I_{a0} = 3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7}\ \mathrm{pu}

  3. 計算電流比值： If,1ϕIf,3ϕ=3EaX1+X2+X0EaX1=3X1X1+X2+X0\frac{I_{f, 1\phi}}{I_{f, 3\phi}} = \frac{\dfrac{3E_a}{X_1 + X_2 + X_0}}{\dfrac{E_a}{X_1}} = \frac{3X_1}{X_1 + X_2 + X_0} 代入數值：

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