108 高普考高考二級 電力工程 控制系統 考古題詳解

核心觀念

1. 單位負回授系統（Unity Negative Feedback System）的閉迴路轉移函數： 在單位負回授條件下（$H(s) = 1$），閉迴路轉移函數 $T(s)$ 定義為： $T(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$ 若開路轉移函數表示為分子多項式除以分母多項式 $G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$，則閉迴路轉移函數可簡化表示為： $T(s) = \frac{N(s)}{D(s) + N(s)}$

2. 脈衝響應（Impulse Response）與拉氏反轉換： 系統對單位脈衝輸入 $r(t) = \delta(t)$（其拉氏轉換 $R(s) = 1$）的時域輸出 $y(t)$，即為閉迴路轉移函數的拉氏反轉換： $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{T(s)\}$

3. 二階欠阻尼極點之拉氏反轉換對： 針對二階複數共軛極點，採用配方法轉化為標準形式： $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\right\} = e^{-at}\cos(\omega t)$ $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\right\} = e^{-at}\sin(\omega t)$

4. 正弦型三角函數疊合（Harmonic Addition）： 將正弦與餘弦線性組合化為單一正弦函數： $p\cos(Ct) + q\sin(Ct) = A\sin(Ct + \theta)$ 展開右式對照係數： $A\sin(Ct + \theta) = [A\cos\theta]\sin(Ct) + [A\sin\theta]\cos(Ct)$ 可得： $A\cos\theta = q, \quad A\sin\theta = p$ 振幅 $A = \sqrt{p^2 + q^2}$，相角 $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{p}{q}\right)$（需依據 $p$ 與 $q$ 的正負符號決定所在象限）。

解題方法

（一）求閉迴路轉移函數 $T(s)$

依定義，將 $G(s) = \frac{2s+9}{s^2+2s+11}$ 代入閉迴路轉移函數公式： $T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{\frac{2s+9}{s^2+2s+11}}{1 + \frac{2s+9}{s^2+2s+11}}$

分子分母同乘以 $(s^2+2s+11)$： $T(s) = \frac{2s+9}{(s^2+2s+11) + (2s+9)} = \frac{2s+9}{s^2+4s+20}$

（二）求脈衝響應之參數 $A$、$B$、$C$ 及 $\theta$

1. 分母配方： $s^2 + 4s + 20 = (s+2)^2 + 16 = (s+2)^2 + 4^2$

2. 分子拆解為標準阻尼指數與正餘弦項： 將分子 $2s+9$ 改寫成包含 $(s+2)$ 的形式： $2s + 9 = 2(s+2) + 5 = 2(s+2) + \frac{5}{4} \cdot 4$

3. 分項表示： $T(s) = \frac{2(s+2) + \frac{5}{4}(4)}{(s+2)^2 + 4^2} = 2 \cdot \frac{s+2}{(s+2)^2 + 4^2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{(s+2)^2 + 4^2}$

4. 取拉氏反轉換求解時域脈衝響應 $y(t)$：

核心觀念

此題考查單位負回授系統的特徵方程、Routh 穩定判據，以及根軌跡的實軸判則、漸近線與重根附近的分枝方向。

開迴路傳遞函數為

單位負回授的閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$，因此

即

（一）Routh 穩定範圍

三次特徵方程的 Routh 表為

第一欄皆須為正：

故閉迴路穩定的範圍為

（二）$K\geq 0$ 的根軌跡

開迴路有三個極點：$s=0$（二重極點）、$s=-9$；一個零點：$s=-1$。

• 根軌跡有三條分枝，其中一條終止於零點 $-1$，另兩條趨向無限遠。
• 實軸根軌跡只在 $(-9,-1)$ 上。這是因為該區間右側有三個實極點或零點，數目為奇數。
• 無限遠漸近線數為 $3-1=2$ 條，重心為

漸近線角度為 $90^\circ$ 與 $270^\circ$。

• 由原點的二重極點出發之兩條分枝，初始離開角為 $+90^\circ$、$-90^\circ$。

重根位置可由根軌跡增益式求得：

令 $\dfrac{dK}{ds}=0$：

其中 $s=0$ 對應 $K=0$；對 $K>0$ 的重根，取 $s=-3$，代入得

此時特徵方程為

因此 $s=-3$ 是三重根。根軌跡在 $K=27$ 時三條分枝交會。

核心觀念

1. 閉迴路頻寬（Bandwidth, $\omega_{BW}$）的定義： 頻寬定義為閉迴路頻率響應之大小（Magnitude）下降至直流增益（DC Gain）的 $-3\text{ dB}$（即直流值的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍）時所對應的角頻率： $|T(j\omega_{BW})| = \frac{1}{\sqrt{2}} |T(j0)|$
2. 標準二階系統頻率響應： 標準二階系統閉迴路轉移函數之直流增益在 $\zeta > 0$ 時為 $|T(j0)| = 1$。因此頻寬滿足： $|T(j\omega_{BW})|^2 = \frac{1}{2}$

解題方法

步驟一：求直流增益與頻率響應大小平方

給定閉迴路轉移函數： $T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

令 $s = 0$，得系統之直流增益： $T(0) = \frac{\omega_n^2}{\omega_n^2} = 1 \implies |T(j0)| = 1$

令 $s = j\omega$，代入轉移函數求得頻率響應： $T(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2 + 2\zeta\omega_n(j\omega) + \omega_n^2} = \frac{\omega_n^2}{(\omega_n^2 - \omega^2) + j(2\zeta\omega_n\omega)}$

其振幅大小的平方為： $|T(j\omega)|^2 = \frac{\omega_n^4}{(\omega_n^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_n\omega)^2}$

步驟二：依頻寬定義列式

當 $\omega = \omega_{BW}$ 時，根據頻寬定義 $|T(j\omega_{BW})|^2 = \frac{1}{2}$： $\frac{\omega_n^4}{(\omega_n^2 - \omega_{BW}^2)^2 + 4\zeta^2\omega_n^2\omega_{BW}^2} = \frac{1}{2}$

交叉相乘整理得： $(\omega_n^2 - \omega_{BW}^2)^2 + 4\zeta^2\omega_n^2\omega_{BW}^2 = 2\omega_n^4$

步驟三：無因次化變數代換與求解

為簡化計算，將上式同除以 $\omega_n^4$，並令 $u = \left(\frac{\omega_{BW}}{\omega_n}\right)^2$（其中 $u > 0$）： $(1 - u)^2 + 4\zeta^2 u = 2$

展開並整理為 $u$ 的一元二次方程式： $(1 - 2u + u^2) + 4\zeta^2 u - 2 = 0$ $u^2 - 2(1 - 2\zeta^2)u - 1 = 0$

利用一元二次方程式公式解求 $u$： $u = \frac{2(1 - 2\zeta^2) \pm \sqrt{[-2(1 - 2\zeta^2)]^2 - 4(1)(-1)}}{2}$

核心觀念

本題評量現代控制理論（Modern Control Theory）在狀態空間（State-Space）架構下的核心主題：狀態回授（State Feedback）、全階狀態估測器（Full-order State Observer/Estimator）​以及著名的分離原理（Separation Principle / Certainty Equivalence Principle）。

1. 可控制性（Controllability）：系統狀態能否透過控制輸入在有限時間內由任意初始狀態轉移至任意目標狀態。
2. 可觀察性（Observability）：系統內部狀態能否透過輸出與輸入的歷史軌跡在有限時間內被唯一決定。
3. 極點配置法（Pole Placement）：在系統可控（可觀）的前提下，可透過狀態回授增益向量 $k$（估測器增益向量 $l$）將閉迴路極點任意配置於複數平面的期望位置。
4. 分離原理（Separation Principle）：當無法直接量測全狀態而必須串接狀態估測器進行回授控制時，整個閉迴路系統的特徵多項式可精確拆解為「控制器特徵多項式」與「估測器特徵多項式」之乘積。控制器增益 $k$ 與估測器增益 $l$ 的設計完全解耦，可各自獨立設計。

解題方法

（一）系統可控的條件

由卡曼（Kalman）可控制性準則，單輸入系統之可控制性矩陣（Controllability Matrix）定義為： $\mathcal{C} = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}$

系統可控之充要條件為：

1. 可控制性矩陣 $\mathcal{C}$ 為滿秩（Full Rank），即 $\operatorname{rank}(\mathcal{C}) = n$。
2. 或等價表示為其行列式不為零：$\det(\mathcal{C}) \neq 0$。

（二）系統可觀的條件

由卡曼（Kalman）可觀察性準則，單輸出系統之可觀察性矩陣（Observability Matrix）定義為： $\mathcal{O} = \begin{bmatrix} c \\ ca \\ ca^2 \\ \vdots \\ ca^{n-1} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}$

系統可觀之充要條件為：

1. 可觀察性矩陣 $\mathcal{O}$ 為滿秩（Full Rank），即 $\operatorname{rank}(\mathcal{O}) = n$。
2. 或等價表示為其行列式不為零：$\det(\mathcal{O}) \neq 0$。

（三）估測器增益向量 $l$ 的設計條件

定義估測誤差向量為： $e = x - \hat{x}$

對時間微分： $\dot{e} = \dot{x} - \dot{\hat{x}} = (Ax + bu) - \left[(A - lc)\hat{x} + bu + ly\right]$

因 $y = cx$，代入整理可得： $\dot{e} = Ax - (A - lc)\hat{x} - lcx = (A - lc)(x - \hat{x}) = (A - lc)e$

估測器增益向量 $l$ 的設計條件為：

1. 結構條件（可任意配置極點）：矩陣對 $(A, c)$ 必須具備完全可觀察性（Completely Observable）（或至少可偵測 Detectable，即所有不可觀模態均漸近穩定）。此條件保證可藉由適當選取 $l \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，將 $(A - lc)$ 之特徵值任意指定至預期位置。
2. 穩定性條件（漸近收斂）：矩陣 $(A - lc)$ 必須為漸近穩定矩陣（Hurwitz Matrix），即其所有特徵值 $\lambda_i(A - lc)$ 必須全部落在複數平面的開左半平面（Open Left-Half Plane, OLHP）： $\operatorname{Re}(\lambda_i(A - lc)) < 0, \quad \forall i = 1, 2, \dots, n$ 以確保估測誤差在時間趨近無窮大時以指數速率衰減至零（$\lim_{t \to \infty} e(t) = 0$）。
3. 工程實務條件：估測器極點之收斂速率通常設計為閉迴路控制器極點的 2 至 5 倍（在複數平面上更偏左），以保證狀態估測能在控制系統發揮調節作用前迅速逼近真實狀態。

（四）狀態回授控制器增益向量 $k$ 的設計條件

理想全狀態回授法則為 $u = r - kx$，閉迴路系統動態為： $\dot{x} = (A - bk)x + br$

狀態回授控制器增益向量 $k$ 的設計條件為：

1. 結構條件（可任意配置極點）：矩陣對 $(A, b)$ 必須具備完全可控制性（Completely Controllable）（或至少可穩定 Stabilizable，即所有不可控模態均漸近穩定）。此條件保證可藉由適當選取 $k \in \mathbb{R}^{1 \times n}$，將閉迴路系統矩陣 $(A - bk)$ 之特徵值任意配置於期望極點。
2. 穩定性與效能條件：矩陣 $(A - bk)$ 必須為漸近穩定矩陣（Hurwitz Matrix），即所有特徵值 $\mu_j(A - bk)$ 均滿足： $\operatorname{Re}(\mu_j(A - bk)) < 0, \quad \forall j = 1, 2, \dots, n$ 同時特徵值之位置需滿足特定系統暫態響應指標（如阻尼比 $\zeta$、未阻尼自然頻率 $\omega_n$、沉降時間與超調量）。

（五）分離原理（Separation Principle）的推導與證明

證明目標： 證明整個閉迴路系統的特徵多項式等於控制器特徵多項式與估測器特徵多項式的乘積，從而證明 $k$ 與 $l$ 可完全分開獨立設計。

步驟一：建立系統狀態與估測誤差動態方程式 已知原動態系統為： $\dot{x} = Ax + bu$

輸出方程式： $y = cx$

以估測器為基礎之狀態回授控制律為： $u = r - k\hat{x}$

將估測誤差定義為 $e = x - \hat{x}$，即 $\hat{x} = x - e$。將此關係代入控制律中： $u = r - k(x - e) = -kx + ke + r$

將控制輸入 $u$ 代回原系統狀態方程式： $\dot{x} = Ax + b(-kx + ke + r) = (A - bk)x + bke + br$

接著考慮估測器動態： $\dot{\hat{x}} = (A - lc)\hat{x} + bu + ly = (A - lc)\hat{x} + bu + lcx$