107 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗長距離輸電線路方程式之行進波表示法與阻抗匹配（Impedance Matching）​觀念：

1. 分佈參數線路方程式（Distributed Parameters）： 長距離輸電線路電壓與電流以雙曲函數或指數形式表示。題目所給的指數形式中：

• 含有 $e^{\gamma x}$ 的項代表自送電端傳向受電端的入射波（Incident Wave）。
• 含有 $e^{-\gamma x}$ 的項代表自受電端反射回送電端的反射波（Reflected Wave）。

2. 特性阻抗（Characteristic Impedance, $Z_C$）之物理意義： $Z_C = \sqrt{\frac{z}{y}}$ 當受電端終端接上負載阻抗 $Z_L = Z_C$ 時，受電端反射係數 $\Gamma_R = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} = 0$，此時線路上無反射波，沿線任一點之電壓與電流之比值恆為 $Z_C$，又稱為阻抗匹配線路（Flat Line）。

解題方法

步驟一：確立受電端之邊界條件

受電端位於 $x = 0$ 處。依題意，受電端終止在特性阻抗 $Z_C$（即 $\mathrm{Load} = Z_L = Z_C$），由歐姆定律可得受電端電壓 $V_R$ 與受電端電流 $I_R$ 的關係為： $V_R = I_R \cdot Z_C \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V_R}{Z_C} = I_R$

步驟二：化簡電壓與電流方程式

將 $V_R = I_R Z_C$ 代入題目的電壓分佈方程式： $V(x) = \frac{V_R + I_R Z_C}{2} e^{\gamma x} + \frac{V_R - I_R Z_C}{2} e^{-\gamma x}$

因為 $V_R - I_R Z_C = 0$ 且 $V_R + I_R Z_C = 2 I_R Z_C$，故反射波項係數為零，化簡得： $V(x) = \frac{2 I_R Z_C}{2} e^{\gamma x} + \frac{0}{2} e^{-\gamma x} = I_R Z_C e^{\gamma x}$

同理，將 $\frac{V_R}{Z_C} = I_R$ 代入題目的電流分佈方程式： $I(x) = \frac{\frac{V_R}{Z_C} + I_R}{2} e^{\gamma x} - \frac{\frac{V_R}{Z_C} - I_R}{2} e^{-\gamma x}$

因為 $\frac{V_R}{Z_C} - I_R = 0$ 且 $\frac{V_R}{Z_C} + I_R = 2 I_R$，反射波項亦為零，化簡得： $I(x) = \frac{2 I_R}{2} e^{\gamma x} - \frac{0}{2} e^{-\gamma x} = I_R e^{\gamma x}$

核心觀念

1. 快速解耦負載潮流法（Fast Decoupled Load Flow Method, FDLF）： 源自牛頓-拉夫森法（Newton-Raphson Method），利用高壓輸電系統中「電阻遠小於電抗（$R \ll X$）」與「相角差極小（$\delta_i - \delta_k \approx 0$）」之物理特性，將實功率與電壓相角（$P-\delta$）、虛功率與電壓大小（$Q-|V|$）解耦為兩個獨立的線性代數方程組： $\left[ \frac{\Delta P}{|V|} \right] = [B'] [\Delta \delta]$ $\left[ \frac{\Delta Q}{|V|} \right] = [B''] [\Delta |V|]$ 其中矩陣 $[B']$ 與 $[B'']$ 為常數矩陣，源自節點電納矩陣，且在疊代過程中保持不變，省去每次重新建立與反轉雅可比矩陣（Jacobian Matrix）的運算。
2. 匯流排分類與未知數定義：

• 匯流排①（Swing Bus）：電壓大小與相角固定，即 $|V_1| = 1.04$ 標麼，$\delta_1 = 0^\circ$（不參與疊代修正）。
• 匯流排②（PQ Bus）：已知注入負載 $P_{D2}=0.6$、$Q_{D2}=0.5$，無發電機，故排程注入功率為 $P_2^{sch} = -0.6$ 標麼、$Q_2^{sch} = -0.5$ 標麼。未知數為 $|V_2|$ 與 $\delta_2$。
• 匯流排③（PQ Bus）：已知注入負載 $P_{D3}=0.9$、$Q_{D3}=0.8$，無發電機，故排程注入功率為 $P_3^{sch} = -0.9$ 標麼、$Q_3^{sch} = -0.8$ 標麼。未知數為 $|V_3|$ 與 $\delta_3$。

3. 初始平坦啟動（Flat Start）： $V_2^{(0)} = 1.0\angle 0^\circ\text{ p.u.},\quad V_3^{(0)} = 1.0\angle 0^\circ\text{ p.u.}$

解題方法

步驟一：建立節點導納矩陣 $Y_{bus}$ 與解耦矩陣 $B'、B''$

線路導納資料：

• $y_{13} = -j8$ 標麼
• $y_{23} = -j12$ 標麼
• $y_{12} = 0$ 標麼（匯流排①與②之間無直接線路）

節點導納矩陣 $Y_{bus} = G + jB$：

由於所有傳輸線均為純電抗，故電導矩陣 $G = [0]$。

針對非搖擺匯流排（匯流排②、③），取電納矩陣的負虛部建立解耦係數矩陣：

計算逆矩陣： $\det(B') = (12)(20) - (-12)(-12) = 240 - 144 = 96$ $(B')^{-1} = (B'')^{-1} = \frac{1}{96} \begin{bmatrix} 20 & 12 \\ 12 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{24} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.20833 & 0.12500 \\ 0.12500 & 0.12500 \end{bmatrix}$

步驟二：功率方程式形式

當 $G = 0$ 時，各節點功率精確計算公式為： $P_i = |V_i| \sum_{k=1}^3 |V_k| B_{ik} \sin(\delta_i - \delta_k)$ $Q_i = -|V_i| \sum_{k=1}^3 |V_k| B_{ik} \cos(\delta_i - \delta_k)$

展開匯流排②、③的功率方程式： $P_2 = 12 |V_2| |V_3| \sin(\delta_2 - \delta_3)$ $P_3 = 8 |V_1| |V_3| \sin(\delta_3 - \delta_1) + 12 |V_2| |V_3| \sin(\delta_3 - \delta_2)$ $Q_2 = 12 |V_2|^2 - 12 |V_2| |V_3| \cos(\delta_2 - \delta_3)$ $Q_3 = 20 |V_3|^2 - 8 |V_1| |V_3| \cos(\delta_3 - \delta_1) - 12 |V_2| |V_3| \cos(\delta_3 - \delta_2)$

步驟三：第 1 次疊代（Iteration 1）

1. $P-\delta$ 運算

代入初值 $|V_2|^{(0)}=1.0$、$|V_3|^{(0)}=1.0$、$\delta_2^{(0)}=0$、$\delta_3^{(0)}=0$： $P_2^{(0)} = 12(1.0)(1.0)\sin(0) = 0$ $P_3^{(0)} = 8(1.04)(1.0)\sin(0) + 12(1.0)(1.0)\sin(0) = 0$

功率不平衡量： $\Delta P_2^{(0)} = P_2^{sch} - P_2^{(0)} = -0.6 - 0 = -0.6\text{ p.u.}$ $\Delta P_3^{(0)} = P_3^{sch} - P_3^{(0)} = -0.9 - 0 = -0.9\text{ p.u.}$

除以電壓大小： $\frac{\Delta P_2^{(0)}}{|V_2|^{(0)}} = \frac{-0.6}{1.0} = -0.6,\quad \frac{\Delta P_3^{(0)}}{|V_3|^{(0)}} = \frac{-0.9}{1.0} = -0.9$

求解相角修正量： $\begin{bmatrix} \Delta \delta_2^{(1)} \\ \Delta \delta_3^{(1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{24} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.6 \\ -0.9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5(-0.6) + 3(-0.9)}{24} \\ \frac{3(-0.6) + 3(-0.9)}{24} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.2375 \\ -0.1875 \end{bmatrix}\text{ rad}$

更新電壓相角： $\delta_2^{(1)} = \delta_2^{(0)} + \Delta \delta_2^{(1)} = -0.2375\text{ rad} \approx -13.61^\circ$ $\delta_3^{(1)} = \delta_3^{(0)} + \Delta \delta_3^{(1)} = -0.1875\text{ rad} \approx -10.74^\circ$

2. $Q-|V|$ 運算

利用已更新之相角差 $\delta_2^{(1)} - \delta_3^{(1)} = -0.05\text{ rad}$ 及 $\delta_3^{(1)} = -0.1875\text{ rad}$： $\cos(-0.05\text{ rad}) \approx 0.99875,\quad \cos(-0.1875\text{ rad}) \approx 0.98250$

計算虛功率： $Q_2^{(0)} = 12(1.0)^2 - 12(1.0)(1.0)(0.99875) = 12 - 11.9850 = 0.0150\text{ p.u.}$ $Q_3^{(0)} = 20(1.0)^2 - 8(1.04)(1.0)(0.98250) - 12(1.0)(1.0)(0.99875) = 20 - 8.1744 - 11.9850 = -0.1594\text{ p.u.}$

虛功率不平衡量： $\Delta Q_2^{(0)} = Q_2^{sch} - Q_2^{(0)} = -0.5 - 0.0150 = -0.5150\text{ p.u.}$ $\Delta Q_3^{(0)} = Q_3^{sch} - Q_3^{(0)} = -0.8 - (-0.1594) = -0.6406\text{ p.u.}$

除以電壓大小： $\frac{\Delta Q_2^{(0)}}{|V_2|^{(0)}} = -0.5150,\quad \frac{\Delta Q_3^{(0)}}{|V_3|^{(0)}} = -0.6406$

核心觀念

本題考查輻射狀配電系統（Radial System）之短路故障電流計算及過電流保護電驛整定（Overcurrent Relay Coordination）基準：

1. 等效阻抗計算（戴維寧等效）：

• 無限匯流排（Infinite Bus）視為理想電壓源，其內部阻抗為零。
• 輻射狀系統在匯流排④發生故障時，故障點至電源端之線路為串聯結構；下游（匯流排④至⑤及各節點負載）在計算短路電流時均不提供故障電流，予以忽略。
• 電抗均已換算至 $13.8\ \mathrm{kV}$ 側，直接採用歐姆值（實體值）進行串並聯計算。

2. 最大故障電流（Maximum Fault Current）之判定條件：

• 系統運行狀態：電源側阻抗最小，即兩台主變壓器全部並聯運轉。
• 故障型態：對稱三相金屬短路故障（$3\phi$ Fault），此型態產生之故障電流最大。 $I_{f,\max} = I_{f}^{(3\phi)} = \frac{V_{\mathrm{ph}}}{X_{\mathrm{th},\min}} = \frac{V_L}{\sqrt{3} X_{\mathrm{th},\min}}$

3. 最小故障電流（Minimum Fault Current）之判定條件：

• 系統運行狀態：電源側阻抗最大，即題目所述之特別運轉情況——僅單台變壓器運轉（另一台停用或檢修）。
• 故障型態：題目明確指出「其保護系統設計來作線間和三相故障保護用」，在未接地或非接地系統之過電流保護中，線間短路故障（Line-to-Line Fault, L-L）​之電流值僅為對稱三相短路故障的 $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ 倍，故保護電驛必須檢測出的最小故障電流對應於單台變壓器運轉下的線間短路故障。 $I_{f,\min} = I_{f}^{(L-L)} = \frac{\sqrt{3}}{2} I_{f(1T)}^{(3\phi)} = \frac{V_L}{2 X_{\mathrm{th},\max}}$

解題方法

步驟一：計算電源至匯流排④之等效電抗

線路自匯流排①至匯流排④之總線路電抗為串聯相加： $X_{\text{line, 1-4}} = X_{12} + X_{23} + X_{34} = 9.6 + 6.4 + 8.0 = 24.0\ \Omega$

1. 兩台變壓器並聯運轉時之戴維寧等效電抗（最小阻抗）： $X_{T(\text{parallel})} = 5.0 \parallel 5.0 = \frac{5.0}{2} = 2.5\ \Omega$ $X_{\mathrm{th},\min} = X_{T(\text{parallel})} + X_{\text{line, 1-4}} = 2.5 + 24.0 = 26.5\ \Omega$

2. 單台變壓器運轉時之戴維寧等效電抗（最大阻抗）： $X_{T(\text{single})} = 5.0\ \Omega$ $X_{\mathrm{th},\max} = X_{T(\text{single})} + X_{\text{line, 1-4}} = 5.0 + 24.0 = 29.0\ \Omega$

步驟二：計算匯流排④之最大故障電流 $I_{f,\max}$

核心觀念

本題旨在測驗電力系統運轉中自動發電控制（Automatic Generation Control, AGC）​與負載頻率控制（Load Frequency Control, LFC）​的區域控制誤差（Area Control Error, ACE）​計算。

依據北美電力可靠度委員會（NERC）之標準運轉準則，互聯電力系統中各控制區域之 ACE 定義公式如下：

$\mathrm{ACE} = (NI_A - NI_S) - 10 B (F_A - F_S) - I_{\mathrm{TE}} - I_{\mathrm{ME}}$

各參數之物理意義與符號慣例：

• $NI_A$（Actual Net Interchange）：實際淨互聯潮流（以流出受控區域／輸出為正，流入為負），單位為 $\mathrm{MW}$。
• $NI_S$（Scheduled Net Interchange）：預定淨互聯潮流（以流出受控區域／輸出為正，流入為負），單位為 $\mathrm{MW}$。
• $B$（Frequency Bias Setting）：控制區域頻率偏差常數（頻率偏壓值），依 NERC 慣例定義為負值，單位為 $\mathrm{MW}/0.1\ \mathrm{Hz}$。
• $F_A$（Actual Frequency）：系統實際頻率，單位為 $\mathrm{Hz}$。
• $F_S$（Scheduled Frequency）：系統標稱預定頻率（台灣與北美系統為 $60.00\ \mathrm{Hz}$）。
• 常數 $10$：換算倍數，將頻率偏差單位由 $\mathrm{Hz}$ 轉換為 $0.1\ \mathrm{Hz}$。
• $I_{\mathrm{TE}}$：時間誤差修正量（Time Error Correction factor），本題無時間修正，故為 $0\ \mathrm{MW}$。
• $I_{\mathrm{ME}}$：聯絡線計量誤差修正量（Interchange Metering Error factor），本題無計量錯誤，故為 $0\ \mathrm{MW}$。

當 $\mathrm{ACE} > 0$ 時，表示該區域處於過度發電狀態（發電大於負載與排程），控制系統後續需調降發電機出力；當 $\mathrm{ACE} < 0$ 時，表示該區域發電不足，需調升出力。

解題方法

本題針對「系統 B」求解其區域控制誤差 $\mathrm{ACE}_B$：

1. 確定系統 B 之淨交換功率潮流：

• 題目給定「從 B 系統購電 $400\ \mathrm{MW}$」，即系統 B 預定輸出至系統 A 之功率為 $400\ \mathrm{MW}$。依流出為正之慣例： $NI_S = +400\ \mathrm{MW}$
• 「進入到系統 A 的實際潮流為 $410\ \mathrm{MW}$」，即系統 B 實際流出至系統 A 之功率為 $410\ \mathrm{MW}$： $NI_A = +410\ \mathrm{MW}$

核心觀念

1. 不對稱故障之對稱成分判斷：

• 注入故障點之各序次暫態電流總和為電動機側與變壓器側流向故障點電流之代數和： $I_f^{(1)} = I_{a,M}^{(1)} + I_{a,T}^{(1)}$ $I_f^{(2)} = I_{a,M}^{(2)} + I_{a,T}^{(2)}$ $I_f^{(0)} = I_{a,M}^{(0)} + I_{a,T}^{(0)}$
• 當故障點滿足 $I_f^{(1)} = I_f^{(2)} = I_f^{(0)}$ 且故障相電流不為零、健全相電流為零時，判定為單相接地故障（Single Line-to-Ground Fault, SLG）。

2. $\text{Y}-\Delta$ 變壓器之相位移（IEEE / 台灣電力系統標準慣例）：

• 高壓側（HV，本題為 $\text{Y}$ 側）之正序量超前低壓側（LV，本題為 $\Delta$ 側）$30^\circ$： $I_{\text{HV}}^{(1)} = I_{\text{LV}}^{(1)} \cdot e^{j30^\circ}$
• 高壓側（HV）之負序量落後低壓側（LV）$30^\circ$： $I_{\text{HV}}^{(2)} = I_{\text{LV}}^{(2)} \cdot e^{-j30^\circ}$

3. 零序電流隔離特性：

• $\text{Y}-\Delta$ 變壓器低壓側為 $\Delta$ 接線，零序電流無法穿透變壓器傳遞至高壓側。因此由低壓側故障引起之發電機側零序電流必為零： $I_G^{(0)} = 0\ \text{pu}$

4. 對稱成分反轉換為相電流： $\begin{bmatrix} I_{G,a} \\ I_{G,b} \\ I_{G,c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_G^{(0)} \\ I_G^{(1)} \\ I_G^{(2)} \end{bmatrix}$ 其中運算子 $a = 1\angle 120^\circ = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a^2 = 1\angle 240^\circ = -\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$。

解題方法

第一部分：判定故障型式

流向故障點 $F$ 之各序總次暫態電流為電動機提供之電流與變壓器提供之電流相加：

• 正序總電流： $I_f^{(1)} = I_{a,M}^{(1)} + I_{a,T}^{(1)} = (-0.8 - j2.6) + (0.8 - j0.4) = -j3.0\ \text{pu}$

• 負序總電流： $I_f^{(2)} = I_{a,M}^{(2)} + I_{a,T}^{(2)} = (-j2.0) + (-j1.0) = -j3.0\ \text{pu}$

• 零序總電流： $I_f^{(0)} = I_{a,M}^{(0)} + I_{a,T}^{(0)} = (-j3.0) + 0 = -j3.0\ \text{pu}$

檢驗故障點三相電流： $I_{f,a} = I_f^{(0)} + I_f^{(1)} + I_f^{(2)} = 3 \times (-j3.0) = -j9.0\ \text{pu}$ $I_{f,b} = I_f^{(0)} + a^2 I_f^{(1)} + a I_f^{(2)} = (-j3.0)(1 + a^2 + a) = 0\ \text{pu}$ $I_{f,c} = I_f^{(0)} + a I_f^{(1)} + a^2 I_f^{(2)} = (-j3.0)(1 + a + a^2) = 0\ \text{pu}$

因各序電流相等（$I_f^{(1)} = I_f^{(2)} = I_f^{(0)} = -j3.0\ \text{pu}$），且 $b$ 相與 $c$ 相電流為零、$a$ 相有接地電流流出，故此故障型式為 $a$ 相單相接地故障（Single Line-to-Ground Fault, SLG）。

第二部分：計算發電機每相之次暫態電流

發電機位於變壓器高壓側（$\text{Y}$ 側），故障位於低壓側（$\Delta$ 側）。變壓器自低壓側流向故障點之對稱成分電流為： $I_{a,T}^{(1)} = 0.8 - j0.4\ \text{pu}$ $I_{a,T}^{(2)} = -j1.0\ \text{pu}$ $I_{a,T}^{(0)} = 0\ \text{pu}$

發電機流向變壓器之各序電流轉換如下：

1. 正序電流（高壓側超前低壓側 $30^\circ$）： $I_G^{(1)} = I_{a,T}^{(1)} \cdot e^{j30^\circ} = (0.8 - j0.4)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}\right)$ $I_G^{(1)} = \left(0.4\sqrt{3} + 0.2\right) + j\left(0.4 - 0.2\sqrt{3}\right) \approx 0.8928 + j0.0536\ \text{pu}$

2. 負序電流（高壓側落後低壓側 $30^\circ$）：