108 高普考高考三級 醫學工程 生物輸送原理 考古題詳解

核心觀念

本題屬於生物質傳學（Biomedical Transport Phenomena）​中典型的「組織氧合與反應－擴散模式（Reaction-Diffusion in Tissue Oxygenation）」，本質為改編自 Krogh 柱狀組織充氧理論之圓柱幾何質傳問題。核心觀念與公式包含：

1. 圓柱座標之連續方程式（質傳統御方程式）： 在等溫、等擴散係數 $D$（氧氣於組織內之有效擴散係數，Effective Diffusivity）下，物質 $A$（氧氣）的質量平衡方程式為： $\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{N}_A = R_A$
2. 簡化假設：

• 穩態（Steady state）：$\frac{\partial C}{\partial t} = 0$。
• 一維徑向擴散（1D Radial Diffusion）：因 $L \gg R$，長度遠大於半徑，軸向（$z$ 方向）之端點效應可忽略不計（$\frac{\partial C}{\partial z} = 0$）；圓周對稱無角度變化（$\frac{\partial C}{\partial \theta} = 0$）。
• 均相零級耗氧反應（Zero-order Reaction）：單位體積之氧氣消耗速率為常數 $Q$，即生成項 $R_A = -Q$。

3. 邊界條件（Boundary Conditions）：

• 圓柱中心對稱性（Symmetry）：在 $r = 0$ 處，濃度梯度為零（或濃度維持有限值）。
• 圓柱表面濃度（Dirichlet BC）：在 $r = R$ 處，表面氧氣濃度為 $C_0$。

4. 組織缺氧／壞死臨界判準（Anoxic Core Criterion）： 由於氧氣由外向內擴散並不斷被消耗，最低濃度必落在中心軸（$r = 0$）。為避免中心細胞缺氧壞死，其物理極限條件為中心濃度恰好降為零（$C(0) = 0$）。

解題方法

第一小題：推導徑向氧氣濃度分布 $C(r)$（10 分）

步驟 1：建立統御常微分方程式 在圓柱座標下一維徑向穩態反應擴散方程式為： $\frac{D}{r} \frac{d}{dr}\left( r \frac{dC}{dr} \right) - Q = 0$ 移項整理： $\frac{d}{dr}\left( r \frac{dC}{dr} \right) = \frac{Q}{D} r$

步驟 2：第一次積分求濃度梯度 對 $r$ 進行一次不定積分： $r \frac{dC}{dr} = \frac{Q}{2D} r^2 + C_1$ 兩邊同除以 $r$： $\frac{dC}{dr} = \frac{Q}{2D} r + \frac{C_1}{r}$

步驟 3：第二次積分求濃度通解 對 $r$ 再次積分： $C(r) = \frac{Q}{4D} r^2 + C_1 \ln r + C_2$

步驟 4：代入邊界條件決定積分常數

• 邊界條件 1（中心對稱）： 在 $r = 0$ 處，$\left. \frac{dC}{dr} \right|_{r=0} = 0$（通量為零），或因 $\ln(0) \to -\infty$，為確保物理上中心濃度為有限值，必有： $C_1 = 0$ 因此濃度分布簡化為： $C(r) = \frac{Q}{4D} r^2 + C_2$

• 邊界條件 2（表面濃度）： 在 $r = R$ 處，$C(R) = C_0$： $C_0 = \frac{Q}{4D} R^2 + C_2 \implies C_2 = C_0 - \frac{Q}{4D} R^2$

步驟 5：整理特解 將 $C_2$ 代回通解中：

核心觀念

本題考固定體積、充分混合的兩區室質量平衡。腹膜兩側濃度分別為 $C_b$ 與 $C_p$，溶質由高濃度側傳向低濃度側。依薄膜質傳係數模型，跨膜傳質速率為

其中 $k_0$ 為薄膜質傳係數，$A_m$ 為交換面積。

解題方法

對腹膜腔做「累積量＝流入量－流出量」的質量平衡。腹膜腔體積 $V_p$ 固定，且腔內液體充分混合，因此其中溶質總量為 $V_pC_p$。溶質經腹膜由病患體液側傳入腹膜腔，故：

因 $V_p$ 固定，且題目指定 $C_b$ 為常數：

整理為一階微分方程：

配合初始條件 $C_p(0)=0$，解得：

核心觀念

本題用代表性組織體積內各成分的體積加總，求細胞與胞外間質纖維所占的體積分率。細胞視為球體，纖維視為圓柱體；因題目已給單位組織體積內的細胞數與纖維總長度，可直接計算兩者的體積分率。

解題方法

取組織總體積為 $V$。

單位體積內有 $n$ 個細胞，因此體積 $V$ 內的細胞數為 $nV$。每個球形細胞的體積為

所以細胞總體積為 $(nV)(\pi D_c^3/6)$，細胞的體積分率為

單位體積內的纖維總長度為 $L$，因此體積 $V$ 內的纖維總長度為 $LV$。

核心觀念

本題用無因次反應模數 $\phi$ 比較氧氣在粒線體內擴散的能力與酵素消耗氧氣的速率。依題示公式：

其中，$L$ 取粒線體的特徵長度 $R_m$，$f$ 為粒線體占細胞的體積分率，$K_{\mathrm{av}}$ 為氧氣分配係數。一般以 $\phi>1$ 判斷反應受到擴散限制；$\phi<1$ 則表示擴散足以供應反應所需氧氣。

解題方法

題目未提供粒線體數目或氧氣分配係數，因此採用下列合理假設計算：以題給細胞與粒線體半徑估算體積分率，視為一個等效粒線體球占一個細胞球的比例；並令未提供的 $K_{\mathrm{av}}=1$。因此：

將粒線體半徑換算為公分：

故：

肌肉細胞

代入 $R''=2\times10^{-6}\ \mathrm{mol\,cm^{-3}\,s^{-1}}$、$C_0=1.1\times10^{-8}\ \mathrm{mol\,cm^{-3}}$：

核心觀念

本題為高考「生物輸送原理」的經典綜合申論題，橫跨生物質傳（Mass Transport）、人工器官模組設計（Extracorporeal Devices）、生物反應工程（Biochemical Reaction Engineering）及血液流變學（Hemorheology）。核心考點涵蓋：

1. 多孔薄膜內的受限擴散（Hindered / Restricted Diffusion）：當溶質尺寸與膜孔半徑相當（$\lambda = r_s / r_p > 0.01$）時的幾何立體排除與流體動力壁面阻滯效應（Renkin 模型）。
2. 微血管壁物質傳輸立論（Diffusion vs. Permeability）：微觀空間連續體（分佈參數，依循 Fick 定律）與巨觀膜界面黑盒子（集總參數，跨膜推動力）之理論基礎與適用情境差異。
3. 體外循環裝置之流動接觸型式（Fluid Contacting Patterns）：逆流（Counter-current）、順流（Co-current）與錯流（Cross-flow）之流向配置、濃度梯度分佈與質量交換效率。
4. 蒂勒模數（Thiele Modulus, $\Phi$）：反應速率與擴散速率之無因次比值，評估生物人工器官（如人工肝、固定化細胞水膠）內部質傳限制與效能因子（Effectiveness factor, $\eta$）。
5. 血液降伏強度（Yield Stress, $\tau_y$）與流變學特性：非牛頓流體（Casson 流體）之起始流動臨界應力定義，以及紅血球錢串狀聚集（Rouleaux formation）之影響機制（血球容積比、血漿蛋白、溫度等）。

解題方法

(一) 受限擴散速率降低的兩大因素（10 分）

當溶質分子半徑 $r_s$ 與多孔薄膜孔洞半徑 $r_p$ 相去不大時（兩者比值 $\lambda = r_s / r_p$ 不可忽略），溶質在孔道內的擴散係數 $D$ 會遠小於自由溶液中的擴散係數 $D_\infty$。依據多孔膜受限傳輸理論（如 Renkin 方程式），導致擴散速率顯著降低的兩大關鍵因素為：

1. 孔口立體排除效應（Steric Exclusion / Partitioning Effect，幾何阻礙）：

• 機制：溶質分子具備剛性實體體積，其分子中心無法靠近孔壁邊緣小於 $r_s$ 的空間。因此，溶質分子能通過孔口的有效橫截面積小於孔洞的實際物理截面積。
• 定量表示：引入熱力學分配係數 $\Phi$（Partition coefficient）： $\Phi = \frac{\pi (r_p - r_s)^2}{\pi r_p^2} = (1 - \lambda)^2$ 此效應限制了溶質進入孔洞的機率，使得孔內溶質濃度顯著低於孔外本體流體濃度。

2. 壁面流體動力摩擦阻滯效應（Hydrodynamic Drag / Wall Effect，增大的黏滯摩擦阻力）：

• 機制：在無限大溶液中，溶質運動僅受溶劑分子隨機碰撞阻礙（依循 Stokes-Einstein 方程式）；但在受限孔道內，溶質分子移動時周圍產生的流場會受到剛性孔壁的反射與干涉，產生反向壓力波與額外的黏滯剪切阻力（Faxén 壁面效應）。孔壁大幅降低了溶質分子的運動遷移率（Mobility）。
• 定量表示：阻滯因子以流體動力修正函數 $F(\lambda)$ 表示（$F(\lambda) < 1$），綜合兩者即為 Renkin 關聯式： $\frac{D}{D_\infty} = \Phi \cdot F(\lambda) = (1 - \lambda)^2 \left( 1 - 2.104\lambda + 2.09\lambda^3 - 0.95\lambda^5 \right)$

(二) 微血管壁傳輸探討：「擴散（Diffusion）」與「通透（Permeability）」立論之主要不同（10 分）

以「擴散」或「通透」描述溶質穿透微血管壁，最根本的差異在於空間尺度定位（微觀連續體 vs. 巨觀集總黑盒子）​與傳輸阻力之物理表徵方式：

(三) 體內外連通醫材（如血液透析器）中，3 種流體接觸形式（9 分）

在血液透析器（Dialyzer）或血液加氧器（Oxygenator）等中空纖維薄膜裝置中，血液與流體（透析液或氣體）隔膜接觸的流動形式主要有三種：

1. 逆流接觸 (Counter-current) 2. 順流接觸 (Co-current) 3. 錯流接觸 (Cross-flow)
血液 ───────> 血液 ───────> 血液 ───────>
------------------ 薄膜 ------------------ 薄膜 ------------------ 薄膜
透析液 <─────── 透析液 ───────> 流體 ↓↓↓↓↓↓↓↓ (垂直流向)

1. 逆流接觸（Counter-current Flow）：

• 流態特徵：血液由一端流入、另一端流出；透析液則自相反方向流動，兩者隔著中空纖維膜逆向平行流動。
• 傳輸優勢：沿著整個透析模組的全長，血液側與透析液側皆能維持穩定且均勻的溶質濃度差（Driving Force, $\Delta C$），不會出現驅動力過早衰竭的瓶頸。此形式具備最高的質量交換效率，是現代臨床血液透析器的標準工業配置。

2. 順流／並流接觸（Co-current / Parallel Flow）：

• 流態特徵：血液與透析液自模組同一側入口進入，沿著薄膜朝相同方向平行流動至同側出口。
• 傳輸限制：入口處兩側濃度差極大，物質傳遞速率極高；但隨著沿程交換進行，兩側濃度迅速趨近一致，出口端濃度差趨近於零。整體交換效率受熱力學平衡限制，最大溶質清除量顯著低於逆流模式，臨床透析器通常避免採用。

3. 錯流／交叉流接觸（Cross-flow）：

• 流態特徵：流體流向與血液流向呈 $90^\circ$ 垂直正交。在模組實務中，血液流經中空纖維管內（Lumen side），而外部殼側（Shell side）的沖洗液或混合氣體以垂直管束方向橫向掠過。
• 傳輸優勢：流體垂直沖刷纖維表面能破壞邊界層（Boundary layer）、削弱流動停滯區並顯著降低濃差極化（Concentration polarization）。常見於膜式血液加氧器（人工肺）與血漿分離過濾系統。

(四) 何謂 Thiele Modulus？請解釋其意涵（4 分）

1. 定義： 蒂勒模數（Thiele Modulus, 常記為 $\Phi$ 或 $\phi$）為多孔介質反應質傳系統中的無因次參數，定義為系統特性內在化學／生化反應速率與內部特性擴散速率之比值的平方根。 對於平板幾何、一階不可逆消耗反應之固定化生物催化系統（如固定化酵素水膠層、組織工程支架細胞）： $\Phi = L \sqrt{\frac{k}{D_{eff}}}$