108 高普考高考三級 醫學工程 醫學儀表及測量 考古題詳解

核心觀念

本題測驗生醫工程領域中阻抗體積描記術（Impedance Plethysmography, IPG）之基本物理模型與數學推導。核心考點包含：

1. 電阻抗幾何模型（圓柱導體定律）：導體電阻抗與長度成正比、與截面積成反比。若血液電導係數為 $a\ \mathrm{S/cm}$（電阻率 $\rho = \frac{1}{a}\ \Omega\cdot\mathrm{cm}$），則段長度為 $L$、截面積為 $A$ 之血管阻抗為： $Z = \frac{1}{a} \frac{L}{A}$
2. 圓柱幾何體積關係：管內血流體積 $V = A \cdot L$。
3. 小訊號線性化近似：心動週期引起之血管擴張為微小變化（$\Delta A \ll A$ 或 $\Delta V \ll V$），可利用一階微分或並聯導體模型（Nyboer 公式）推導 $\Delta Z$ 與 $\Delta V$ 之間的線性關係。

解題方法

一、 合理假設（Assumptions）

在進行數學推導前，依據生醫量測工程之實務，需建立以下合理假設：

1. 均勻圓柱幾何假設：待測血管段視為長度為 $L$、截面積為 $A$ 之均勻圓柱體。
2. 等長軸向剛性假設（$\Delta L = 0$）：心臟搏動導致血流充盈時，血管壁之軸向受限，長度 $L$ 保持不變，體積變化完全源自管徑之徑向擴張（即 $\Delta V = L \Delta A$）。
3. 均勻電場假設：兩環狀／帶狀電極間的電場均勻分佈，等位面垂直於血管長軸，忽略邊緣效應（Fringe effect）。
4. 介質等向性與固定電導率：血液為均質且等向性（Isotropic）導體，在測量過程中電導係數 $a$ 視為定值（忽略血流剪切力造成的紅血球配向變化對導電度之微幅影響）。
5. 微小形變假設：血管截面積擴張量遠小於靜態截面積（$\Delta A \ll A$），高階項可省略。
6. 純電阻性近似：生醫阻抗量測之激勵交流訊號頻率通常落在 $20\ \mathrm{kHz} \sim 100\ \mathrm{kHz}$，血液之電抗（抗阻）成分遠小於純電阻，故測得之阻抗 $Z$ 視為純電阻 $R$。

二、 數學推導步驟

本題可採用「微分法」或「並聯導體模型法」推導，兩者推導皆嚴謹且結果完全一致：

方法一：微分法（Direct Differentiation）

1. 寫出初始血管段的阻抗式： $Z = \frac{1}{a} \frac{L}{A}$
2. 利用血管體積 $V = A \cdot L \implies A = \frac{V}{L}$，將 $A$ 代換至阻抗式中： $Z = \frac{1}{a} \frac{L}{\frac{V}{L}} = \frac{L^2}{a V}$
3. 因假設長度 $L$ 與電導係數 $a$ 固定，將 $Z$ 對體積 $V$ 進行全微分（或一階導數）： $\frac{dZ}{dV} = -\frac{L^2}{a V^2}$
4. 將原式之體積 $V = \frac{L^2}{a Z}$ 代入分母： $\frac{dZ}{dV} = -\frac{L^2}{a \left(\frac{L^2}{a Z}\right)^2} = -\frac{L^2}{a} \cdot \frac{a^2 Z^2}{L^4} = -\frac{a Z^2}{L^2}$
5. 在微小變化量假設下（$\Delta V \ll V$），以增量差分 $\Delta Z$ 與 $\Delta V$ 近似微分項： $\Delta Z \approx -\frac{a Z^2}{L^2} \Delta V$ 整理成管內血流體積變化量 $\Delta V$ 與阻抗變化量 $\Delta Z$ 之關係式： $\Delta V \approx -\frac{L^2}{a Z^2} \Delta Z$

方法二：並聯導體模型（Parallel-Conductor Model / Nyboer 方程式）

核心觀念

1. 功能性餘氣容量（Functional Residual Capacity, FRC）之測量原理：

• $\text{FRC}$ 為受試者在正常平靜呼氣末期（end-expiratory level）仍滯留在肺部內的氣體總容積。
• 由於 $\text{FRC}$ 包含無法透過強制呼氣排出的餘氣量（Residual Volume, $\text{RV}$），無法使用一般的單純肺計量器（Spirometer）直接測得，臨床與醫工領域常透過閉合式或開放式氮氣清除法（Nitrogen Washout Method）​進行間接測量。

2. 氮氣質量／莫耳數守恆定律（Conservation of Mass / Moles）：

• 假設系統處於理想狀況，不考慮血液組織中的氮氣交換與水蒸氣分壓影響，受試者肺部在實驗過程中所減少的氮氣分子莫耳數（$\Delta n_{N_2,\text{lung}}$），必然完全等於排入肺功能測量裝置中所收集到的氮氣分子莫耳數（$n_{N_2,\text{spirometer}}$）： $\Delta n_{N_2,\text{lung}} = n_{N_2,\text{spirometer}}$

3. 理想氣體狀態方程式與溫度校正（Charles's Law / Ideal Gas Law）：

• 氣體狀態方程式為 $P V = n R T$。
• 肺部氣體處於受試者體溫狀態（$T_1 = 37^\circ\mathrm{C} = 310.15\text{ K}$）；肺功能測量裝置內部則處於儀器溫度狀態（$T_2 = 30^\circ\mathrm{C} = 303.15\text{ K}$）。在定壓環境下，氣體莫耳數與容積、絕對溫度成比例： $n = \frac{P \cdot V}{R \cdot T}$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件與狀態參數

• 肺部狀態（體溫條件）：

• 溫度：$T_1 = 37^\circ\mathrm{C} = 37 + 273.15 = 310.15\text{ K}$

• 氮氣分量比率變化量：$\Delta F_{N_2,\text{lung}} = 0.1$

• 待測容積：$\text{FRC}$

• 肺功能測量裝置狀態（儀器條件）：

• 溫度：$T_2 = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273.15 = 303.15\text{ K}$

• 實驗前裝置內部體積：$V_0 = 7\text{ L}$（且無氮氣，$F_{N_2,0} = 0$）

• 實驗過程中受試者吐入之氣體體積：$\Delta V = 5\text{ L}$

• 實驗結束時裝置內氣體總體積： $V_{\text{sp}} = V_0 + \Delta V = 7\text{ L} + 5\text{ L} = 12\text{ L}$

• 實驗結束時裝置內氮氣分量比率：$F_{N_2,\text{sp}} = 0.026$

步驟二：建立氮氣莫耳數平衡方程式

1. 肺部釋出之氮氣莫耳數：

核心觀念

本題考查醫學工程領域中「容積式輸液幫浦（Positive Displacement Infusion Pump）」與「步進馬達開迴路控制（Stepper Motor Open-Loop Control）」的機電整合計算，核心觀念包含：

1. 滾軸式蠕動幫浦原理（Roller / Peristaltic Pump）： 藉由滾軸公轉完全擠壓彈性輸液管（occlusion），以封閉容積向前推進液體。每轉過一定弧長，排出的液體體積等於導管內管截面積與推進弧長之乘積。
2. 步進馬達步進角與幾何運動關係： 輸入單一脈波（pulse），馬達產生固定步進角 $\Delta \theta$。滾軸沿圓周推進之弧長 $\Delta s$ 為： $\Delta s = R \cdot \Delta \theta$ （其中 $\Delta \theta$ 必須使用弧度（$\mathrm{rad}$）​為單位）。
3. 管路截面積與單脈波排量： 導管內截面積為 $A = \frac{\pi d^2}{4}$，每輸入一脈波所推進的排液容積 $\Delta V$ 為： $\Delta V = A \cdot \Delta s = \frac{\pi d^2}{4} \cdot (R \cdot \Delta \theta)$
4. 定速流量與脈波頻率關係： 若設定輸出流量為 $Q$（$\mathrm{mL/min}$），則每分鐘所需之脈波數 $f$（$\text{pulses/min}$）為： $f = \frac{Q}{\Delta V}$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件與單位統一

• 步進馬達每脈波轉動角度：$\theta = 2^\circ = 2 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90}\ \mathrm{rad}$
• 滾軸轉動半徑：$R = 4\ \mathrm{cm}$
• 輸液導管內徑：$d = 0.5\ \mathrm{cm}$
• 目標輸液流量：$Q = 0.5\ \mathrm{mL/min} = 0.5\ \mathrm{cm^3/min}$（因 $1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3}$）

步驟二：計算導管內截面積 $A$

導管管腔截面積為： $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times (0.5\ \mathrm{cm})^2}{4} = \frac{0.25\pi}{4}\ \mathrm{cm^2} = \frac{\pi}{16}\ \mathrm{cm^2}$

步驟三：計算單一脈波帶動滾軸推進之弧長 $\Delta s$

步進馬達轉動 $2^\circ$ 時，滾軸沿輸液管擠壓推進的距離為： $\Delta s = R \cdot \theta = 4\ \mathrm{cm} \times \frac{\pi}{90}\ \mathrm{rad} = \frac{2\pi}{45}\ \mathrm{cm}$

步驟四：計算單一脈波之排液體積 $\Delta V$

因導管完全受擠壓閉合且無回流，單一脈波注入之液體容積為： $\Delta V = A \cdot \Delta s = \left(\frac{\pi}{16}\ \mathrm{cm^2}\right) \times \left(\frac{2\pi}{45}\ \mathrm{cm}\right) = \frac{\pi^2}{360}\ \mathrm{cm^3} = \frac{\pi^2}{360}\ \mathrm{mL}$

步驟五：計算每分鐘所需脈波數 $f$

欲達成 $Q = 0.5\ \mathrm{mL/min}$ 之定速注入，每分鐘所需輸入之脈波數為：

核心觀念

本題測驗醫學儀表之熱稀釋法（Thermodilution method）測量心臟輸出量（Cardiac Output, CO）之生理量測推導。 其核心原理為指示劑稀釋原理（Indicator Dilution Principle）​結合熱力學熱量守恆定律（Conservation of Thermal Energy），即著名的史都華－漢彌頓方程式（Stewart-Hamilton Equation）​在熱敏量測上的具體應用：

1. 指示劑吸熱量：注入低溫生理食鹽水，由注入溫度升溫至人體體溫過程中所吸收的熱量。
2. 血液放熱量：血流因與低溫指示劑充分混合，在量測時間內使血液降溫所釋放的總熱量。
3. 熱量平衡：在理想絕熱狀況（無外界熱交換、無導管壁熱損失）且完全混合的條件下，注入液吸收的總熱量等於血液釋出的總熱量。

解題方法

設心臟輸出量（血液體積流率）為 $F$（單位：$\text{cm}^3/\text{s}$）。推導步驟如下：

步驟一：計算注入生理食鹽水所吸收的熱量（$\Delta Q_i$）

生理食鹽水體積為 $V$、密度為 $\rho_i$，其注入質量為： $m_i = \rho_i \cdot V$

生理食鹽水溫度為 $T_i$，在體內升溫至體溫 $T_b$，其比熱為 $c_i$。在理想均勻混合下，食鹽水由 $T_i$ 上升至 $T_b$ 所吸收的熱量為： $\Delta Q_i = m_i \cdot c_i \cdot (T_b - T_i) = \rho_i c_i V (T_b - T_i)$

步驟二：計算血液釋出的總熱量（$\Delta Q_b$）

在微小時間區間 $dt$ 內，流經量測點（肺動脈熱敏電阻端）的血液體積為 $dV = F \cdot dt$。 對應的血液質量為： $dm_b = \rho_b \cdot dV = \rho_b \cdot F \cdot dt$

此微小體積的血液相較於基準體溫 $T_b$ 產生了溫度降 $\Delta T_b(t)$。因此在 $dt$ 時間內，血液釋出給冷指示劑的微小熱量為： $dQ_b = dm_b \cdot c_b \cdot \Delta T_b(t) = \rho_b c_b F \Delta T_b(t) dt$

由注入起始經過 $t_1$ 時間，血液釋出的總熱量為各時段熱量之積分： $\Delta Q_b = \int_0^{t_1} \rho_b c_b F \Delta T_b(t) dt$

因心臟輸出量 $F$、血液密度 $\rho_b$ 及血液比熱 $c_b$ 在該量測週期內視為常數，可提至積分符號外： $\Delta Q_b = \rho_b c_b F \int_0^{t_1} \Delta T_b(t) dt$

步驟三：由熱平衡求解心臟輸出量 $F$

在理想無熱損失的狀況下，指示劑吸收的熱量完全來自於血液釋出的熱量： $\Delta Q_i = \Delta Q_b$

核心觀念

• 準確度（accuracy）：量測結果接近真值的程度。本題真值為 $120.0\ \mathrm{mmHg}$，可用量測平均值與真值的差距判斷。
• 精確度（precision）：重複量測結果彼此集中、分散的程度。本題以標準差衡量；標準差愈小，精確度愈高。

解題方法

令壓力值為 $x_i$、對應頻次為 $f_i$。每台量測 $N=30$ 次，加權平均值為：

本題以這 30 次量測資料計算標準差：

準確度則比較平均偏差：

• A 廠牌

平均偏差為 $-1.00\ \mathrm{mmHg}$，偏差絕對值為 $1.00\ \mathrm{mmHg}$。

• B 廠牌