109 高普考高考三級 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

半導體晶體結構可從兩個層次比較：

1. 布拉菲晶格與基底：晶格描述週期性排列；基底是附著在每個晶格點上的原子。
2. 最近鄰排列與堆疊方式：比較原子配位數、最近鄰距離及密排層的堆疊順序。

本題所稱三種結構，通常指鑽石結構、閃鋅礦結構與纖鋅礦結構；纖鋅礦是六方晶系常見的半導體結構。

解題方法與結構圖

一、鑽石結構（Diamond cubic）

鑽石結構可視為面心立方（FCC）布拉菲晶格加上兩個相同原子的基底：

以立方晶胞座標表示，FCC 晶格點包括立方體八個角與六個面心；每個晶格點再配置上述兩個同種原子。以下為結構示意，未按比例繪製：

 ●──────●
 /│ /│
 ●──────● │
 │ ○ │ ●
 │ ●────│─●
 │/ │/
 ●──────●

圖中立方晶胞外框及其面心位置代表 FCC 排列；●、○用來示意兩個互相位移的原子子晶格。精確位置以基底座標為準。

每個原子有 4 個最近鄰，排列成正四面體。相鄰密排層沿立方方向呈 ABCABC… 堆疊。矽、鍺是典型例子。

二、閃鋅礦結構（Zinc blende）

閃鋅礦結構的幾何排列與鑽石結構相同，也是FCC 晶格加上位移向量為 $\left(\frac14,\frac14,\frac14\right)$ 的兩個子晶格；差別是兩個子晶格由不同種類的原子占據：

 A──────A
 /│ /│
 A──────A │
 │ B │ A
 │ A────│─A
 │/ │/
 A──────A

圖中只示意兩套互相位移的子晶格；各子晶格包含的晶格點不只圖示位置。每個 A 原子有 4 個 B 最近鄰；每個 B 原子也有 4 個 A 最近鄰，配位幾何同樣為正四面體。砷化鎵、磷化銦等常見 III-V 族化合物具有此結構。

核心觀念

磷是矽的五價施體雜質，摻入矽後提供自由電子，使矽成為 n 型半導體。室溫下假設施體完全游離，且材料為非簡併半導體，則可用電中性條件與質量作用定律求電子、電洞濃度：

費米能階相對於本質能階的位置則由下式求得：

解題方法

已知磷施體濃度 $N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$，而 $n_i=9.65\times10^9\ \mathrm{cm^{-3}}$。因為 $N_D\gg n_i$，多數載子電子濃度約等於施體濃度。更精確地，由 $n-p=N_D$ 與 $np=n_i^2$ 得：

再由質量作用定律計算少數載子電洞濃度：

於室溫 $T\approx300\ \mathrm{K}$，$kT\approx0.02585\ \mathrm{eV}$，因此：

核心觀念

本題考查半導體中的載子連續方程式，也就是載子守恆定律在半導體中的表示。對 $p$-type 半導體，主要追蹤少數載子電子濃度 $n$ 的變化：電子濃度會因空間上的電流流入或流出、載子產生與復合而改變。

令 $n(x,t)$ 為電子濃度，$J_n$ 為電子電流密度，$G_n$ 為電子產生率，$R_n$ 為電子復合率，則一維連續方程式為

其中 $q$ 為基本電荷量的正值。若以電子過剩濃度 $\Delta n=n-n_0$ 表示，且處於低注入條件，則復合項常寫成 $\Delta n/\tau_n$，因此

此處 $n_0$ 為熱平衡電子濃度，$\tau_n$ 為少數載子電子的平均壽命。

解題方法

先套用「載子累積量＝電流造成的淨流入量＋產生量－復合量」的守恆觀念，再將各項以單位體積表示。對電子而言，電流散度項的符號為正：電子電流密度 $J_n$ 沿 $+x$ 方向增加，代表該處電子的淨流入增加，因此使電子濃度上升。

若考慮電場與濃度梯度，電子電流密度為

其中 $\mu_n$ 是電子遷移率，$D_n$ 是電子擴散係數，$E$ 是電場。代入連續方程式，得到

若 $\mu_n$、$D_n$ 與 $E$ 為常數，則可展開為

這個形式顯示電子濃度會受到漂移、擴散、產生與復合共同影響。

核心觀念

本題考查表面複合如何改變少數載子濃度分布。以均勻摻雜的 n 型半導體為例，少數載子是電洞，其平衡濃度為

表面複合會消耗表面附近的過量電洞，使表面處的電洞濃度低於半導體內部；往材料內部移動時，濃度逐漸回到體內的穩態值。圖中應同時標出平衡濃度 $p_{n0}$，並說明少數載子壽命 $\tau_p$ 與擴散長度 $L_p$ 的關係：

其中 $D_p$ 為電洞擴散係數。$\tau_p$ 是體內少數載子的平均壽命，表示過量載子因複合而衰減的時間尺度。

解題方法與濃度分布圖

令 $x=0$ 為半導體表面，$x>0$ 為材料內部；以均勻產生過量電洞的穩態情況說明，設 $\Delta p(x)=p_n(x)-p_{n0}$，體內穩態過量濃度為 $\Delta p_\infty$。在表面複合下，分布可表示為

其中 $S$ 為表面複合速度。此式顯示：表面處的濃度較低，往內部則以約 $L_p$ 的距離尺度逐漸接近體內濃度 $p_{n0}+\Delta p_\infty$。

核心觀念

這題考查 PN 接面二極體的空間電荷、空乏區，以及由兩側摻雜濃度求內建電壓。空間電荷主要來自接面附近的固定離化雜質離子；空乏區則是接面附近自由電子與電洞大幅減少、因而留下這些固定離子電荷的區域。

定義與解題方法

P 型與 N 型半導體接合後，電子由 N 側向 P 側擴散，電洞由 P 側向 N 側擴散，並在接面附近復合。電子、電洞離開後，P 側留下帶負電的受體離子，N 側留下帶正電的施體離子。這些固定電荷構成空間電荷；載子被大幅耗盡的接面區域稱為空乏區。

在熱平衡下，空間電荷形成的內建電場會阻止載子繼續擴散。內建電壓為

其中 $k$ 為波茲曼常數、$T$ 為絕對溫度、$q$ 為基本電荷量，$n_i$ 為本質載子濃度。題目未指定材料與溫度，以下採用室溫矽二極體的常用假設：$T=300\ \mathrm{K}$、$n_i\approx 10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$。

計算

核心觀念

本題考查離子佈植時，晶體方向與離子入射方向對摻雜分布的影響。單晶半導體具有規則排列的原子列與晶面，若離子沿特定晶向入射，可能沿原子間距較大的方向深入晶體，形成通道效應（channeling）。

一般以晶圓表面法線為基準描述植入角度：垂直植入的入射角為 $0^\circ$；傾斜植入則讓離子束與表面法線形成非零角度，常搭配方位角旋轉，以避開晶格通道方向。

解題方法與比較

判斷兩種植入方式的差異，可從通道效應、深度分布、側壁覆蓋與製程用途比較：

核心觀念

**磊晶成長（epitaxy）**是以單晶基板作為晶格排列模板，在基板表面沉積材料，使新生薄膜的晶向與基板晶向保持固定關係，形成單晶薄膜的製程。磊晶層可與基板為相同材料，也可為不同材料。

若磊晶層與基板的材料不同，稱為異質磊晶成長（heteroepitaxy）。例如在藍寶石基板上成長氮化鎵，或在矽基板上成長鍺矽。異質材料組合可提供單一材料難以兼具的能隙、載子傳輸、光學或熱特性，因此可用於高速元件、光電元件、雷射與異質接面元件。

解題方法

本題依序回答三件事：先界定磊晶成長，再說明異質磊晶的用途，最後列出異質磊晶形成高品質薄膜所需的條件。判斷條件時，核心是看新生薄膜能否沿著基板表面規則成核並延續單晶排列。

異質磊晶通常須考慮下列條件：

1. 晶格匹配良好 薄膜與基板的晶格常數愈接近，界面應變與差排愈少。晶格不匹配率常寫為 $f=\frac{a_f-a_s}{a_s}$ 其中 $a_f$、$a_s$ 分別為薄膜與基板的晶格常數。$|f|$ 愈小，通常愈有利於低缺陷成長；若失配較大，薄膜可能產生差排、裂縫或島狀成長。適當選擇晶向、晶格常數相近的材料，或採用緩衝層，可改善失配造成的問題。

核心觀念

本題考查發光二極體（LED）的電致發光機制，以及正向偏壓時主要的發光區域。LED 將電能轉換為光能，關鍵過程是電子與電洞在半導體內發生輻射性復合，並以光子的形式釋出能量。

光子能量約等於半導體能隙 $E_g$，因此發光波長為

其中 $h$ 為普朗克常數、$\nu$ 為光頻率、$c$ 為光速、$\lambda$ 為波長。能隙越大，發出的光波長越短。

解題方法

LED 接上正向偏壓後，位障降低，電子由 n 型區注入 p 型區，電洞則由 p 型區注入 n 型區。這些少數載子進入接面附近後相遇並復合；若復合時的能量以光子釋出，即為輻射性復合，形成 LED 的發光。

核心觀念

本題考異質接面的能帶排列與熱平衡。圖中材料 1 的能隙 $E_{g1}$ 大於材料 2 的 $E_{g2}$；材料 1 的導帶底 $E_{C1}$ 高於材料 2 的 $E_{C2}$，價帶頂 $E_{V1}$ 低於材料 2 的 $E_{V2}$。因此，接面兩側的能帶會在界面產生不連續的能帶位差：導帶位差為 $\Delta E_C$，價帶位差為 $\Delta E_V$。

圖中材料 1 的費米能階靠近導帶，呈 n 型；材料 2 的費米能階靠近價帶，呈 p 型。材料 1 的功函數 $\phi_{s1}$ 小於材料 2 的功函數 $\phi_{s2}$，兩者接觸後，電子由材料 1 移向材料 2，直到達到熱平衡。

解題方法

先依圖辨認兩種材料未接觸時的能帶位置，再畫出接面形成後的兩個特徵：

1. **費米能階對齊：**熱平衡時，整個異質接面的費米能階 $E_F$ 必須為同一條水平線。
2. **保留能帶位差：**材料交界處仍有導帶與價帶的能量不連續。依圖示的能帶排列，從材料 1 進入材料 2 時，導帶向下跳 $\Delta E_C$，價帶向上跳 $\Delta E_V$。
3. **加入能帶彎曲：**電子由材料 1 移向材料 2 後，材料 1 接面附近留下帶正電的離化施體，材料 2 接面附近帶負電。接面附近的能帶因此彎曲；此處只需畫出定性彎曲，圖中沒有提供足以計算彎曲幅度的摻雜與接面參數。

核心觀念

本題考查金屬／氧化層／半導體（MOS）電容的能帶圖，以及閘極電壓對 p 型基板表面載子的影響。電壓以金屬閘極相對於接地的半導體為準；圖中的 $V$ 接在金屬端，半導體歐姆接點接地。

熱平衡時，整個結構的費米能階 $E_F$ 必須對齊。半導體功函數為

金屬與半導體的功函數差會造成內建電位。若閘極電壓為 $V_G$，平帶電壓為

若忽略氧化層固定電荷，則 $V_{\mathrm{FB}}=\phi_m-\phi_s$。半導體表面電位約為 $\psi_s=V_G-V_{\mathrm{FB}}-V_{\mathrm{ox}}$，其正負決定能帶彎曲方向。

解題方法

先畫出金屬、氧化層與 p 型矽的能帶排列：金屬與矽內的 $E_F$ 對齊；氧化層能帶以電子親和力 $q\chi_i$ 表示，矽能帶以 $q\chi$ 表示；矽的 $E_F$ 位於 $E_V$ 附近，呈 p 型。外加偏壓時，氧化層內能帶傾斜，矽側能帶則隨表面電位彎曲。

偏壓下矽側的三種狀態如下：