107 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

1. 有限母體不置回簡單隨機抽樣（SRSWOR）之對稱性（Symmetry / Exchangeability）： 在母體個數為 $N$ 的不置回簡單隨機抽樣中，抽出的樣本序列 $(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)$ 具有可交換性。

• 任何單一抽樣位置 $Y_k$（$k = 1, \dots, n$）的邊際機率分佈，均與母體分佈完全相同： $E(Y_k) = \mu, \quad \mathrm{Var}(Y_k) = \sigma^2$
• 任何兩個不同位置的隨機變數對 $(Y_j, Y_k)$（$j \neq k$），其二維聯合機率分佈均相同，等於自母體中任取兩相異元素之均等排列機率，即每對相異母體元素被選為 $(Y_j, Y_k)$ 的機率皆為 $\frac{1}{N(N-1)}$。

2. 母體參數定義：

• 母體平均數： $\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$
• 母體變異數： $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (y_i - \mu)^2$
• 母體無偏變異數（修正變異數）： $S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i - \mu)^2 = \frac{N}{N-1}\sigma^2$

3. SRSWOR 下樣本元素間之共變異數公式： 對於任意相異抽樣位置 $j \neq k$（與樣本大小 $n$ 及位置 $j, k$ 無關）： $\mathrm{Cov}(Y_j, Y_k) = -\frac{\sigma^2}{N-1} = -\frac{S^2}{N}$

---

解題方法

一、母體基本參數計算

母體大小 $N = 4$，研究變數值為 $y_1=1, y_2=3, y_3=3, y_4=9$。

1. 母體平均數： $\mu = \frac{1 + 3 + 3 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
2. 母體離差平方和： $\sum_{i=1}^4 (y_i - \mu)^2 = (1-4)^2 + (3-4)^2 + (3-4)^2 + (9-4)^2 = 9 + 1 + 1 + 25 = 36$
3. 母體變異數： $\sigma^2 = \frac{36}{4} = 9, \quad S^2 = \frac{36}{4-1} = 12$

---

二、第 (一) 小題求解

1. 求 $Y_1$ 與 $Y_2$ 的聯合機率分佈

不置回抽出 $n=2$ 個樣本，依抽取順序共有 $P_2^4 = 4 \times 3 = 12$ 種等可能的抽出結果，每一種排列發生的機率皆為 $\frac{1}{12}$。

各抽樣結果對應的數值對 $(Y_1, Y_2)$ 列舉如下：

• 抽取 $(u_1, u_2) \implies (1, 3)$
• 抽取 $(u_1, u_3) \implies (1, 3)$
• 抽取 $(u_1, u_4) \implies (1, 9)$
• 抽取 $(u_2, u_1) \implies (3, 1)$
• 抽取 $(u_2, u_3) \implies (3, 3)$
• 抽取 $(u_2, u_4) \implies (3, 9)$
• 抽取 $(u_3, u_1) \implies (3, 1)$
• 抽取 $(u_3, u_2) \implies (3, 3)$
• 抽取 $(u_3, u_4) \implies (3, 9)$
• 抽取 $(u_4, u_1) \implies (9, 1)$
• 抽取 $(u_4, u_2) \implies (9, 3)$
• 抽取 $(u_4, u_3) \implies (9, 3)$

合併相同數值對，計算其聯合機率 $P(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2)$：

• $P(Y_1=1, Y_2=1) = 0$
• $P(Y_1=1, Y_2=3) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
• $P(Y_1=1, Y_2=9) = \frac{1}{12}$
• $P(Y_1=3, Y_2=1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
• $P(Y_1=3, Y_2=3) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
• $P(Y_1=3, Y_2=9) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
• $P(Y_1=9, Y_2=1) = \frac{1}{12}$
• $P(Y_1=9, Y_2=3) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
• $P(Y_1=9, Y_2=9) = 0$

將上述結果整理為聯合機率分佈表：

$Y_1 \ \backslash \ Y_2$	$1$	$3$	$9$	邊際機率 $P(Y_1)$
$1$	$0$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$
$3$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$
$9$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$0$	$\frac{1}{4}$
邊際機率 $P(Y_2)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$1$

---

2. 求 $Y_1$ 與 $Y_2$ 的共變異數 $\mathrm{Cov}(Y_1, Y_2)$

由邊際機率可得： $E(Y_1) = 1 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{4} = 4$ $E(Y_2) = 1 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{4} = 4$

核心觀念

本題為公職高普考「抽樣方法」的經典核心題型，綜合評量考生對於**分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）**之數理基礎、推估原理、抽樣設計與進階延伸技術的掌握程度。各小題核心觀念如下：

1. 母體變異數之層次分解（Variance Decomposition）： 母體總變異數 $\sigma^2$ 可完全分解為「層內變異數加權和」（Within-stratum variance）與「層間變異數加權和」（Between-stratum variance）。此為分層抽樣之所以能提高估計精確度（降低估計量變異數）的數理基石。
2. 分層隨機抽樣之母體平均數推估量與基本假設： 採用加權平均推估量 $\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h$。該估計量具不偏性，但成立的前提依賴於母體分割的完備性、抽樣底冊的健全性、已知母體層比重 $W_h$ 以及層間抽樣的獨立性。
3. 事後分層（Post-stratification）之機制與樣本配置： 事後分層是在抽樣後才依輔助變數進行分類歸層，各層樣本數 $n_h$ 為隨機變數，抽樣前無法也不需指定任何固定配置（如比例配置或尼曼配置），但在期望值意義下其自動逼近比例配置。
4. 雙重抽樣（Double Sampling for Stratification / Two-phase Sampling）： 當母體缺乏分層名冊資訊或母體層比重 $W_h$ 未知，且主要變數測量昂貴、分層輔助變數測量廉價時，藉由第一階段大樣本估計層比重，第二階段抽取子樣本測量目標變數。

---

解題方法

(一) 母體變異數分解式之數學推導

切入點： 將單一元素與總平均之離差 $(y_{hj} - \mu)$ 拆解為「元素對層平均之離差」與「層平均對總平均之離差」兩部分，即：

$$y_{hj} - \mu = (y_{hj} - \mu_h) + (\mu_h - \mu)$$

兩邊平方後展開求和，證明交叉項之和為零。

關鍵推導步驟：

1. 平方展開：

$$(y_{hj} - \mu)^2 = \left[ (y_{hj} - \mu_h) + (\mu_h - \mu) \right]^2 = (y_{hj} - \mu_h)^2 + (\mu_h - \mu)^2 + 2(y_{hj} - \mu_h)(\mu_h - \mu)$$

2. 對第 $h$ 層內的所有元素 $j=1, 2, \ldots, N_h$ 進行求和：

$$\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu)^2 = \sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h)^2 + \sum_{j=1}^{N_h}(\mu_h - \mu)^2 + 2(\mu_h - \mu)\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h)$$

3. 檢視交叉乘積項： 根據第 $h$ 層層平均數之定義 $\mu_h = \frac{1}{N_h}\sum_{j=1}^{N_h}y_{hj}$，可知 $\sum_{j=1}^{N_h}y_{hj} = N_h \mu_h$。因此：

$$\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h) = \sum_{j=1}^{N_h}y_{hj} - N_h\mu_h = N_h\mu_h - N_h\mu_h = 0$$

故交叉乘積項總和恆等於零：

$$2(\mu_h - \mu)\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h) = 0$$

4. 簡化第 $h$ 層之平方和： 第二項 $(\mu_h - \mu)^2$ 與指標 $j$ 無關，累加 $N_h$ 次後為 $N_h(\mu_h - \mu)^2$。又由層變異數定義 $\sigma_h^2 = \frac{1}{N_h}\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h)^2$，得 $\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu_h)^2 = N_h \sigma_h^2$。故：

$$\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu)^2 = N_h \sigma_h^2 + N_h(\mu_h - \mu)^2$$

5. 對所有層別 $h=1, 2, \ldots, L$ 求和：

$$\sum_{h=1}^{L}\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu)^2 = \sum_{h=1}^{L}N_h \sigma_h^2 + \sum_{h=1}^{L}N_h(\mu_h - \mu)^2$$

6. 兩邊同除以母體大小 $N$：

$$\frac{1}{N}\sum_{h=1}^{L}\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj} - \mu)^2 = \sum_{h=1}^{L}\frac{N_h}{N}\sigma_h^2 + \sum_{h=1}^{L}\frac{N_h}{N}(\mu_h - \mu)^2$$

代入母體變異數 $\sigma^2$ 與層比重 $W_h = \frac{N_h}{N}$，即得證：

$$\sigma^2 = \sum_{h=1}^{L}W_h \sigma_h^2 + \sum_{h=1}^{L}W_h(\mu_h - \mu)^2$$

---

(二) 分層隨機抽樣之母體平均數推估量與假設條件

1. 母體平均數之推估方法

在分層隨機抽樣下，若各層皆採簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling without replacement, SRSWOR），抽取樣本數分別為 $n_1, n_2, \ldots, n_L$：

• 點估計量（分層樣本平均數 $\bar{y}_{st}$）：

$$\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} W_h \bar{y}_h$$

其中 $W_h = \frac{N_h}{N}$ 為已知的第 $h$ 層母體比重，$\bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{j=1}^{n_h}y_{hj}$ 為第 $h$ 層的樣本平均數。

• 不偏性證明： 由於層內為簡單隨機抽樣，$E(\bar{y}_h) = \mu_h$，由期望值線性性質：

$$E(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L}W_h E(\bar{y}_h) = \sum_{h=1}^{L}W_h \mu_h = \frac{1}{N}\sum_{h=1}^{L}N_h \left(\frac{1}{N_h}\sum_{j=1}^{N_h}y_{hj}\right) = \mu$$

故 $\bar{y}_{st}$ 為母體平均數 $\mu$ 之不偏估計量。

• 估計量變異數及其不偏估計式： 各層抽樣獨立進行，故：

$$V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L}W_h^2 V(\bar{y}_h) = \sum_{h=1}^{L}W_h^2 \left(\frac{N_h - n_h}{N_h}\right)\frac{S_h^2}{n_h}$$

其中 $S_h^2 = \frac{1}{N_h - 1}\sum_{j=1}^{N_h}(y_{hj}-\mu_h)^2$。 變異數的不偏估計式為：

$$v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L}W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h}$$

其中 $s_h^2 = \frac{1}{n_h - 1}\sum_{j=1}^{n_h}(y_{hj}-\bar{y}_h)^2$ 為各層樣本變異數。

2. 所需假設條件（Assumptions）

1. 母體分割的互斥性與完備性（Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive）： 母體的所有元素必須能夠被清楚、不重複且不遺漏地分配至 $L$ 個層別中，即 $\bigcup_{h=1}^L \text{Stratum}_h = \text{Population}$ 且任兩層交集為空集合。
2. 各層母體大小（層比重）已知且正確： 抽樣者必須事先精確知曉各層母體數 $N_h$（或層比重 $W_h$）。若 $N_h$ 未知或錯誤，將導致權數偏差，無法建構不偏估計量。
3. 層間抽樣之獨立性（Independence across Strata）： 各層之間的樣本抽取過程必須各自獨立運作，互不影響。
4. 層內採已知的機率抽樣設計： 各層內部必須嚴格執行機率抽樣（標準狀況為無放回簡單隨機抽樣 SRSWOR），保證每個元素具有已知的非零入樣機率。
5. 樣本配置有效性： 各層所抽取的樣本數必須滿足 $n_h \ge 1$ 以進行點估計；若需估計估計量之變異數，則各層樣本數必須滿足 $n_h \ge 2$ 且 $n_h \le N_h$。

---

(三) 事後分層（Post-stratification）與事前樣本配置之關係

1. 明確結論

不需要，抽樣者在使用事後分層方法之前，絕對不需要、也根本「不可能」事先決定採用何種配置方式。

2. 詳細理由說明

1. 抽樣設計機制的根本不同：

• 常規分層隨機抽樣：抽樣「前」母體底冊中已具有分層標籤，抽樣者可在抽樣前依特定目標函數指定固定常數 $n_1, n_2, \ldots, n_L$（例如比例配置 $n_h = n W_h$、尼曼配置 $n_h = n \frac{W_h S_h}{\sum W_k S_k}$）。

核心觀念

1. 比值估計法（Ratio Estimation）之原理： 比值估計旨在利用目標變數（$y$）與一個具有高度正線性相關、且回歸線近似通過原點的輔助變數（$x$），藉由已知的母體輔助變數總和 $X$（或母體平均數 $\mu_x$），來校正樣本估計值，以提升估計的精確度（降低估計量之變異數）。
2. 破壞性檢驗的應用場景： 測量椰子汁重量 $y$ 必須將椰子剖開，屬於破壞性檢驗，無法對全車椰子逐一測量；而椰子剖開前的整顆重量 $x$ 屬於非破壞性變數，易於秤重，且整卡車椰子的總重量 $X$ 可藉由地磅整車稱重（毛重減空車重）輕易取得。
3. 符號與定義：

• 母體大小 $N$：整輛卡車裝載的椰子總顆數。
• 樣本大小 $n = 10$：以不置回簡單隨機抽樣（SRSWOR）抽出的椰子數。
• $y_i$：第 $i$ 顆被抽出椰子剖開後的「椰子汁重量」（目標變數）。
• $x_i$：第 $i$ 顆被抽出椰子剖開前的「整顆椰子重量」（輔助變數）。
• $X = \sum_{i=1}^N x_i$：卡車上所有椰子剖開前的總重量（母體已知總和）。
• $Y = \sum_{i=1}^N y_i$：卡車上所有椰子剖開後的椰子汁總重量（待估計的母體總和）。

---

解題方法

一、 樣本數據之取得程序

水果商對抽出的 10 顆椰子，應依序執行以下測量程序以獲取成對數據 $(x_i, y_i)$：

1. 測量輔助變數（整顆重量 $x_i$）： 在尚未剖開椰子前，逐一秤量抽出的 10 顆椰子各自的總重量，記錄為 $x_1, x_2, \dots, x_{10}$。
2. 測量目標變數（椰子汁重量 $y_i$）： 將這 10 顆椰子分別剖開，將內含的椰子汁完全倒出並稱重，記錄各自的椰子汁重量為 $y_1, y_2, \dots, y_{10}$。
3. 彙整樣本統計量： 計算樣本中椰子汁與整顆椰子重量的樣本平均值與總和：

• 樣本汁重總和：$\sum_{i=1}^{10} y_i$（樣本平均汁重 $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} y_i$）
• 樣本總重總和：$\sum_{i=1}^{10} x_i$（樣本平均總重 $\bar{x} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i$）

二、 比值估計之執行程序

1. 取得母體輔助資訊 $X$： 將載滿椰子的卡車過地磅秤得總重（毛重），扣除卸貨後或出發前的卡車淨重（空車重），即可得知整輛卡車中所有椰子的剖開前總重量 $X$。
2. 計算樣本比值（$\hat{R}$）： 利用 10 顆樣本計算每單位整顆椰子重所含的椰子汁重量比率： $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{\sum_{i=1}^{10} x_i}$
3. 推估母體椰子汁總重量（$\hat{Y}_R$）： 將母體所有椰子的總重量 $X$，乘上樣本比值 $\hat{R}$，即得到全車椰子汁總重量的估計值。

核心觀念

本題考查抽樣調查理論中「輔助資訊（Auxiliary Information）的利用」以及「迴歸估計法（Regression Estimation）」的理論基礎。核心觀念包含：

1. 差額估計量與變異數最小化：利用輔助變數 $X$ 已知的母體平均數 $\bar{X}$，建構線性估計量 $\bar{y}_k = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$。使該估計量變異數達到最小的最優係數 $k^*$，恰為母體線性迴歸斜率 $\beta$。
2. 最小平方估計量（OLS）的代入：母體迴歸係數 $\beta = \frac{S_{xy}}{S_x^2}$ 通常未知，迴歸分析中的普通最小平方估計量（Ordinary Least Squares, OLS）$b = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ 恰為其不偏（或一致）估計量。
3. 加權最小平方（WLS）與比率估計量的統一：比率估計量可視為通過原點、誤差變異數正比於 $x_i$ 的加權最小平方估計特例。
4. 模型輔助抽樣（Model-assisted Survey Sampling）與廣義迴歸估計量（GREG）：在複雜抽樣設計下，結合設計權數與最小平方法，可建構具備設計一致性（Design-consistent）的 GREG 估計量。

---

解題方法

一、理論起點：輔助變數與最優線性估計量

設母體大小為 $N$，感興趣的目標變數為 $Y$（未知母體平均數 $\bar{Y}$），輔助變數為 $X$（已知母體平均數 $\bar{X}$）。自母體以簡單隨機不抽出放回抽樣（SRSWOR）抽出容量為 $n$ 的樣本，抽樣比 $f = n/N$。

考慮一類利用 $\bar{X}$ 修正樣本平均數 $\bar{y}$ 的線性估計量： $\bar{y}_k = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ 其中 $k$ 為任意預先給定的常數。因 $E(\bar{y}) = \bar{Y}$ 且 $E(\bar{x}) = \bar{X}$，對任意常數 $k$ 而言，$\bar{y}_k$ 皆為 $\bar{Y}$ 的不偏估計量，其變異數為： $V(\bar{y}_k) = V(\bar{y}) - 2k \operatorname{Cov}(\bar{y}, \bar{x}) + k^2 V(\bar{x}) = \left(\frac{1-f}{n}\right) \left( S_y^2 - 2k S_{xy} + k^2 S_x^2 \right)$ 其中 $S_y^2$、$S_x^2$ 分別為 $Y$ 與 $X$ 的母體變異數，$S_{xy}$ 為母體共變異數。

為求變異數最小，對 $k$ 微分並令其為 0： $\frac{\partial V(\bar{y}_k)}{\partial k} = \left(\frac{1-f}{n}\right) (-2S_{xy} + 2k S_x^2) = 0 \implies k^* = \beta = \frac{S_{xy}}{S_x^2}$ 此最優係數 $k^* = \beta$ 正是迴歸分析中母體線性迴歸模型的理論斜率。

---

二、最小平方估計量在抽樣理論中的四大可用之處與相關數學式

1. 估計最優斜率係數，建構基本線性迴歸估計量

由於母體參數 $S_{xy}$ 與 $S_x^2$ 未知，無法直接使用 $\beta$。迴歸分析課程中的最小平方估計量（OLS）提供了最佳樣本對應項： $b = \hat{\beta}_{OLS} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$

將 $b$ 代入後，得到抽樣調查中最經典的線性迴歸估計量（Linear Regression Estimator）： $\bar{y}_{lr} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})$ 估計母體總量時，則為： $\hat{Y}_{lr} = N \bar{y}_{lr} = N \left[ \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) \right]$

精度提升效果（大樣本近似變異數）： 利用泰勒展開式一階線性化近似，$\bar{y}_{lr}$ 的近似變異數為： $V(\bar{y}_{lr}) \approx \left(\frac{1-f}{n}\right) S_y^2 (1 - \rho^2)$ 其中 $\rho = \frac{S_{xy}}{S_x S_y}$ 為 $X$ 與 $Y$ 的母體相關係數。

• 當 $|\rho| > 0$ 時，$V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) = \left(\frac{1-f}{n}\right) S_y^2$。最小平方估計量保證了估計量變異數降至最低，顯著提高估計精度。
• 即使迴歸直線不通過原點，只要兩變數存在線性相關，最小平方迴歸估計量均能有效發揮效果。

---

2. 加權最小平方法（WLS）統一與推廣傳統比率估計量

比率估計量 $\bar{y}_R = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \bar{X} = \hat{R} \bar{X}$ 在抽樣中極為常用。從超母體模型（Superpopulation Model）觀點來看： $y_i = \beta x_i + \varepsilon_i, \quad E(\varepsilon_i \mid x_i) = 0, \quad V(\varepsilon_i \mid x_i) = \sigma^2 x_i$ 採用加權最小平方法（Weighted Least Squares, WLS），權數取變異數的倒數 $w_i = \frac{1}{x_i}$，最小化加權殘差平方和 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} (y_i - \beta x_i)^2$，所得之最小平方估計量為： $\hat{\beta}_{WLS} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \cdot x_i y_i}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \cdot x_i^2} = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \hat{R}$ 這證明了傳統比率估計量本質上就是異質變異數假設下的最小平方估計量特例。

核心觀念

本題評量**集群抽樣（Cluster Sampling）與二階段集群抽樣（Two-stage Cluster Sampling）**在估計「母體元素平均數（每位教師平均論文產量）」時的兩大核心架構：

1. 抽樣設計之層級劃分：

• 初級抽樣單位（Primary Sampling Unit, PSU）：學校科系（集群）。
• 次級抽樣單位（Secondary Sampling Unit, SSU）：科系內的專任教師（元素）。

2. 比值估計量（Ratio Estimator）與不偏估計量（Unbiased Estimator）之差異：

• 比值估計：適用於各集群大小（科系教師人數 $M_i$）不相等，且全體元素總數（全校專任教師總人數 $M$）未知或已知之情境。估計量具大樣本漸近不偏性。
• 不偏估計：在初級單位採等機率抽樣（SRSWOR）下，推估元素平均數必須已知全校專任教師總人數 $M$（或各系平均人數 $\bar{M} = M/N$），方能建構嚴格的無偏估計量。

---

解題方法

【符號定義】

在進行公式推導前，先統整標準母體與樣本統計量符號：

• $N$：全校科系總數（PSU 總數）。
• $M_i$：第 $i$ 個科系的專任教師總人數（第 $i$ 個集群大小），$i = 1, 2, \dots, N$。
• $M = \sum_{i=1}^N M_i$：全校專任教師總人數。
• $\bar{M} = \frac{M}{N}$：全校各科系之平均專任教師人數。
• $y_{ij}$：第 $i$ 個科系中第 $j$ 位專任教師在前一學年度發表的論文篇數。
• $y_i = \sum_{j=1}^{M_i} y_{ij}$：第 $i$ 個科系全體專任教師的論文發表總篇數。
• $Y = \sum_{i=1}^N y_i = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{M_i} y_{ij}$：全校專任教師發表的論文總篇數。
• 推估目標為全校每位專任教師的平均論文篇數： $\bar{Y} = \frac{Y}{M} = \frac{\sum_{i=1}^N y_i}{\sum_{i=1}^N M_i}$

---

(一) 二階段集群抽樣（Two-stage Cluster Sampling）

1. 比值估計（Ratio Estimation）

• 抽樣進行方式：

1. 第一階段（抽出科系）：自全校 $N$ 個科系中，以簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）抽出 $n$ 個科系。
2. 第二階段（抽出教師）：在被抽出的第 $i$ 個科系中（該系共有 $M_i$ 位專任教師），以簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）抽出 $m_i$ 位專任教師進行調查，記錄其論文篇數 $y_{ij}$（$j = 1, \dots, m_i$）。

• 推估方式與點估計量： 先計算第 $i$ 個入樣科系之樣本教師平均論文數 $\bar{y}_i = \frac{1}{m_i}\sum_{j=1}^{m_i} y_{ij}$，由此可得該系論文總量的不偏估計量 $\hat{y}_i = M_i \bar{y}_i$。 將母體每人平均產量視為「全校總產量 $Y$」對「全校教師總人數 $M$」的比值。以樣本總量估計式之比值建構估計量，此估計量不需要預先知道全校總教師人數 $M$： $\hat{\bar{Y}}_R = \frac{\hat{Y}}{\hat{M}} = \frac{\frac{N}{n} \sum_{i=1}^n \hat{y}_i}{\frac{N}{n} \sum_{i=1}^n M_i} = \frac{\sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i}{\sum_{i=1}^n M_i}$

2. 不偏估計（Unbiased Estimation）

• 抽樣進行方式： 抽樣步驟與上述相同：第一階段以 SRSWOR 自 $N$ 個科系抽出 $n$ 個科系；第二階段以 SRSWOR 自第 $i$ 個被抽中科系抽出 $m_i$ 位專任教師。
• 推估方式與點估計量： 必要前提為全校專任教師總人數 $M$（或平均每系教師人數 $\bar{M}$）為已知常數。 先以兩階段抽樣推估全校總論文篇數的不偏估計量 $\hat{Y}_{unb} = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n \hat{y}_i = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i$，再除以已知之 $M$： $\hat{\bar{Y}}_{unb} = \frac{\hat{Y}_{unb}}{M} = \frac{N}{n M} \sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i = \frac{1}{n \bar{M}} \sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i$
• 不偏性驗證： 利用逐次期望值法則（Law of Total Expectation）： $E[\hat{\bar{Y}}_{unb}] = \frac{1}{n \bar{M}} E_1 \left[ \sum_{i=1}^n M_i E_2(\bar{y}_i \mid i) \right] = \frac{1}{n \bar{M}} E_1 \left[ \sum_{i=1}^n y_i \right] = \frac{1}{n \bar{M}} \left( n \cdot \frac{Y}{N} \right) = \frac{Y}{M} = \bar{Y}$ 確實為不偏估計量。

---

(二) 單階段集群抽樣（Single-stage Cluster Sampling）

單階段集群抽樣即為第二階段普查的特例，此時對被抽出的科系中全體專任教師進行普查，即 $m_i = M_i$。

1. 比值估計（Ratio Estimation）

• 抽樣進行方式： 自全校 $N$ 個科系中，以簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）抽出 $n$ 個科系。

核心觀念

本題評量系統抽樣（Systematic Sampling, 1-in-$k$）與簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling, SRS）在推估母體平均數時的估計效率（Efficiency）比較，核心在於透過變異數分析（ANOVA）之變異量分解與**組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient, $\rho$）**進行嚴謹的數學推導，並結合實際母體排列結構進行實務探討。

1. 符號與架構設定

設母體大小為 $N$，抽出樣本數為 $n$，抽樣間隔為 $k$（假設 $N = nk$ 為整數）。母體單元可排成 $k$ 個大小為 $n$ 的互斥群體（即 $k$ 種可能的系統樣本）：

• $y_{ij}$：第 $i$ 個系統樣本中的第 $j$ 個觀測值（$i = 1, 2, \dots, k$；$j = 1, 2, \dots, n$）。
• $\bar{y}_{i\cdot} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_{ij}$：第 $i$ 個系統樣本的平均數。
• $\bar{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n y_{ij} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \bar{y}_{i\cdot}$：母體平均數。
• 母體變異數： $S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{Y})^2$
• 系統樣本內變異數（組內變異數）： $S_w^2 = \frac{1}{k(n-1)} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{y}_{i\cdot})^2$
• 組內相關係數 $\rho$：同一樣本內任兩單元之間的相關係數，定義為： $\rho = \frac{\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n \sum_{u \neq j}^n (y_{ij} - \bar{Y})(y_{iu} - \bar{Y})}{(n-1)(N-1)S^2}$

2. 估計式變異數

• 簡單隨機抽樣平均數之變異數： $V(\bar{y}_{srs}) = \frac{N-n}{N} \frac{S^2}{n}$
• 系統抽樣平均數之變異數（因隨機自 $1 \sim k$ 抽出一起始點，各樣本入選機率均為 $1/k$）： $V(\bar{y}_{sy}) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k (\bar{y}_{i\cdot} - \bar{Y})^2$

---

解題方法

推導系統抽樣優於簡單隨機抽樣（即 $V(\bar{y}_{sy}) < V(\bar{y}_{srs})$）的條件，可由組內變異數與組內相關係數兩種途徑切入，兩者互為表裡；最後再歸納出符合該數學條件的母體排列情境。

一、 理論條件推導

途徑一：利用組內變異數 $S_w^2$ 與母體變異數 $S^2$ 的關係

將母體總離均差平方和（SST）分解為樣本間平方和（SSB）與樣本內平方和（SSW）： $\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{Y})^2 = n \sum_{i=1}^k (\bar{y}_{i\cdot} - \bar{Y})^2 + \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{y}_{i\cdot})^2$

將定義代入： $(N-1)S^2 = n \cdot k \cdot V(\bar{y}_{sy}) + k(n-1)S_w^2 = N V(\bar{y}_{sy}) + k(n-1)S_w^2$

兩邊同除以 $N$（注意 $N = nk \implies \frac{k}{N} = \frac{1}{n}$）： $V(\bar{y}_{sy}) = \frac{N-1}{N} S^2 - \frac{n-1}{n} S_w^2$

又簡單隨機抽樣變異數可改寫為： $V(\bar{y}_{srs}) = \frac{N-n}{Nn} S^2 = \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{N}\right)S^2 = \left(\frac{N-1}{N} - \frac{n-1}{n}\right)S^2$

將兩者相減： $V(\bar{y}_{sy}) - V(\bar{y}_{srs}) = \left(\frac{N-1}{N} S^2 - \frac{n-1}{n} S_w^2\right) - \left(\frac{N-1}{N} S^2 - \frac{n-1}{n} S^2\right) = -\frac{n-1}{n}(S_w^2 - S^2)$

由上式可知，欲使系統抽樣優於簡單隨機抽樣： $V(\bar{y}_{sy}) < V(\bar{y}_{srs}) \iff S_w^2 > S^2$

• 統計意涵：抽出的系統樣本內部單元之分散程度（異質性）高於整個母體的分散程度。換言之，同一樣本內的各單元彼此高度「異質」，導致各個系統樣本之間的平均數彼此高度「同質」（樣本間變異 SSB 趨近於 0）。

途徑二：利用組內相關係數 $\rho$

考慮同一樣本內各單元離均差的平方和： $\left[\sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{Y})\right]^2 = \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{Y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{u \neq j}^n (y_{ij} - \bar{Y})(y_{iu} - \bar{Y}) = n^2 (\bar{y}_{i\cdot} - \bar{Y})^2$

對所有 $i = 1, \dots, k$ 求和： $(N-1)S^2 + (n-1)(N-1)S^2 \rho = n^2 \sum_{i=1}^k (\bar{y}_{i\cdot} - \bar{Y})^2 = n^2 \cdot k \cdot V(\bar{y}_{sy}) = n N V(\bar{y}_{sy})$

解出 $V(\bar{y}_{sy})$： $V(\bar{y}_{sy}) = \frac{N-1}{N} \frac{S^2}{n} [1 + (n-1)\rho]$