108 年高普考高考三級統計考古題與詳解

Question 1

臺灣地區有 525 家 IC 設計公司，其中有 5 家公司規模特大。為了估計臺灣地區 IC 設計產業的總員工人數 $Y$ ，除了將 5 家特大 IC 設計公司調查其員工人數得 $y_1,y_2,\ldots,y_5$ 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從剩餘的 520 家 IC 設計公司中抽出 20 家公司為樣本，調查其員工人數得 $y_6,\ldots,y_{25}$ 。

現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區 IC 設計公司之總員工人數 $Y$ ：

\widehat{Y}_1=\frac{525}{25}\sum_{i=1}^{25}y_i

\widehat{Y}_2=\sum_{i=1}^{5}y_i+\frac{520}{20}\sum_{i=6}^{25}y_i

（一）試證明 $\widehat{Y}_1$ 及 $\widehat{Y}_2$ 是否皆為 $Y$ 之不偏估計式。（6 分）

（二）請分別寫出 $\widehat{Y}_1$ 及 $\widehat{Y}_2$ 之均方誤差（Mean Square Error；MSE）的定義。（4 分）

（三）又已知 5 家特大 IC 設計公司員工總人數為 5,062，而其他 520 家 IC 設計公司員工總人數為 60,320；其他 520 家 IC 設計公司之員工人數的平方和為 11,842,980。試利用上列資料求估計式 $\widehat{Y}_1$ 及 $\widehat{Y}_2$ 的均方誤差之值，並請說明估計 $Y$ 時，哪一個估計式較好？（4 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查分層抽樣下的總量估計與均方誤差。5 家特大公司全部調查，其餘 520 家以不放回簡單隨機抽樣抽取 20 家。兩種估計式的差別在於： $\widehat{Y}_1$ 把 25 家視為同一群體抽樣； $\widehat{Y}_2$ 則將特大公司視為一層、其餘公司視為另一層，分別估計總量。

令特大公司的員工總數為 $Y_1=\sum_{i=1}^{5}y_i$ ，其餘公司的員工總數為 $Y_2=\sum_{i=6}^{525}y_i$ ，則 $Y=Y_1+Y_2$ 。後續推導將員工人數視為固定值，抽樣隨機性來自其餘 520 家公司的不放回簡單隨機抽樣。

（一）是否為不偏估計式

不偏估計的判準是估計量對抽樣設計取期望後等於母體總量，即 $E(\widehat{Y})=Y$ 。

$\widehat{Y}_1$

25 個觀察值中，前 5 家是固定調查的特大公司，後 20 家是從其餘 520 家抽出的樣本。因此：

E(\widehat{Y}_1) =\frac{525}{25}\left(\sum_{i=1}^{5}y_i+E\left[\sum_{i=6}^{25}y_i\right]\right)

其餘 520 家的 20 家不放回簡單隨機樣本，其樣本總和期望為 $\frac{20}{520}Y_2$ 。故：

E(\widehat{Y}_1) =21\left(Y_1+\frac{20}{520}Y_2\right) =21Y_1+\frac{21}{26}Y_2

這通常不等於 $Y_1+Y_2=Y$ ，所以 $\widehat{Y}_1$ 不是 $Y$ 的不偏估計式。只有在特定總量關係成立時才會相等，不足以使其成為一般設計下的不偏估計量。

$\widehat{Y}_2$

E(\widehat{Y}_2) =Y_1+\frac{520}{20}E\left[\sum_{i=6}^{25}y_i\right] =Y_1+26\left(\frac{20}{520}Y_2\right) =Y_1+Y_2 =Y

所以 $\widehat{Y}_2$ 是 $Y$ 的不偏估計式。

（二）均方誤差的定義

估計量 $\widehat{Y}$ 的均方誤差定義為：

\operatorname{MSE}(\widehat{Y}) =E\left[(\widehat{Y}-Y)^2\right] =\operatorname{Var}(\widehat{Y})+\left[E(\widehat{Y})-Y\right]^2

因此：

\operatorname{MSE}(\widehat{Y}_1) =E\left[(\widehat{Y}_1-Y)^2\right] =\operatorname{Var}(\widehat{Y}_1)+\left[E(\widehat{Y}_1)-Y\right]^2

\operatorname{MSE}(\widehat{Y}_2) =E\left[(\widehat{Y}_2-Y)^2\right] =\operatorname{Var}(\widehat{Y}_2)+\left[E(\widehat{Y}_2)-Y\right]^2

（三）計算兩估計式的 MSE 並比較

已知：

Y_1=5{,}062,\qquad Y_2=60{,}320,\qquad \sum_{i=6}^{525}y_i^2=11{,}842{,}980

Question 2

自來水公司想調查臺中市某區住戶在 108 年 1～3 月的用水情況，該區共有 $N=20{,}000$ 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了 $n=800$ 戶，得到下列統計資料：

\bar{y}=22.5\text{ 噸},\qquad s=36\text{ 噸}

有 320 戶用水總量超過了規定的用量標準。

（一）請估計該區住戶在 108 年 1～3 月的總用水量 $Y$ 及其該估計之 95% 信賴區間。（6 分）

（二）請估計該區在 108 年 1～3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶數 $T$ 。（6 分）

（三）又自來水公司想在 6 月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若要求在 95% 水準下估計的相對誤差不超過 10%，則應該抽多少樣本（戶）才能達到上述之要求？（6 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體總量與母體比例的估計，以及簡單隨機不放回抽樣下的有限母體修正。設母體戶數 $N=20{,}000$ 、樣本戶數 $n=800$ ，樣本平均用水量為 $\bar y=22.5$ 噸，樣本標準差為 $s=36$ 噸。

簡單隨機不放回抽樣下，母體總量 $Y$ 的估計量及其估計變異數為

\hat Y=N\bar y,\qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat Y) =N^2\left(1-\frac nN\right)\frac{s^2}{n}.

樣本數占母體比例為 $n/N=0.04$ ，故有限母體修正因子為 $1-n/N=0.96$ 。95% 信賴區間以常態近似的臨界值 $z_{0.975}=1.96$ 計算。

（一）總用水量估計與 95% 信賴區間

以樣本平均數推估每戶平均用水量，再乘以總戶數：

\hat Y=N\bar y =20{,}000\times22.5 =450{,}000\text{ 噸}.

總量估計值的標準誤為

\widehat{\operatorname{SE}}(\hat Y) =N\sqrt{\left(1-\frac nN\right)\frac{s^2}{n}} =20{,}000\sqrt{0.96\cdot\frac{36^2}{800}} \approx24{,}787.1\text{ 噸}.

因此 95% 信賴區間為

\hat Y\pm1.96\,\widehat{\operatorname{SE}}(\hat Y) =450{,}000\pm1.96(24{,}787.1),

\boxed{(401{,}417,\ 498{,}583)\text{ 噸}}

（四捨五入至整數噸）。

（二）超過規定用量標準的住戶數估計

樣本中超標戶數為 320 戶，因此樣本超標比例為

Question 3

若一母體共分為三層，其中各層母體大小分別為： $$ N1=300,\qquad N2=600,\qquad N3=100 $$ 根據過去的調查結果知道這三層的母體標準差分別為： $$ \sigma1=150,\qquad \sigma2=75,\qquad \sigma3=100 $$ （一）若調查總預算 $C$ 只有 20,000 元，又固定成本 $c0=2,000$ 元，每一層調查單位成本均相同為 50 元，即 $$ c1=c2=c3=50	ext{ 元} $$ 我們想以分層隨機抽樣法估計式 $\bar{y}{st}$ 估計母體平均數 $\mu$，試依紐曼配置（Neyman Allocation）法，求滿足要求之總樣本大小 $n$ 及各層所需之樣本大小 $ni$（$i=1,2,3$）分別為若干？（10 分） （二）若我們想以分層隨機抽樣法估計式 $\bar{y}{st}$ 估計母體平均數 $\mu$ 的 95% 誤差界限不超過 $B=20$，試依紐曼配置法，求滿足要求之總樣本大小 $n$ 及各層所需之樣本大小 $ni$（$i=1,2,3$）分別為若干？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考分層隨機抽樣的紐曼配置法（Neyman Allocation）：在各層調查成本相同時，依各層的「層母體大小 × 層標準差」分配樣本。令 $N=\sum_iN_i$ 、 $W_i=N_i/N$ ，紐曼配置為

n_i=n\frac{N_i\sigma_i}{\sum_{h=1}^L N_h\sigma_h}.

分層樣本平均數 $\bar y_{st}$ 估計母體平均數 $\mu$ 的變異數為

V(\bar y_{st}) =\sum_{i=1}^L W_i^2\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{\sigma_i^2}{n_i}.

本題 $N=300+600+100=1{,}000$ ，且

N_1\sigma_1=45{,}000,\qquad N_2\sigma_2=45{,}000,\qquad N_3\sigma_3=10{,}000,

所以三層的紐曼配置比例為 $0.45:0.45:0.10$ 。

（一）受預算限制的樣本配置

總預算扣除固定成本後，可用於調查單位的預算為

C-c_0=20{,}000-2{,}000=18{,}000\text{ 元}.

每個調查單位成本均為 $50$ 元，因此可抽取的總樣本數為

n=\frac{C-c_0}{50}=\frac{18{,}000}{50}=360.

依紐曼配置比例分配：

n_1=360(0.45)=162,\qquad n_2=360(0.45)=162,\qquad n_3=360(0.10)=36.

三層樣本數合計為 $162+162+36=360$ ，且各層均未超過該層母體大小。

（二）95% 誤差界限不超過 20 的樣本配置

採用常態近似的雙尾 95% 信賴水準，臨界值取 $z_{0.975}=1.96$ 。誤差界限要求為

B=1.96\sqrt{V(\bar y_{st})}\leq 20,

因此變異數須滿足

V(\bar y_{st})\leq \left(\frac{20}{1.96}\right)^2 \approx 104.123.

套用紐曼配置，變異數可化為

V(\bar y_{st}) =\frac{\left(\sum_i W_i\sigma_i\right)^2}{n} -\sum_i\frac{W_i^2\sigma_i^2}{N_i}.

其中

Question 4

某市轄區有 $N=250$ 個里，共有 $M=16{,}800$ 戶。今電力公司營業處想估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 $\mu_Y$ ，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽出 10 個里進行調查，得如下調查資料：

里（集體）	戶數 $M_i$	該里住戶裝置冷氣機之總台數 $y_i$
1	150	480
2	72	252
3	80	440
4	90	162
5	125	200
6	120	216
7	50	240
8	100	230
9	71	213
10	42	252

註：上述調查資料經計算得：

\sum_{i=1}^{10}M_i=900

\sum_{i=1}^{10}M_i^2=91{,}514

\sum_{i=1}^{10}y_i=2{,}685

\sum_{i=1}^{10}y_i^2=819{,}777

\sum_{i=1}^{10}M_i y_i=251{,}551

在簡單集體抽樣法下，電力公司營業處利用下列 3 個估計式來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 $\mu_Y$ ：

\widehat{\mu}_{C1} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{M_i}

\widehat{\mu}_{C2} = \frac{N}{M}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i

\widehat{\mu}_{C3} = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{\sum_{i=1}^{n}M_i}

其中：

\bar{y}_i=\frac{y_i}{M_i}

（一）試以 $\widehat{\mu}_{C1}$ 、 $\widehat{\mu}_{C2}$ 、 $\widehat{\mu}_{C3}$ 來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 $\mu_Y$ ，則 $\mu_Y$ 估計值分別為何？（9 分）

（二）若以估計式 $\widehat{\mu}_{C1}$ 估計 $\mu_Y$ ，則該估計在 95% 信賴度下，其最大可能估計誤差界限 $B$ 為何？（9 分）

（三）請根據上述調查資料，試分別求 $\widehat{\mu}_{C1}$ 、 $\widehat{\mu}_{C2}$ 、 $\widehat{\mu}_{C3}$ 等 3 個估計式的估計變異數 $\widehat{V}(\widehat{\mu}_{Ci})$ ， $i=1,2,3$ ，並請說明哪一個估計式在估計 $\mu_Y$ 時有較好的估計效率？（6 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考簡單集體抽樣（以里為抽樣單位）下，如何用三種估計式估計每戶冷氣機平均台數，以及如何計算估計變異數與 95% 誤差界限。

令第 $i$ 里的戶數為 $M_i$ 、冷氣機總台數為 $y_i$ ，則該里每戶平均台數為 $\bar y_i=y_i/M_i$ 。抽樣里數 $n=10$ ，全市里數 $N=250$ ，總戶數 $M=16{,}800$ 。抽取里時採不放回簡單隨機抽樣，因此變異數公式包含有限母體修正因子 $1-n/N=0.96$ 。

以下使用樣本變異數定義 $s^2=\sum(x_i-\bar x)^2/(n-1)$ ；95% 誤差界限採 $B=1.96\sqrt{\widehat V}$ 。

解題方法與計算

（一）三種估計值

估計式 $\widehat{\mu}_{C1}$ ：里平均數的簡單平均

先計算各里每戶平均台數：

\frac{y_i}{M_i} =(3.2,\ 3.5,\ 5.5,\ 1.8,\ 1.6,\ 1.8,\ 4.8,\ 2.3,\ 3,\ 6)

因此：

\widehat{\mu}_{C1} =\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\frac{y_i}{M_i} =\frac{33.5}{10} =3.35

估計式 $\widehat{\mu}_{C2}$ ：以抽中各里的冷氣機總台數估計全市總台數，再除以總戶數

\widehat{\mu}_{C2} =\frac{N}{M}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i =\frac{250}{16{,}800}\cdot\frac{2{,}685}{10} \approx 3.9955

估計式 $\widehat{\mu}_{C3}$ ：樣本冷氣機總台數除以樣本戶數

\widehat{\mu}_{C3} =\frac{\sum y_i}{\sum M_i} =\frac{2{,}685}{900} \approx 2.9833

（二） $\widehat{\mu}_{C1}$ 的 95% 誤差界限

對各里平均數計算樣本變異數：

\bar y_{\cdot}=\widehat{\mu}_{C1}=3.35

\sum_{i=1}^{10} \left(\frac{y_i}{M_i}-3.35\right)^2 =22.885

s_{\bar y_i}^{\,2} =\frac{22.885}{10-1} =2.54278

故 $\widehat{\mu}_{C1}$ 的估計變異數為：

\widehat V(\widehat{\mu}_{C1}) =\left(1-\frac{10}{250}\right)\frac{s_{\bar y_i}^{\,2}}{10} =0.96\cdot\frac{2.54278}{10} \approx 0.24411

標準誤為 $\sqrt{0.24411}\approx 0.49407$ ，因此：

B=1.96\sqrt{\widehat V(\widehat{\mu}_{C1})} =1.96\sqrt{0.24411} \approx 0.9684

（三）三種估計式的估計變異數與效率

1. $\widehat{\mu}_{C1}$

由（二）得：

\widehat V(\widehat{\mu}_{C1})\approx 0.24411

2. $\widehat{\mu}_{C2}$

樣本中各里冷氣機總台數的樣本變異數為：

Question 5

某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職工去年上半年（1～6 月份）與今年上半年（1～6 月份）因生病請假時數之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出 100 名職工進行調查，得相關統計資料如下： | 區域別 | 職工總數 $Ni$（人） | 樣本數 $ni$（人） | 去年上半年樣本平均數 $\bar{X}i$ | 今年上半年樣本平均數 $\bar{Y}i$ | 去年上半年樣本標準差 $S{Xi}$ | 今年上半年樣本標準差 $S{Yi}$ | 去年與今年上半年樣本相關係數 $\hat{ho}{XYi}$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 1（南區） | 1,000 | 100 | 18.0 | 18.9 | 10.0 | 10.36 | 0.9841 | | 2（北區） | 1,500 | 100 | 7.5 | 4.8 | 5.45 | 3.50 | 0.5576 | 其中： - 設 $Xi$：去年上半年第 $i$ 位職工因生病請假的時數。 - 設 $Yi$：今年上半年第 $i$ 位職工因生病請假的時數。 - $\bar{X}i$：去年上半年因生病請假的樣本平均時數。 - $\bar{Y}i$：今年上半年因生病請假的樣本平均時數。 - $S{Xi}$：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差。 - $S{Yi}$：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差。 - $\hat{ho}{XYi}$：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。 又已知去年上半年（1～6 月份）南區職工因生病請假的總時數： $$ 	au{X1}=16{,}300	ext{ 小時} $$ 北區職工因生病請假的總時數： $$ 	au{X2}=13{,}800	ext{ 小時} $$ 根據上述資料： （…

Accepted Answer

核心觀念

本題考查比率估計、成對資料的比率變動估計，以及分層隨機抽樣下的層別比率估計。

南區、北區各以不放回簡單隨機抽樣調查。令母體去年平均請假時數為 $\bar X_{Ui}=\tau_{Xi}/N_i$ ，樣本比率為 $\hat r_i=\bar Y_i/\bar X_i$ 。比率估計的線性化變異數使用殘差 $e=Y-\hat r_iX$ ：

s_{ei}^{\,2} =s_{Yi}^{\,2}+\hat r_i^{\,2}s_{Xi}^{\,2} -2\hat r_i\hat\rho_{XYi}s_{Xi}s_{Yi}.

估計平均數的變異數為

\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_{Ri}) =\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right) \frac{s_{ei}^{\,2}}{n_i\bar X_{Ui}^{\,2}}.

95% 信賴度的最大可能估計誤差界限採 $B=1.96\,SE$ 。

（一）南區請假時數的變動比率與誤差界限

南區去年母體平均請假時數已知：

\bar X_{U1}=\frac{\tau_{X1}}{N_1} =\frac{16{,}300}{1{,}000}=16.3.

今年與去年的比率估計為

\hat r_1=\frac{\bar Y_1}{\bar X_1} =\frac{18.9}{18.0}=1.05.

因此估計變動比率為

\hat R=\hat r_1-1=1.05-1=0.05.

也就是今年上半年請假時數估計較去年增加 $5\%$ 。

南區殘差變異數估計為

\begin{aligned} s_{e1}^{\,2} &=10.36^2+1.05^2(10.0^2) -2(1.05)(0.9841)(10.0)(10.36)\\ &=3.4788. \end{aligned}

因為 $\hat R=\hat r_1-1$ ，兩者變異數相同：

\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\hat R) &=\left(1-\frac{100}{1{,}000}\right) \frac{3.4788}{100(16.3)^2}\\ &=0.0001179. \end{aligned}

故 $SE=0.01086$ ，95% 信賴度下

B=1.96(0.01086)=0.0213.

（二）使 $B\leq 0.02$ 所需樣本數

設南區總樣本數為 $n$ ，以（一）的殘差變異數估計作為樣本數規劃值，並納入不放回抽樣的有限母體修正：

0.02 =1.96\sqrt{\left(1-\frac{n}{1{,}000}\right) \frac{3.4788}{n(16.3)^2}}.

整理得

n= \frac{1{,}000(1.96)^2(3.4788)} {(0.02)^2(16.3)^2+(1.96)^2(3.4788)} =111.7.

樣本數須向上取整，因此至少抽取 112 人。

（三）以比率估計南、北區今年的平均請假時數

比率估計的母體平均數為

108 高普考高考三級統計抽樣方法考古題詳解

第一題14 分

核心觀念

（一）是否為不偏估計式

$\widehat{Y}_1$

$\widehat{Y}_2$

（二）均方誤差的定義

（三）計算兩估計式的 MSE 並比較

第二題18 分

核心觀念

（一）總用水量估計與 95% 信賴區間

（二）超過規定用量標準的住戶數估計

第三題20 分

核心觀念

（一）受預算限制的樣本配置

（二）95% 誤差界限不超過 20 的樣本配置

第四題24 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）三種估計值

（二） $\widehat{\mu}_{C1}$ 的 95% 誤差界限

（三）三種估計式的估計變異數與效率

第五題24 分

核心觀念

（一）南區請假時數的變動比率與誤差界限

（二）使 $B\leq 0.02$ 所需樣本數

（三）以比率估計南、北區今年的平均請假時數

其他考古題

108 年統計的其他科目

統計《抽樣方法》其他年度

108 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

第 一 題14 分

核心觀念

（一）是否為不偏估計式

Y^1\widehat{Y}_1Y1​

Y^2\widehat{Y}_2Y2​

（二）均方誤差的定義

（三）計算兩估計式的 MSE 並比較

第 二 題18 分

核心觀念

（一）總用水量估計與 95% 信賴區間

（二）超過規定用量標準的住戶數估計

第 三 題20 分

核心觀念

（一）受預算限制的樣本配置

（二）95% 誤差界限不超過 20 的樣本配置

第 四 題24 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）三種估計值

（二）μ^C1\widehat{\mu}_{C1}μ​C1​ 的 95% 誤差界限

（三）三種估計式的估計變異數與效率

第 五 題24 分

核心觀念

（一）南區請假時數的變動比率與誤差界限

（二）使 B≤0.02B\leq 0.02B≤0.02 所需樣本數

（三）以比率估計南、北區今年的平均請假時數

其他考古題

108 年統計的其他科目

統計《抽樣方法》其他年度

108 高普考高考三級統計抽樣方法考古題詳解

第一題14 分

$\widehat{Y}_1$

$\widehat{Y}_2$

第二題18 分

第三題20 分

第四題24 分

（二） $\widehat{\mu}_{C1}$ 的 95% 誤差界限

第五題24 分

（二）使 $B\leq 0.02$ 所需樣本數