109 高普考高考三級 材料工程 物理冶金 考古題詳解

核心觀念

標準立體投影以晶體方向為投影點；平面的極點是垂直於該平面的方向。對立方晶體，$(hkl)$ 平面的法向方向為 $[hkl]$，所以 $(hkl)$ 的極點可直接標成 $[hkl]$。

晶帶軸是若干晶面的共同交線方向。晶面 $(hkl)$ 若包含方向 $[uvw]$，須滿足晶帶定律：

解題方法：建立 $[100]$ 標準投影

取 $[100]$ 為投影中心，也就是立方體一個角的方向。沿晶體對稱等價方向作標準立體投影時，可用下列方向作圖：

• $[100]$ 為中心。
• $[010]$、$[001]$ 位於投影圓周。
• $[110]$、$[101]$、$[011]$ 為相鄰晶向；它們相對於 $[100]$ 的夾角皆為 $45^\circ$。
• $[111]$ 相對於 $[100]$ 的夾角為 $\cos^{-1}(1/\sqrt{3})\approx54.7^\circ$。

依立方晶體對稱性，極點以等價方向表示；同一組正負號等價的平面法向，應在投影圖上標示其相應極點。

大圓是晶面在球面上的跡線。投影時，各大圓應通過其平面法向極點的垂直大圓；在標準投影圖上，依下列代表性平面繪出：

• $\{100\}$：如 $(100)$、$(010)$、$(001)$。其極點為 $[100]$、$[010]$、$[001]$。
• $\{110\}$：如 $(110)$、$(101)$、$(011)$。其極點為 $[110]$、$[101]$、$[011]$。
• $\{111\}$：如 $(111)$。其極點為 $[111]$；其餘對稱等價極點依立方對稱性標出。

核心觀念

交叉滑動是指差排在一個滑移面上運動後，轉移到另一個滑移面繼續滑移。對螺旋差排而言，差排線方向與 Burgers 向量平行，滑移面可包含差排線並改變，因此能在不同滑移面間交叉滑動。

本題考查 HCP 晶體的晶面幾何與完美差排的 Burgers 向量。滑移面必須包含差排線，而差排線方向平行於 Burgers 向量；因此，能在兩個指定平面間交叉滑動的螺旋差排，其 Burgers 向量必須同時位於兩個平面的交線方向。

解題方法與推導

指定的兩個平面為基面 $(0001)$ 與柱面 $(11\bar{2}0)$。兩平面的交線方向可由六方晶系的晶面、晶向關係求得；其交線平行於 $\langle 11\bar{2}0\rangle$ 型方向。這也是 HCP 晶體的 $\langle a\rangle$ 型方向。

因此，該完美差排的 Burgers 向量為：

若以特定等價方向表示，可寫成：

六方晶系四指數晶向 $[uvtw]$ 的方向向量可寫為：

對 $[11\bar{2}0]$，其基面方向向量為：

核心觀念

本題考查晶體中空位的平衡濃度，核心是形成空位的自由能與空位配置所增加的組態熵之間的競爭。

將 $n$ 個原子由晶體內部移至表面後，晶體內有 $N$ 個晶格位置，其中 $n$ 個為空位、$N-n$ 個由原子占據；移至表面的 $n$ 個原子也形成 $n$ 個表面位置。因此，可供排列的總位置數為 $N+n$，空位濃度定義為 $\dfrac{n}{N+n}$。

解題方法

1. 寫出空位形成的自由能變化

形成 $n$ 個空位的焓變為 $n\Delta H_v$。形成空位另有振動熵變 $n\Delta S_v$，並有 $n$ 個空位在 $N+n$ 個位置間配置所產生的混合熵 $\Delta S_m$。因此，總自由能變化為

2. 計算混合熵

從 $N+n$ 個位置中選出 $n$ 個作為空位，配置數為

由 Boltzmann 關係，混合熵為

其中 $k_B$ 為 Boltzmann 常數。

3. 求平衡空位數

平衡時，自由能對空位數 $n$ 取極小值：

利用 Stirling 近似 $\ln m!\approx m\ln m-m$，混合熵對 $n$ 的微分為

代入自由能的極小條件：

核心觀念

本題比較兩種由剪切造成、外觀都可能呈片狀或針狀的晶體變化：

• 變形雙晶：晶體受外力塑性變形時，部分晶格相對母晶作協同剪切，形成與母晶呈鏡像對稱的區域。
• 麻田散鐵（馬氏體）：母相經無擴散相變，原子以協同位移轉變成新的晶體結構。鋼中常見由沃斯田鐵轉變為體心立方或體心正方結構。

兩者都可造成表面浮凸或片狀形貌，但判別重點是：雙晶仍是同一晶相中的取向變體；麻田散鐵則是母相轉變為另一晶相。

（一）巨觀金相特徵、產生機制與原子排列

解題方法

先從「有無相變」區分兩者，再補上剪切機制與顯微形貌：

1. 是否改變晶相：變形雙晶沒有改變晶體結構；麻田散鐵是母相轉變成新相。
2. 如何形成：兩者都涉及原子協同位移與剪切，但雙晶是受力塑性變形；麻田散鐵是無擴散相變。
3. 形貌如何呈現：兩者都可能呈片狀，因此不能只憑「針狀」或「片狀」判斷；還要看是否有新相晶格及相變特徵。

（二）面心立方晶體的雙晶面與雙晶差排 Burgers 向量

面心立方晶體的變形雙晶系統為：

• 雙晶面：$\{111\}$
• 雙晶差排 Burgers 向量：$\dfrac{a}{6}\langle112\rangle$