110 高普考高考三級 材料工程 材料科學導論 考古題詳解

核心觀念

本題考查原子間位能曲線及穩定鍵結的成因。兩個原子相距很遠時，彼此作用微弱；接近時，吸引作用使系統總能量降低。距離過近時，電子雲重疊及原子核間的排斥作用急遽增強，使總能量上升。

平衡距離 $r_0$ 是總能量最低點所對應的原子間距離。在此距離，原子間合力為零，系統處於穩定狀態。

解題方法

以原子間距離 $r$ 為橫軸、總能量 $E$ 為縱軸，畫出總能量曲線：遠距離時能量趨近於零；原子接近時能量下降至最低點；再繼續靠近時，能量因強烈排斥而陡升。

總能量 E
 ↑
 │ 排斥作用主導
 │ /
 │ /
0 ┼────────────────────────────/────────→ 原子間距離 r
 │ /
 │ _/
 │ ____/
 │ _____/
 │ _____/
 │_______/ \________________
 │ ●
 │ r₀
 │ 平衡距離；能量最低點
 │

在平衡點，能量對距離的斜率為零：

原子間作用力與位能的關係為：

核心觀念

本題考查 FCC 晶格的繞射選擇定則、晶面間距與布拉格定律。

• FCC 晶格只有當 $(hkl)$ 的指數全為奇數或全為偶數時，繞射強度才不為零。
• 立方晶體的晶面間距為 $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ 其中 $a$ 為晶格常數。
• 布拉格定律為 $2d\sin\theta=n\lambda$ 同一種粉末繞射測量中，波長 $\lambda$ 固定；第一、第二個峰可視為同一級次 $n=1$。

解題方法

依 FCC 選擇定則，依 $h^2+k^2+l^2$ 由小至大找出最先出現的兩組允許晶面：

1. 最小的允許值為 $(111)$： $h^2+k^2+l^2=1^2+1^2+1^2=3$

2. 下一個允許值為 $(200)$： $h^2+k^2+l^2=2^2+0^2+0^2=4$

$(100)$ 的指數並非全奇或全偶，故為系統性消光；$(110)$ 雖然指數全為奇數或全為偶數，但平方和為 $2$，其中 $1,1,0$ 並非全奇也非全偶，因此同樣不允許。故鎳粉末繞射的前兩個峰分別來自 $(111)$ 與 $(200)$。

對第一峰 $(111)$，由立方晶體晶面間距公式： $d_1=\frac{a}{\sqrt{3}}$

核心觀念

本題考固溶體中置換型與插入型溶質的擴散機制，以及擴散速率與均質化所需時間的關係。

• 置換型溶質：溶質原子取代晶格中的溶劑原子位置。原子通常透過空孔機制移動：相鄰溶劑原子移至空孔，空孔則相對移動，使置換型溶質得以跳至鄰近空孔。
• 插入型溶質：尺寸較小的溶質原子占據晶格間隙位置，藉由跳至相鄰間隙位置擴散，通常不必等待空孔。

擴散速率可用擴散係數 $D$ 表示，且常符合 Arrhenius 關係：

其中 $D_0$ 為頻率因子、$Q$ 為擴散活化能、$R$ 為氣體常數、$T$ 為絕對溫度。均質化所需時間與擴散距離平方成正比、與擴散係數成反比，約可寫成 $t \propto L^2/D$。

解題方法

核心觀念

本題比較單晶銅與多晶銅，重點在於晶界的影響。單晶沒有晶界；多晶由許多取向不同的晶粒組成，晶粒交界處的原子排列較不規則。晶界會阻礙位錯移動與電子傳輸，也會提供快速擴散路徑，因此不同性質的變化方向不盡相同。

解題方法

逐項判斷晶界對原子、位錯、電子及熱傳輸的作用：

1. 擴散係數：多晶銅較大。 擴散可沿晶格內部進行，也可沿晶界進行。晶界原子排列較疏鬆、缺陷較多，晶界擴散通常比晶格擴散快。因此在相同溫度下，多晶銅具有額外的晶界擴散途徑，整體有效擴散係數通常高於單晶銅。晶粒愈細、晶界面積比例愈大，此效應愈明顯。

2. 降伏強度：多晶銅較高。 降伏與位錯開始大量移動有關。晶界會阻礙位錯滑移，限制位錯穿越晶粒邊界，使多晶材料較難產生塑性變形。晶粒細化時，晶界增多，降伏強度通常依 Hall–Petch 關係上升： $\sigma_y=\sigma_0+k d^{-1/2}$ 其中 $\sigma_y$ 為降伏強度、$d$ 為平均晶粒尺寸，$\sigma_0$ 與 $k$ 為材料常數。

核心觀念

陶瓷也含有差排，但一般陶瓷不會像金屬一樣，藉由提高差排密度來提升抗彎強度。關鍵在於差排是否容易移動，以及差排增殖、交互作用能否有效阻礙塑性變形。

金屬中的差排可在較低應力下滑移。差排密度增加時，差排彼此交互作用並形成障礙，使差排滑移更困難，降伏強度可用 Taylor 關係近似表示：

其中 $G$ 為剪切模數、$b$ 為柏氏向量大小、$\rho$ 為差排密度，$\alpha$ 為與材料及差排交互作用相關的常數。

陶瓷的情況不同。離子鍵或共價鍵具有方向性，差排移動時往往會造成帶電離子相鄰、鍵結方向不利等高能量組態，因此滑移所需應力很高。室溫下，陶瓷通常在差排大量滑移前就因微裂縫擴展而脆性破壞。

解題方法

本題要比較差排對金屬與陶瓷強度的作用，並特別判斷其對抗彎強度是否有效。判斷步驟如下：

1. 金屬可藉由差排滑移產生塑性變形；增加差排密度會增加差排間的交互作用與滑移阻力，因此能提高降伏強度。
2. 陶瓷雖然存在差排，但室溫下差排通常難以移動，塑性變形能力有限。