113 專技高考高等考試 應用地質技師 大地工程學（包括土壤力學與岩石力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面裂面上的應力轉換與滑動破壞條件。裂面上的正向應力 $\sigma_n$ 使裂面互相壓緊；剪應力 $\tau$ 則促使裂面滑動。裂面的莫耳－庫侖剪力強度為

其中 $\sigma_n'$ 是有效正向應力。題目給定 $c=0$、$\phi=30^\circ$；注水時，裂面內水壓 $u$ 會降低有效正向應力，故 $\sigma_n'=\sigma_n-u$。

解題方法

取壓應力為正。水平、垂直主應力分別為 $\sigma_h=20\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_v=60\ \mathrm{MPa}$，裂面與水平夾角 $\alpha=40^\circ$。裂面法線與垂直主應力方向夾角為 $40^\circ$，依主應力下的平面應力轉換式：

代入 $\sin40^\circ\approx0.6428$、$\cos40^\circ\approx0.7660$：

剪應力正負號取決於裂面方向及剪應力正號約定；本題求剪力大小與安全係數，使用其絕對值。

(一) 裂面上的正向應力與剪應力

(二) 裂面抵抗滑動的安全係數

核心觀念

本題以完整岩石的兩種破壞試驗結果建立 Mohr 圓，再以 Mohr–Coulomb 強度包絡線與兩圓相切的條件，求岩石的摩擦角 $\phi$ 與凝聚力 $c$。

Mohr 圓的橫軸為正向應力 $\sigma$，縱軸為剪應力 $\tau$。主應力為 $\sigma_1\geq\sigma_3$ 時，圓心與半徑分別為

Mohr–Coulomb 強度包絡線為

破壞時，Mohr 圓與強度包絡線相切。

解題方法

（一）繪製兩種試驗破壞時的 Mohr 圓

**巴西劈裂試驗：**試體受直徑方向載重，載重直徑上的理論應力狀態包含大小相等、方向相反的主應力。令壓應力為正，破壞時主應力為 $\sigma_1=5\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_3=-5\ \mathrm{MPa}$。因此

巴西劈裂破壞圓通過 $(\sigma,\tau)=(5,0)$ 與 $(-5,0)$，圓心在原點，半徑為 $5\ \mathrm{MPa}$。

**單壓試驗：**側向無圍壓，破壞時 $\sigma_1=30\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_3=0$。因此

單壓破壞圓通過 $(0,0)$ 與 $(30,0)$，圓心為 $(15,0)$，半徑為 $15\ \mathrm{MPa}$。

核心觀念

本題考查砂土在直接剪力試驗中的剪脹性，以及剪脹性如何反映在剪應力與試體高度的變化上。主要比較鬆砂與緊密砂在剪動過程中的體積變化及剪力強度發展。

直接剪力試驗將試體置於上下剪力盒中，在施加法向應力 $\sigma_n$ 後，使剪力盒相對移動，量測剪位移、剪力及試體高度。剪應力可表示為：

其中 $T$ 為剪力，$A$ 為剪切面積；實務上須依試驗規範考慮剪切過程中有效剪切面積的變化。

以下以試體高度增加為正，定義高度變化 $\Delta h=h-h_0$；因此 $\Delta h<0$ 表示試體壓縮、收縮，$\Delta h>0$ 表示試體膨脹、剪脹。

解題方法與曲線特性

作圖時，橫軸均取剪位移 $\delta$。先畫剪應力–剪位移曲線，再畫高度變化–剪位移曲線，並指出鬆砂以收縮為主、緊密砂會由初期收縮轉為剪脹。

剪應力–剪位移曲線

剪應力 τ
 ↑
 │ 緊密砂
 │ ／‾‾‾＼
 │ ／ ＼____
 │ ／ ‾‾‾
 │ ／ 鬆砂 ＿＿＿＿＿＿
 │ ／ ＿＿＿＿
 │ ／ ＿＿
 │ ／ ＿＿
 └────────────────────────────→ 剪位移 δ
 峰值後軟化 臨界狀態

• 鬆砂：剪應力通常隨剪位移逐漸增加，沒有明顯尖銳峰值；位移增加後逐漸趨近穩定的臨界狀態剪應力。
• 緊密砂：剪應力先快速上升至明顯峰值，之後隨剪位移增加而下降，最後趨近臨界狀態剪應力。峰值後的下降稱為應變軟化。
• 在相同法向應力與相近試驗條件下，緊密砂的峰值剪應力通常高於其臨界狀態剪應力；鬆砂則較少呈現明顯峰值與峰後軟化。

試體高度變化–剪位移曲線

核心觀念

本題考查 Terzaghi 一維壓密理論中的時間因子：

其中 $T_v$ 為時間因子、$c_v$ 為壓密係數、$t$ 為壓密所需時間，$H_{dr}$ 為最大排水距離。相同土層在相同壓力作用下，可視為 $c_v$ 相同，因此同一平均壓密度所對應的 $T_v$ 相同，時間與排水距離平方成正比。

雙向排水時，$H_{dr}$ 為試體或土層厚度的一半；單向排水時，$H_{dr}$ 等於整層厚度。

解題方法

實驗室試體厚 $25\ \mathrm{mm}$，上下雙向排水，故最大排水距離為：

現場黏土層厚 $2\ \mathrm{m}$，下方為不透水岩層，僅能向上排水，故為單向排水：

由實驗室 $U=50\%$ 時 $t=2$ 分鐘，求現場 $U=90\%$ 所需時間。平均壓密度低於約 $60\%$ 時，時間因子可用 $T_v \approx \frac{\pi}{4}U^2$；因此：

核心觀念

橫向等向性岩石具有一個對稱軸：在垂直於該軸的平面內，材料性質各方向相同；沿對稱軸的性質則可與平面內不同。因此，岩石的彈性與強度會隨試體相對於層理、片理或其他構造面的方向而改變。

對均質線彈性材料而言，橫向等向性通常需要五個獨立彈性常數描述。考題重點是辨認其方向性，並在單軸壓縮試驗報告中記錄試體與各向異性構造面的相對方向。

解題方法與計算

（一）定義

若岩石具有一個對稱軸，且在垂直於此軸的任一平面內呈等向性，而沿此軸的力學性質與平面內不同，即稱為橫向等向性岩石。常見成因是岩石具有明顯的層理、片理或定向排列構造。

（二）岩石種類

具橫向等向性的岩石例子包括：

• 頁岩：常因層理或薄層排列而呈現方向性。
• 板岩：常因片理而使力學性質隨試體方向改變。

（三）由應力–應變曲線求彈性模數與柏松比

單軸壓縮時，軸向應力為 $\sigma_a$，軸向應變為 $\varepsilon_a$，側向應變為 $\varepsilon_l$。在曲線的近線性彈性區間內：

由圖約讀線性區間內兩點：

• 應力約由 $50$ MPa 增至 $150$ MPa，故 $\Delta \sigma_a\approx100$ MPa。
• 軸向應變約由 $1.0\times10^{-3}$ 增至 $2.8\times10^{-3}$，故 $\Delta\varepsilon_a\approx1.8\times10^{-3}$。
• 側向應變約由 $-0.5\times10^{-3}$ 增至 $-1.05\times10^{-3}$，故 $\Delta\varepsilon_l\approx-0.55\times10^{-3}$。

因此：

核心觀念

本題考查不透水層上方之非承壓含水層抽水試驗。以不透水層頂面為基準，距抽水井中心 $r$ 處的水位高度 $h$，就是該處含水層的飽和厚度。

在穩定抽水、地下水作徑向水平流動的假設下，半徑 $r$ 處的過水斷面為圓柱側面：

由 Darcy 定律，流量等於滲透係數乘以水力坡降與過水面積。沿徑向的水力坡降為 $dh/dr$，因此：

解題方法

依圖示，外側觀測井距離為 $r_1$，水位高度為 $h_1$；內側觀測井距離為 $r_2$，水位高度為 $h_2$，故 $r_1>r_2$、$h_1>h_2$。

將 Darcy 定律整理後，對兩觀測井之間的半徑與水位高度積分：

由 $r_2$ 積分至 $r_1$，並由 $h_2$ 積分至 $h_1$：