108 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

這題考不對稱彎曲。斷面同時受繞 $y$ 軸與 $z$ 軸的彎矩分量，任一位置的正應力為兩方向彎曲應力的代數和。取拉應力為正，並依圖示令 $z$ 軸正向朝左：

其中 $y,z$ 是相對於斷面形心的座標；$I_y,I_z$ 分別是對形心軸的斷面二次矩。

解題方法

將斷面視為腹板與翼板兩個矩形，忽略交接處圓角。總高度為 $a+t_f=325\ \mathrm{mm}$，面積與形心位置為

以翼板底面為基準，形心距底面

斷面對稱於 $y$ 軸，所以 $z$ 軸座標的形心為零。兩形心軸的斷面二次矩為

依圖示，彎矩與正 $z$ 方向夾角為 $\theta=45^\circ$，故

核心觀念

影響線表示單位移動荷載作用於不同位置時，某一反力或桿件力的變化。這題的桁架有 $A、D、E、F$ 四個垂直支承反力；整體平衡只能提供垂直力平衡與力矩平衡兩個有效方程，因此反力分配須再由變形相容條件決定。

換言之，這是靜不定桁架。圖面沒有提供各桿件的軸向剛度 $EA$，所以六項影響線的精確縱座標不能由目前資料唯一決定。支承位置依圖讀為 $A=0$、$D=20\ \mathrm{m}$、$E=40\ \mathrm{m}$、$F=60\ \mathrm{m}$。

解題方法

以 $R_D、R_E$ 為冗餘力，先移除 $D、E$ 支承，取 $A、F$ 為基本結構。令單位荷載位於距 $A$ 點 $x$ 處，基本結構的平衡式為

因此

還須使用 $D、E$ 點的垂直位移皆為零，解出 $R_D、R_E$。這兩個相容方程的係數取決於桁架的柔度矩陣，而柔度矩陣需要各桿件的 $EA/L$。求得支承反力後，才可由桁架分析取得 $BC、BG$ 桿力的影響線縱座標。

核心觀念

本題以 $C$ 點鉛直反力 $R_C$ 作為冗餘力，移除 $C$ 點支承後，結構成為以 $A$ 點固定的靜定懸臂剛架。利用力法的諧和變位條件，令原結構在 $C$ 點的鉛直位移為零。

依一般結構分析慣例，計算採用彎曲變形，忽略軸向變形。$AB$ 長度為 $\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm m$；由於 $EI$ 相同，彎矩虛功積分可直接提出 $1/EI$。

解題方法

先在釋放 $C$ 點支承的結構上計算均佈載重造成的位移，再施加一單位向下力，計算 $C$ 點柔度。令反力造成的位移抵銷均佈載重造成的位移，即可求得 $R_C$。

1. 均佈載重造成的彎矩

取 $BC$ 上距 $B$ 為 $x$ 的截面，$0\le x\le 8$。釋放後的 $BC$ 為懸臂桿，均佈載重 $w=2\ \mathrm{kN/m}$ 造成：

在斜桿 $AB$ 上，取距 $A$ 沿桿長為 $s$ 的截面，令 $t=10-s$。$AB$ 的水平投影比例為 $6/10=0.6$。將 $BC$ 的均佈載重化為合力 $16\ \mathrm{kN}$，其作用點距 $B$ 為 $4\ \mathrm m$，得：

2. 單位力彎矩與位移

在 $C$ 點施加單位向下力。其在 $BC$ 及 $AB$ 上的彎矩分別為：

由虛功法，均佈載重造成的 $C$ 點向下位移為：

單位力造成的柔度為：

3. 諧和變位求 $C$ 點反力

核心觀念

本題考查含側移剛架的力矩分配法。B 點受水平力，整個上部剛架會側移；因此除了各節點轉角，還要把側移量納入斜率位移式。題目未提供軸向剛度，依力矩分配法常用假設，視桿件軸向變形可忽略，故 B、D、F 的水平位移相同。

以下取節點端力矩逆時針為正，水平側移 $\Delta$ 向右為正。各桿件無跨間荷載，所以固定端力矩皆為零。

解題方法

令 B、D、F 的轉角分別為 $\theta_B,\theta_D,\theta_F$。以 $EI$ 為基準，依斜率位移式列節點力矩平衡。

固定端柱 AB、DC 的柱頂端力矩為

FE 柱底 E 為鉸支承，令 E 端力矩為零後，柱頂端力矩為

水平梁 BD、DF 的端力矩由斜率位移式求得，例如

同理可列 DF 兩端力矩。將各節點力矩平衡式除以 $EI$，得到

解得

接著列整體水平力平衡。固定端柱頂的水平力項為 $EI(12\Delta/L^3+6\theta/L^2)$；