111 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

111 年・專技高考・高等考試・土木工程技師
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題20 分

有一平面應力元素受應力如下圖 (a) 所示。當此元素逆鐘向旋轉 20∘20^\circ 後，其應力狀況如下圖 (b) 所示。

假設此應力元素之彈性模數 E=25 GPaE=25\ \mathrm{GPa}、泊松比 ν=0.2\nu=0.2，請計算應力 σx\sigma_x、σy\sigma_y，及此元素在 xx、yy 座標系統下之應變 εx\varepsilon_x、εy\varepsilon_y、γxy\gamma_{xy}。

圖 (a)、(b)： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示之應力數值包括 30 MPa30\ \mathrm{MPa}、70.8 MPa70.8\ \mathrm{MPa} 及 77.6 MPa77.6\ \mathrm{MPa}，並標有 xx、yy、x′x'、y′y' 座標系統。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考平面應力元素旋轉後的應力轉換，以及平面應力狀態下的虎克定律。座標軸逆時針旋轉 θ=20∘\theta=20^\circ 時，依題目提供的公式：

σx′=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2θ+τxysin⁡2θ\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta +\tau_{xy}\sin 2\theta τx′y′=−σx−σy2sin⁡2θ+τxycos⁡2θ\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta

依圖 (a) 的箭頭方向，+x+x 面上的剪應力向 −y-y，故 τxy=−30 MPa\tau_{xy}=-30\ \mathrm{MPa}。依圖 (b)，x′x' 面正向的正應力為拉應力 σx′=70.8 MPa\sigma_{x'}=70.8\ \mathrm{MPa}；+x′+x' 面上的剪應力沿 −y′-y'，故 τx′y′=−77.6 MPa\tau_{x'y'}=-77.6\ \mathrm{MPa}。

解題方法

令平均正應力 A=(σx+σy)/2A=(\sigma_x+\sigma_y)/2，半差應力 D=(σx−σy)/2D=(\sigma_x-\sigma_y)/2。代入 θ=20∘\theta=20^\circ、τxy=−30 MPa\tau_{xy}=-30\ \mathrm{MPa}：

70.8=A+Dcos⁡40∘−30sin⁡40∘70.8=A+D\cos40^\circ-30\sin40^\circ −77.6=−Dsin⁡40∘−30cos⁡40∘-77.6=-D\sin40^\circ-30\cos40^\circ

由第二式求得：

D=77.6−30cos⁡40∘sin⁡40∘≈85.0 MPaD=\frac{77.6-30\cos40^\circ}{\sin40^\circ} \approx 85.0\ \mathrm{MPa}

再由第一式：

A=70.8−Dcos⁡40∘+30sin⁡40∘≈25.0 MPaA=70.8-D\cos40^\circ+30\sin40^\circ \approx 25.0\ \mathrm{MPa}

因此：

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第 二 題20 分

有二薄管壁梁之斷面如下圖 (a) 及 (b) 所示，試計算各梁斷面剪力中心 SS 之 eye_y 及 eze_z 值。

圖 (a)、(b)： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中包含斷面尺寸 hh、bb、tt，以及剪力中心 SS 與座標軸間之距離 eye_y、eze_z。

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核心觀念

剪力中心是橫向剪力作用時，使梁不發生扭轉的作用點。薄壁開口斷面可用薄壁剪流計算，剪流沿壁板中線流動；剪流對剪力中心的合力矩須為零。

以下依圖示壁板中線及座標軸計算，忽略壁厚平方以上的小量。

解題方法

(a) L 形斷面

取兩壁板中線交點為原點，yy 軸沿直立板、zz 軸沿水平板。兩板的剪流合力分別沿著各自的壁板方向，因此對兩中線交點的力矩皆為零。故剪力中心就在兩壁板中線交點：

ey=0,ez=0e_y=0,\qquad e_z=0

(b) 對稱槽形斷面

斷面對 zz 軸對稱，因此剪力中心在對稱軸上：

ey=0e_y=0

令兩翼板由腹板中線向外的座標為 xx。受垂直剪力 VyV_y 時，翼板剪流大小與其對 zz 軸的一次面積矩成正比。上、下翼板各自從自由端到腹板的剪流為

q(x)=VyIz txh2q(x)=\frac{V_y}{I_z}\,t x\frac{h}{2}

其中 IzI_z 為斷面對水平對稱軸的慣性矩。薄壁近似下，

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第 三 題30 分

如下圖所示之平面剛架結構，aa、dd、ee、nn 點為鉸支承，cc 點及 mm 點為鉸接。各桿件有相同之彈性模數 EE 與慣性矩 II，且：

EI=250000 kN⋅m2EI=250000\ \mathrm{kN\cdot m^2}

不考慮各桿件的軸向變形，求：

  1. abab 桿件的端點彎矩；
  2. 此結構系統之撓曲應變能；
  3. bb 點及 cc 點垂直位移。

圖示結構、支承、鉸接、集中載重及尺寸： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中各集中載重均為 12 kN12\ \mathrm{kN}，各水平尺寸為 5 m5\ \mathrm{m}，上下桿件間之垂直尺寸為 5 m5\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考平面剛架的對稱性、梁柱彎曲剛度及應變能。各桿件不考慮軸向變形，因此同一柱上下端的垂直位移相同；結構與載重的對稱性則使 bb、cc、mm 及其右側對稱點的垂直位移關係明確。彎曲應變能可用外力功計算：

U=12∑iPiδiU=\frac12\sum_i P_i\delta_i

解題方法

取向下位移 vv 為正、順時針轉角 θ\theta 為正。令梁長 L=5 mL=5\ \mathrm m，並以 qq 表示 bb 點垂直位移、以 rr 表示 cc 點垂直位移。由上下對稱及柱不伸縮，bb 點上下兩端位移相同；cc 與 mm 點也有相同垂直位移。

在縱向對稱軸上，沒有集中力，故各水平梁在 cc、mm 處的剪力為零；兩處又是鉸接，端彎矩亦為零。對長度為 LL 的梁段，將端彎矩為零的端點轉角消去後，可得：

  • abab 段在 bb 端的彎矩：Mb(ab)=3EIL(θ−qL)\displaystyle M_b^{(ab)}=\frac{3EI}{L}\left(\theta-\frac qL\right)。
  • bcbc 段在 bb 端的彎矩：Mb(bc)=3EIL(θ+q−rL)\displaystyle M_b^{(bc)}=\frac{3EI}{L}\left(\theta+\frac{q-r}{L}\right)。
  • bcbc 段在 cc 端的剪力與 r−qr-q 成正比；剪力為零因此 r=qr=q。

1. 求位移及 abab 桿端彎矩

由 r=qr=q，bb 點每一水平梁線的剪力為 3EIL3q\frac{3EI}{L^3}q。上下兩條梁線合計承受 bb 點的 24 kN24\ \mathrm{kN} 集中力，因此

6EIL3q=24\frac{6EI}{L^3}q=24

代入 EI=250000 kN⋅m2EI=250000\ \mathrm{kN\cdot m^2}、L=5 mL=5\ \mathrm m：

q=r=24L36EI=24(5)36(250000)=0.002 mq=r=\frac{24L^3}{6EI} =\frac{24(5)^3}{6(250000)} =0.002\ \mathrm m

故 bb、cc 點均向下位移 2 mm2\ \mathrm{mm}。

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第 四 題30 分

如下圖所示結構，承受垂直集中載重 32 kN32\ \mathrm{kN}。aa 點為固定端，ee 點為鉸支承，bb 點為鉸接，dd 點連接一軸力桿件 dede。

桿件 dede 之彈性模數 EE 與斷面積 AA 之乘積為：

EA=62500 kNEA=62500\ \mathrm{kN}

桿件 abab 及 bdbd 有相同之彈性模數 EE 與慣性矩 II，且：

EI=60000 kN⋅m2EI=60000\ \mathrm{kN\cdot m^2}

若不考慮桿件 abab 及 bdbd 的軸向變形，求：

  1. aa 點固定端反力（含彎矩）；
  2. dede 桿件軸力；
  3. cc 點及 dd 點垂直位移。

圖示結構、支承、鉸接、桿件、集中載重及尺寸： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中集中載重為 32 kN32\ \mathrm{kN}，水平尺寸各為 3 m3\ \mathrm{m}，垂直尺寸各為 4 m4\ \mathrm{m}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題用到三個觀念：鉸接構件的靜力平衡、桿件軸力與變形相容，以及梁的撓度疊加。忽略 abab、bdbd 的軸向變形，表示 bb、dd 的水平位移相同；而 abab 的軸向變形忽略，表示 bb 點垂直位移為零。

取水平向右、垂直向上為正。圖中 dede 的方向為 33-44-55，故長度 Lde=5 mL_{de}=5\ \mathrm{m}。

解題方法

先由 bdbd 梁的平衡求端部反力，再求 dede 軸力。接著以 abab 的懸臂梁撓度求水平位移，代入 dede 的軸向變形相容式求 dd 點垂直位移，最後求 cc 點撓度。

1. 靜力平衡與固定端反力

對 bdbd 梁取平衡。以 bb 點取矩：

Rd(6)−32(3)=0⇒Rd=16 kNR_d(6)-32(3)=0 \quad\Rightarrow\quad R_d=16\ \mathrm{kN}

垂直力平衡得 Rb=16 kNR_b=16\ \mathrm{kN}。因此 dede 桿對 dd 點的垂直分力為 16 kN16\ \mathrm{kN} 向上。由桿件方向的垂直分量為 4/54/5，得

Nde45=16⇒Nde=20 kNN_{de}\frac{4}{5}=16 \quad\Rightarrow\quad N_{de}=20\ \mathrm{kN}

故 dede 為受拉。其水平分力大小為

Nde35=12 kNN_{de}\frac{3}{5}=12\ \mathrm{kN}

由整體水平平衡及 aa 點力平衡，aa 點水平反力為 12 kN12\ \mathrm{kN} 向右；垂直反力為 16 kN16\ \mathrm{kN} 向上。abab 頂端承受向左 12 kN12\ \mathrm{kN} 的水平力，因此固定端彎矩反力為順時針 12(4)=48 kN⋅m12(4)=48\ \mathrm{kN\cdot m}。

2. dd 點垂直位移

abab 可視為長 4 m4\ \mathrm{m} 的懸臂梁，頂端受水平力 12 kN12\ \mathrm{kN}。其水平位移大小為

∣ub∣=PL33EI=12(43)3(60000)=0.0042667 m|u_b|=\frac{PL^3}{3EI} =\frac{12(4^3)}{3(60000)} =0.0042667\ \mathrm{m}

頂端受力向左，故 ub=−0.0042667 mu_b=-0.0042667\ \mathrm{m}。由 bdbd 軸向變形忽略，

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