109 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查外伸梁的支承反力、彎矩分布、彎曲正應力及撓度。彎曲正應力採用

$\sigma=\frac{Mc}{I}$

其中 $c=h/2$。梁的彎曲撓度則由 $EI\,v''=M$ 求得。

解題方法

1. 求支承反力與最大彎矩

梁及載重左右對稱，兩端外伸長度均為 $3\ \mathrm{m}$，各受均布載重 $q=150\ \mathrm{kN/m}$。每側載重合力為

$q(3)=150(3)=450\ \mathrm{kN}$

由對稱性，兩支承反力相同；再由垂直力平衡：

$R_A=R_B=\frac{2(450)}{2}=450\ \mathrm{kN}$

以左側自由端為起點，外伸段彎矩在支承處的大小為

兩支承間沒有外加載重，剪力為零，因此該跨彎矩維持 $-675\ \mathrm{kN\cdot m}$。外伸段彎矩由自由端的零值變化至支承處的 $-675\ \mathrm{kN\cdot m}$，所以全梁最大彎矩絕對值為

$|M_{\max}|=675\ \mathrm{kN\cdot m}$

2. 求最大彎曲正應力

截面最外緣距中性軸：

$c=\frac{h}{2}=\frac{76}{2}=38\ \mathrm{cm}=0.38\ \mathrm{m}$

慣性矩換算為

將彎矩換成 $\mathrm{N\cdot m}$，代入彎曲正應力公式：

核心觀念

本題用矩陣變位法分析剛架，未知量包含柱頂水平位移與兩端轉角。假設桿件軸向變形忽略，因此梁兩端水平位移相同；右端滾支承限制垂直位移，但不限制水平位移，也不提供彎矩反力。

取各節點轉角及端矩以逆時針為正。桿件長度皆為 $6\ \text{m}$，且 $EI/L=1$。梁受均佈載重 $q=10\ \text{kN/m}$，其固定端彎矩大小為

解題方法

令柱頂水平位移為 $\Delta$，柱頂轉角為 $\theta_B$，梁右端轉角為 $\theta_C$。柱底固定，梁兩端垂直位移均為零。

按平面梁元素剛度矩陣組裝各自由度方程。由於 $EI/L=1$、$L=6\ \text{m}$，柱頂水平力平衡式為

柱頂節點彎矩平衡式中，柱端彎矩為 $\Delta+4\theta_B$；梁左端彎矩為 $4\theta_B+2\theta_C+30$。因此

梁右端為滾支承，端彎矩為零：

三式組成矩陣方程：

核心觀念

兩支立柱均為兩端鉸接的細長柱，彈性挫屈載重相同：

剛桿以 $A$ 為轉動支點。小轉角下，$C$、$D$ 點的垂直位移與距離 $A$ 的水平距離成正比，因此

立柱尚未挫屈時，軸向勁度相同，故柱力也符合 $P_D=2P_C$。隨著 $Q$ 增加，$D$ 柱先達到挫屈載重；之後依題意採理想彈性挫屈平台模型，已挫屈柱的軸力維持在 $P_{\mathrm{cr}}$，未挫屈柱的軸力則繼續增加，直到兩柱均挫屈。

解題方法

設 $P_C$、$P_D$ 為兩柱對剛桿的向上力。以 $A$ 點取力矩，圖示距離為 $AC=b$、$AD=2b$、$AB=4b$：

令立柱軸向勁度 $k=EA/H$，並令 $\delta_{\mathrm{cr}}=P_{\mathrm{cr}}/k$，作為單柱壓縮力達到 $P_{\mathrm{cr}}$ 時的軸向縮短量。

第一階段：兩柱均未挫屈

由相同軸向勁度及相容條件：

因此

$D$ 柱先達到挫屈，條件為 $P_D=P_{\mathrm{cr}}$。此時 $P_C=P_{\mathrm{cr}}/2$，故

此時 $\delta_C=\delta_{\mathrm{cr}}/2$。

第二階段：$D$ 柱已挫屈，$C$ 柱尚未挫屈

依理想挫屈平台模型，$P_D=P_{\mathrm{cr}}$；$C$ 柱仍有

$C$ 柱到達挫屈時，$\delta_C=\delta_{\mathrm{cr}}$、$P_C=P_{\mathrm{cr}}$。代入力矩平衡式：

核心觀念

桁架斜桿只能承受拉力，因此每一格的交叉斜桿中，只有能以拉力抵抗該格剪力的斜桿受力；另一根斜桿鬆弛，內力為零。

圖中每格寬與高均為 $\ell$，斜桿與水平線夾角為 $45^\circ$。若斜桿軸力為 $N_d$，其垂直分量為 $N_d/\sqrt{2}$，可用來平衡該格剪力。

解題方法

以下弦節點由左至右標為 $B_0,\ldots,B_4$，上弦節點標為 $T_0,\ldots,T_4$；斜線「$\backslash$」表示由左上連至右下，「／」表示由左下連至右上。

1. 求支承反力與各格剪力

以左支承為 $x=0$，右支承為 $x=4\ell$。由整體平衡：

因此

由左向右逐格計算剪力：

正剪力的前兩格由「$\backslash$」斜桿受拉；負剪力的後兩格由「／」斜桿受拉。各格受拉斜桿軸力為

2. 求弦桿與垂直桿內力