112 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡支梁的支承反力、剪力圖與彎矩圖。採用下列正號慣例：向上的反力使剪力增加，正彎矩為下緣受拉的正彎矩。

分布載重與內力的關係為

因此，剪力圖的斜率由分布載重決定；彎矩圖的斜率由剪力決定。集中力會使剪力圖跳躍，但彎矩保持連續。

解題方法

取 $A$ 點為 $x=0$，梁長 $6\text{ m}$。圖（一）的三角形分布載重作用於 $0\le x\le3\text{ m}$，強度由 $0$ 線性增加至 $6\text{ kN/m}$；集中力 $6\text{ kN}$ 作用於 $x=4.5\text{ m}$。

1. 求支承反力

三角形分布載重的合力及作用位置為

合力作用於三角形較大端起算 $1\text{ m}$ 處，也就是距 $A$ 點 $2\text{ m}$ 處。

由整體平衡：

2. 剪力圖

在 $0\le x\le3$，分布載重強度為

故剪力為

關鍵剪力值如下：

• $V(0^+)=+7.5\text{ kN}$
• $V(3)=7.5-3^2=-1.5\text{ kN}$
• $3<x<4.5$ 時，無分布載重，故 $V=-1.5\text{ kN}$
• $x=4.5$ 遇到向下 $6\text{ kN}$ 集中力，剪力向下跳 $6\text{ kN}$，成為 $-7.5\text{ kN}$
• $4.5<x<6$ 時，$V=-7.5\text{ kN}$；至 $B$ 點受 $+7.5\text{ kN}$ 支承反力後，剪力回到 $0$

所以剪力圖從 $A$ 點的 $+7.5$ 起，於 $0$ 至 $3\text{ m}$ 間呈向下彎曲的拋物線，在 $x=3\text{ m}$ 為 $-1.5$；接著水平至 $x=4.5\text{ m}$，再跳至 $-7.5$，水平延伸至 $B$ 點。

3. 彎矩圖

由 $dM/dx=V$，且 $M(0)=0$，在 $0\le x\le3$：

核心觀念

桁架各桿件為二力構件，先由節點平衡求出桿件軸力，再檢查受壓桿件的 Euler 挫屈荷重。兩端鉸接，因此有效長度係數 $K=1$：

圓形實心截面的慣性矩為 $I=\pi d^4/64$。只有受壓桿件會發生挫屈。

解題方法

由圖可知 $AB=2\ \mathrm{m}$、$CB=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；$C$ 位於 $AB$ 中點正上方，與 $AB$ 相距 $1\ \mathrm{m}$。

在節點 $A$ 取拉力為正，$AC$ 與水平夾角為 $45^\circ$：

所以 $AB$ 受壓，軸力大小為 $P$；$AC$ 受拉。

在節點 $C$ 平衡，可得 $CB$ 受壓、$CD$ 受拉：

因此需要檢查挫屈的桿件為 $AB$ 與 $CB$。

桿徑 $d=40\ \mathrm{mm}$，截面慣性矩為：

取 $E=210\,000\ \mathrm{N/mm^2}$。對 $AB$，$L=2000\ \mathrm{mm}$：

核心觀念

纜繩完全柔性且不伸長，表示各段纜繩只承受沿自身方向的拉力。依題目指定，於 $BC$ 段切開纜繩，分別取左、右兩側作自由體圖。對左側以 $A$ 點取矩、對右側以 $D$ 點取矩，可消去各側支承端的纜繩張力，求得兩個只含 $T_{BC}$ 與 $y$ 的力矩方程。

由圖中水平投影，$BC$ 的方向比例為水平 $4\ \mathrm{m}$、垂直 $1\ \mathrm{m}$，故其長度為 $\sqrt{17}\ \mathrm{m}$，方向單位向量的分量比例為 $(4,-1)/\sqrt{17}$。

解題方法

令 $T_{BC}=T$，以逆時針力矩為正。取 $B$ 點高程為零，則 $A$ 比 $B$ 高 $y$，而 $C$ 比 $B$ 低 $1\ \mathrm{m}$。因 $A、D$ 同高，$D$ 比 $B$ 高 $y$，因此 $C、D$ 的垂直距離為 $y+1$。

先取 $A$ 到 $B$ 的左側纜繩為自由體。在切口 $B$ 處，$T$ 沿 $BC$ 方向作用；以 $A$ 點取矩，$AB$ 段張力的作用線通過 $A$，不產生力矩。$P=3\ \mathrm{kN}$ 對 $A$ 點產生順時針力矩，因此：

整理得：

核心觀念

本題考傾角變位法在斜柱剛架的應用。桿端彎矩由桿端轉角與桿件弦轉角決定；弦轉角來自接點位移。由於剛架會側移，除 $B、C$ 點轉角外，還要納入一個側移自由度。

取桿端彎矩逆時針為正，且依圖示將 $A、D$ 視為固定端。幾何尺寸為 $AB=CD=10\ \mathrm m$、$BC=8\ \mathrm m$。斜柱的方向餘弦為 $0.6、0.8$。

解題方法

令 $B、C$ 點共同的水平位移為 $u$。假設桿件軸向變形忽略，依各桿軸向位移為零及梁 $BC$ 軸向變形為零，可得

因此三桿的弦轉角為

傾角變位方程採用

梁 $BC$ 承受向下均佈載重 $w=25\ \mathrm{kN/m}$，其固定端彎矩為