114 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・土木工程技師
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

如圖所示，一根複合軸是由一支外徑 90 mm90\ \mathrm{mm}、內徑 60 mm60\ \mathrm{mm} 的銅管，套在相同長度、直徑為 60 mm60\ \mathrm{mm} 的實心鋼軸上組成的。兩個構件的兩端被剛性固定在一起。

已知鋼材的 E=208 GPaE=208\ \mathrm{GPa}，銅材的 E=91 GPaE=91\ \mathrm{GPa}，兩材料的泊松比（Poisson's ratio）ν\nu 均為 0.30.3。

若鋼材的容許剪應力為 100 MPa100\ \mathrm{MPa}，而銅材的容許剪應力為 60 MPa60\ \mathrm{MPa}，試求此複合軸所能承受的最大扭矩。

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核心觀念

複合軸兩端剛性固定，鋼軸與銅管在接合處不會相對滑動，因此兩者的單位長度扭轉角相同。這是黏結複合軸的變形協調條件：

θL=TsGsJs=TcGcJc\frac{\theta}{L}=\frac{T_s}{G_sJ_s}=\frac{T_c}{G_cJ_c}

材料的剪變模數由彈性模數與蒲松比換算：

G=E2(1+ν)G=\frac{E}{2(1+\nu)}

圓軸扭轉時，剪應力與半徑成正比，外表面剪應力最大：

τmax⁡=GroθL\tau_{\max}=G r_o\frac{\theta}{L}

解題方法

先換算兩種材料的剪變模數：

Gs=2082(1+0.3)=80 GPaG_s=\frac{208}{2(1+0.3)}=80\ \mathrm{GPa} Gc=912(1+0.3)=35 GPaG_c=\frac{91}{2(1+0.3)}=35\ \mathrm{GPa}

鋼軸與銅管的極慣性矩分別為：

Js=π2(30)4=1.2723×106 mm4J_s=\frac{\pi}{2}(30)^4 =1.2723\times10^6\ \mathrm{mm^4} Jc=π2(454−304)=5.1683×106 mm4J_c=\frac{\pi}{2}\left(45^4-30^4\right) =5.1683\times10^6\ \mathrm{mm^4}

由各材料容許剪應力求容許扭轉率：

(θL)s,allow=10080,000(30)=4.1667×10−5 rad/mm\left(\frac{\theta}{L}\right)_{s,\mathrm{allow}} =\frac{100}{80{,}000(30)} =4.1667\times10^{-5}\ \mathrm{rad/mm}
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第 二 題25 分

ADAD 為木質梁構件，其斷面如圖所示，由 AA 點鉸接及水平 CECE 鋼纜支撐。ADAD 構件分別於 BB 及 DD 點受垂直載重作用。試求解 ADAD 構件 BB 點及 CC 點的最大壓應力。

圖示資料如下：

  • AB=4 mAB=4\ \mathrm{m}、BC=4 mBC=4\ \mathrm{m}、CD=4 mCD=4\ \mathrm{m}。
  • AE=6 mAE=6\ \mathrm{m}。
  • BB 點承受 6 kN6\ \mathrm{kN} 向下集中力。
  • DD 點承受 3 kN3\ \mathrm{kN} 向下集中力。
  • CECE 為水平鋼纜支撐。
  • 梁構件斷面尺寸為 300 mm×180 mm300\ \mathrm{mm}\times180\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

此題考斜置木梁的平面靜力分析，以及斷面軸力與彎矩造成的組合正應力。外力要沿梁軸分解成軸力與剪力；梁的最大壓應力由軸向壓應力和彎曲壓應力相加：

σmax⁡,c=NcA+∣M∣S\sigma_{\max,c}=\frac{N_c}{A}+\frac{|M|}{S}

其中 NcN_c 為軸向壓力，AA 為斷面積，MM 為斷面彎矩，S=I/cS=I/c 為斷面模數。

解題方法

依原圖尺寸線，4 m4\ \mathrm{m} 是各點的水平間距。取 A=(0,0)A=(0,0)，則 B=(4,2)B=(4,2)、C=(8,4)C=(8,4)、D=(12,6)D=(12,6)；鋼纜在 CC 點水平作用，且 AE=6 mAE=6\ \mathrm{m}。

先對整根梁取平衡。令鋼纜張力為 TT，以逆時針為正，對 AA 點取矩：

4T−6(4)−3(12)=0⇒T=15 kN4T-6(4)-3(12)=0 \quad\Rightarrow\quad T=15\ \mathrm{kN}

再由水平、垂直力平衡得：

Ax=15 kN,Ay=9 kNA_x=15\ \mathrm{kN},\qquad A_y=9\ \mathrm{kN}

梁軸方向單位向量為

et=(12,6)122+62=(2,1)5\mathbf e_t=\frac{(12,6)}{\sqrt{12^2+6^2}} =\frac{(2,1)}{\sqrt5}

題目未指定鋼纜或集中力作用處附近的單側斷面；以下採用由 AA 端朝梁內側、緊鄰各點左側的斷面（B−B^-、C−C^-）計算。集中力作用處的軸力會有跳躍，因此另列右側數值。

BB 點斷面

在 B−B^- 取斷面，左側只有 AA 點反力。軸向壓力為反力沿梁軸的分量：

NB−=(15,9)⋅(2,1)5=395=17.44 kNN_{B^-}=(15,9)\cdot\frac{(2,1)}{\sqrt5} =\frac{39}{\sqrt5} =17.44\ \mathrm{kN}

取左段對 BB 點的矩，斷面彎矩大小為

∣MB∣=∣(−4)(9)−(−2)(15)∣=6 kN⋅m|M_B|=|(-4)(9)-(-2)(15)|=6\ \mathrm{kN\cdot m}

斷面為 300 mm×180 mm300\ \mathrm{mm}\times180\ \mathrm{mm} 矩形，依圖中配置，梁平面內的斷面高度為 300 mm300\ \mathrm{mm}：

A=300(180)=54,000 mm2A=300(180)=54{,}000\ \mathrm{mm^2}
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第 三 題25 分

如圖所示之剛架，BB 點為鉸接，各桿件之 EIEI 值為常數。剛架受圖示載重作用，請利用傾角變位法（Slope-Deflection Method）求桿件之節點彎矩，並繪製剪力圖及彎矩圖。

未依指定方法作答，整題以零分計。

圖示資料如下：

  • AB=4 mAB=4\ \mathrm{m}、BE=8 mBE=8\ \mathrm{m}。
  • BC=4 mBC=4\ \mathrm{m}。
  • CD=8 mCD=8\ \mathrm{m}。
  • 構架於 AA、DD、EE 點固定。
  • BB 點為內鉸接。
  • 上方桿件 CDCD 及下方桿件 BEBE 各受一集中力 PP，作用位置如圖所示。

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核心觀念

本題以傾角變位法處理端點轉角與弦線位移，並利用 BB 點鉸接條件 MB=0M_B=0 消去鉸端轉角。BB、CC 的水平位移受構架軸向不伸長條件限制為零；BCBC 為豎直桿，故 BB、CC 的豎向位移相同，記為 δ\delta，取向上為正。CC 點轉角記為 θC\theta_C。

圖示兩個集中力均作用於跨中；AB=4 mAB=4\,\mathrm m、BE=CD=8 mBE=CD=8\,\mathrm m、BC=4 mBC=4\,\mathrm m。各桿 EIEI 相同。

解題方法

以逆時針端彎矩與向上端剪力為正。先對鉸端作凝聚，將構件端力寫成 δ\delta、θC\theta_C 的函數。ABAB、BEBE 在 BB 端均為鉸接；BCBC 在 BB 端為鉸接。跨中集中力對固定端的固定端彎矩為 PL/8PL/8。

各桿端力關係如下：

  • ABAB（BB 端鉸接，AA 固定）：
VBAB=3EIδ43,MAAB=−3EIδ42,MBAB=0.V_{B}^{AB}=\frac{3EI\delta}{4^3},\qquad M_A^{AB}=-\frac{3EI\delta}{4^2},\qquad M_B^{AB}=0.

  • BEBE（BB 端鉸接，EE 固定，跨中受 PP）： VBBE=3EIδ83+5P16,MBBE=0,V_{B}^{BE}=\frac{3EI\delta}{8^3}+\frac{5P}{16},\qquad M_B^{BE}=0, MEBE=3EIδ82−3P(8)16.M_E^{BE}=\frac{3EI\delta}{8^2}-\frac{3P(8)}{16}.

  • CDCD（CC 端與柱剛接，DD 固定，跨中受 PP）： VCCD=12EIδ83+6EIθC82+P2,V_C^{CD}=\frac{12EI\delta}{8^3}+\frac{6EI\theta_C}{8^2}+\frac P2, MCCD=6EIδ82+4EIθC8+P(8)8.M_C^{CD}=\frac{6EI\delta}{8^2}+\frac{4EI\theta_C}{8}+\frac{P(8)}8.

  • BCBC（BB 端鉸接、無側移）： MCBC=3EIθC4.M_C^{BC}=\frac{3EI\theta_C}{4}.

對共同豎向位移 δ\delta 作節點平衡，並於 CC 點作彎矩平衡：

(343+383+1283)EIδ+6EIθC82+13P16=0,\left(\frac{3}{4^3}+\frac{3}{8^3}+\frac{12}{8^3}\right)EI\delta +\frac{6EI\theta_C}{8^2}+\frac{13P}{16}=0,
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第 四 題25 分

如下圖所示桁架，請繪製該桁架 CICI、CDCD、DIDI、IJIJ 及 FLFL 桿件的影響線。

圖示資料如下：

  • 桁架總跨度為 6@6 m=36 m6@6\ \mathrm{m}=36\ \mathrm{m}。
  • 桁架高度為 8 m8\ \mathrm{m}。
  • 需繪製桿件 CICI、CDCD、DIDI、IJIJ 及 FLFL 的影響線。

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核心觀念

本題要求桁架各桿件軸力的影響線。影響線縱距表示「單位移動荷重作用於某位置時，指定桿件的軸力」。

取桿件張力為正、壓力為負。桁架幾何位置為：

  • 下弦：A、B、C、D、E、F、GA、B、C、D、E、F、G，相鄰節點距離 6 m6\ \mathrm{m}。
  • 上弦：H、I、J、K、LH、I、J、K、L，高度為 8 m8\ \mathrm{m}。
  • 支承：AA 為鉸支承，EE 為滾支承。

本題可用節點法與截面法，將單位荷重依序放在下弦節點，求出指定桿件軸力。荷重位於相鄰節點之間時，桁架桿件力的影響線縱距以直線連接。

解題方法

令單位向下荷重作用於距 AA 點 xx 公尺處。由整體平衡：

RA+RE=1,24RE=xR_A+R_E=1,\qquad 24R_E=x

因此：

RE=x24,RA=1−x24R_E=\frac{x}{24},\qquad R_A=1-\frac{x}{24}

荷重依序置於 AA 至 GG 時，x=0、6、12、18、24、30、36 mx=0、6、12、18、24、30、36\ \mathrm{m}。每個位置先求支承反力，再以節點平衡式 ∑Fx=0、∑Fy=0\sum F_x=0、\sum F_y=0，搭配適當截面求目標桿件軸力。

例如，單位荷重置於 FF 點時，FF 點的豎向外力為向下 11；相鄰下弦桿 EF、FGEF、FG 為水平桿，無豎向分力，因此由該節點豎向平衡，FLFL 桿需提供向上 11 的力，故 FLFL 為張力，影響線縱距為 +1+1。其餘荷重位置依同一方法求得下表。

影響線縱距

下表各欄為單位荷重位於該節點時，指定桿件的軸力影響線縱距：

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