110 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・土木工程技師
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

一、 一彈性均勻鐵軌以強力扣件固定於間距為 75 cm75\ \mathrm{cm} 之軌枕，鐵軌之降伏應力為 360 MPa360\ \mathrm{MPa}；若其張應力及壓應力安全係數分別為 1.51.5 及 3.03.0，材料彈性模數為 200 GPa200\ \mathrm{GPa}，膨脹係數為 1.5×10−5/∘C1.5\times10^{-5}/^\circ\mathrm{C}。假設軌道固定軌枕時之溫度為 24∘C24^\circ\mathrm{C}，若扣件間完全無滑脫，試求該軌道之安全溫度範圍。

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核心觀念

軌道被扣件完全固定，升降溫時不能自由伸縮，因此會產生熱應力。固定端構件的熱應力為

σT=−EαΔT\sigma_T=-E\alpha\Delta T

其中 ΔT=T−24∘C\Delta T=T-24^\circ\mathrm C。升溫時產生壓應力，降溫時產生張應力。題目給定的扣件間距不影響此熱應力計算；在完全無滑脫的假設下，整段軌道的縱向伸縮均受拘束。

解題方法

先依降伏應力與安全係數求容許張、壓應力：

σt,allow=3601.5=240 MPa\sigma_{t,\mathrm{allow}}=\frac{360}{1.5}=240\ \mathrm{MPa} σc,allow=3603.0=120 MPa\sigma_{c,\mathrm{allow}}=\frac{360}{3.0}=120\ \mathrm{MPa}

降溫造成張應力，故須滿足

Eα(24−T)≤240 MPaE\alpha(24-T)\le 240\ \mathrm{MPa}

升溫造成壓應力，故須滿足

Eα(T−24)≤120 MPaE\alpha(T-24)\le 120\ \mathrm{MPa}
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第 二 題25 分

二、 一 8 m8\ \mathrm{m} 長、上下不對稱斷面之 I 型懸臂梁承受一均布載重 15 kN/m15\ \mathrm{kN/m}（如圖一(a)所示），斷面尺寸則如圖一(b)所示。今在其自由端點施加一具偏心距 ee 之軸向壓力 1500 kN1500\ \mathrm{kN}。

（一）試求可使梁斷面不產生張應力之最小偏心距。

（二）另求出前述最小偏心距時梁斷面之最大壓應力值。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖一(a)：懸臂梁長度為 8 m8\ \mathrm{m}，全長承受向下均布載重 15 kN/m15\ \mathrm{kN/m}，自由端承受軸向壓力 1500 kN1500\ \mathrm{kN}，作用線與梁之水平中心線相距偏心距 ee。

圖一(b)：I 型斷面尺寸包含上翼板寬 50 cm50\ \mathrm{cm}、厚 20 cm20\ \mathrm{cm}，腹板厚 15 cm15\ \mathrm{cm}、高 40 cm40\ \mathrm{cm}，下翼板寬 40 cm40\ \mathrm{cm}、厚 20 cm20\ \mathrm{cm}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查偏心軸壓與梁彎矩共同作用時的正應力，以及斷面核心（kern）的概念。軸向壓力 PP 作用於形心外距離 ee 處，會產生彎矩 PePe。懸臂梁的均布載重則在固定端產生最大彎矩：

Mw=wL22M_w=\frac{wL^2}{2}

依圖示，偏心壓力作用線位於形心上方，所生彎矩抵銷均布載重造成的固定端彎矩。以下以壓應力為負，並將「不產生張應力」解讀為梁上、下緣沿全長皆無張應力。

解題方法

先求斷面形心與對形心軸的慣性矩。取斷面頂部為 y=0y=0，各部分資料為：

部位面積 AiA_i（cm2^2）形心位置 yiy_i（cm）
上翼板 50×2050\times20100010
腹板 15×4015\times4060040
下翼板 40×2040\times2080070

總面積為

A=1000+600+800=2400 cm2A=1000+600+800=2400\ \mathrm{cm^2}

形心距頂面：

yˉ=1000(10)+600(40)+800(70)2400=37.5 cm\bar y=\frac{1000(10)+600(40)+800(70)}{2400} =37.5\ \mathrm{cm}

因此，上、下緣到形心的距離分別為

ct=37.5 cm=0.375 m,cb=42.5 cm=0.425 mc_t=37.5\ \mathrm{cm}=0.375\ \mathrm{m},\qquad c_b=42.5\ \mathrm{cm}=0.425\ \mathrm{m}

依平行軸定理，形心軸慣性矩為

I=(50(20)312+1000(27.5)2)+(15(40)312+600(2.5)2)+(40(20)312+800(32.5)2)=1,745,000 cm4=0.01745 m4\begin{aligned} I ={}&\left(\frac{50(20)^3}{12}+1000(27.5)^2\right)\\ &+\left(\frac{15(40)^3}{12}+600(2.5)^2\right)\\ &+\left(\frac{40(20)^3}{12}+800(32.5)^2\right)\\ ={}&1{,}745{,}000\ \mathrm{cm^4} =0.01745\ \mathrm{m^4} \end{aligned}

梁長 L=8 mL=8\ \mathrm{m}，均布載重 w=15 kN/mw=15\ \mathrm{kN/m}，固定端彎矩為

Mw=15(8)22=480 kN⋅mM_w=\frac{15(8)^2}{2}=480\ \mathrm{kN\cdot m}

令 xx 自固定端量起，重力載重造成的彎矩大小為

Mw(x)=w(L−x)22M_w(x)=\frac{w(L-x)^2}{2}

合成彎矩取為

MR(x)=Mw(x)−PeM_R(x)=M_w(x)-Pe

截面上、下緣的正應力分別為

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第 三 題25 分

三、 如圖二所示之一靜定剛架結構系統 ABCDABCD，其中 AA 端為鉸支承、DD 端為滾支承。ABAB、CDCD 桿長 4 m4\ \mathrm{m}，撓曲剛度為 2EI2EI，BB 節點承受一向右集中載重 30 kN30\ \mathrm{kN}。BCBC 桿長 6 m6\ \mathrm{m}，撓曲剛度則為 EIEI，承受一向下之均布載重 10 kN/m10\ \mathrm{kN/m}。

（一）試求此系統之撓曲應變能（strain energy）。

（二）另請以單位載重法或其他任意方法求 CC 節點與 DD 端點水平變位之比值。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖二：ABAB、CDCD 為垂直桿件，各長 4 m4\ \mathrm{m}，撓曲剛度均為 2EI2EI；BCBC 為水平桿件，長 6 m6\ \mathrm{m}，撓曲剛度為 EIEI。AA 端為鉸支承，DD 端為滾支承；BB 點受向右集中載重 30 kN30\ \mathrm{kN}，BCBC 桿承受向下均布載重 10 kN/m10\ \mathrm{kN/m}。

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核心觀念

本題用彎矩圖計算撓曲應變能，並以單位載重法求水平位移：

U=∑i∫LiM22(EI)i ds,δ=∑i∫LiMm(EI)i dsU=\sum_i\int_{L_i}\frac{M^2}{2(EI)_i}\,ds, \qquad \delta=\sum_i\int_{L_i}\frac{Mm}{(EI)_i}\,ds

其中 MM 是實際載重造成的彎矩，mm 是所求位移方向施加單位力後的彎矩。題目只提供 EIEI，以下依一般撓曲分析假設忽略軸向變形。

解題方法

取 xx 自 BB 沿 BCBC 向右，取 ss 自 AA 沿 ABAB 向下。由整體平衡：

Ax=−30 kN,Ay=50 kN,Dy=10 kNA_x=-30\ \mathrm{kN},\qquad A_y=50\ \mathrm{kN},\qquad D_y=10\ \mathrm{kN}

彎矩正負號採一致慣例；計算應變能時，彎矩平方不受正負號影響。

（一）撓曲應變能

ABAB 無分布載重，彎矩由 AA 端的零線性增加至 BB 端的 120 kN m120\ \mathrm{kN\,m}，故

MAB=−30s,0≤s≤4M_{AB}=-30s,\qquad 0\le s\le4

在 BCBC 上，BB 端彎矩為 −120 kN m-120\ \mathrm{kN\,m}，剪力為 50−10x50-10x，因此

MBC=−120+50x−5x2,0≤x≤6M_{BC}=-120+50x-5x^2,\qquad 0\le x\le6

CDCD 僅承受軸力，沒有彎曲，故 MCD=0M_{CD}=0。依各桿件撓曲剛度計算：

U=∫04(−30s)22(2EI) ds+∫06(−120+50x−5x2)22EI dx=4800EI+136802EI=11640EI\begin{aligned} U &=\int_0^4\frac{(-30s)^2}{2(2EI)}\,ds +\int_0^6\frac{(-120+50x-5x^2)^2}{2EI}\,dx\\ &=\frac{4800}{EI}+\frac{13680}{2EI}\\ &=\boxed{\frac{11640}{EI}} \end{aligned}

此處的 EIEI 使用題目所給的撓曲剛度單位；應變能單位為 kN m\mathrm{kN\,m}。

（二）CC 節點與 DD 端水平變位之比

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第 四 題25 分

四、 一對稱剛架系統 ABCDEABCDE 具有四根桿件以直角相接，各桿長度皆為 LL，彎曲剛度皆為 EIEI。現於 CC 節點承受一集中載重 PP，如下圖三所示。試求各端點彎矩及 CC 節點垂直變位。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖三：剛架由四根桿件 ABAB、BCBC、CDCD、DEDE 組成，各桿長度皆為 LL，彎曲剛度皆為 EIEI；桿件於 BB、CC、DD 節點以直角相接。結構左右對稱，AA、EE 端為固定端。CC 節點承受向下集中載重 PP。圖中 AA 至 CC、CC 至 EE 的水平投影長度各為 2L\sqrt{2}L，DEDE 桿件與水平線夾角為 45∘45^\circ。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查對稱剛架的對稱條件、斜桿弦轉角、斜率位移法與應變能。題目未提供 EAEA，以下依剛架分析常用假設，忽略桿件軸向變形與剪切變形，只計彎曲變形。

由左右對稱可知，CC 點只會垂直位移，且轉角為零。取左半剛架 ABCABC 分析；BB 點轉角未知，AA 固定。

解題方法

令 CC 點向下位移為 δ\delta。兩桿軸向變形忽略，且 AA 固定。由 ABAB、BCBC 的軸向相容條件，可得 BB 點水平及垂直位移的量值皆為 δ/2\delta/2。因此，兩桿的弦轉角量值相同：

∣ψ∣=δ2L|\psi|=\frac{\delta}{\sqrt{2}L}

以逆時針為正，配合向下位移，左半剛架兩桿的弦轉角皆為 ψ=−δ/(2L)\psi=-\delta/(\sqrt{2}L)。

斜率位移式寫為

Mi=EIL(4θi+2θj−6ψ),Mj=EIL(2θi+4θj−6ψ)M_i=\frac{EI}{L}(4\theta_i+2\theta_j-6\psi),\qquad M_j=\frac{EI}{L}(2\theta_i+4\theta_j-6\psi)

其中 θi,θj\theta_i,\theta_j 為桿件兩端轉角，Mi,MjM_i,M_j 為相應節點上的端彎矩。

在 BB 點，ABAB 與 BCBC 的端彎矩量值相同；BB 點沒有外加力矩，故兩端彎矩的代數和為零：

2EIL(4θB−6ψ)=0⟹θB=32ψ2\frac{EI}{L}(4\theta_B-6\psi)=0 \quad\Longrightarrow\quad \theta_B=\frac{3}{2}\psi

代回斜率位移式，得到左半剛架的端彎矩：

MAB,A=MBC,C=EIL(2θB−6ψ)=−3EILψM_{AB,A}=M_{BC,C} =\frac{EI}{L}(2\theta_B-6\psi) =-\frac{3EI}{L}\psi

而 BB 點兩側端彎矩皆為零。代入 ψ=−δ/(2L)\psi=-\delta/(\sqrt{2}L)，左半剛架在 AA 端及 CC 端的彎矩量值為

∣M∣=3EIδ2L2|M|=\frac{3EI\delta}{\sqrt{2}L^2}

求 CC 點垂直位移

單一桿件的彎曲應變能可寫成

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