110 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

核心觀念

本題考查全站儀由斜距、天頂距與水平角求平面坐標，以及依儀器精度傳播觀測誤差。

坐標以東向為 $E$、北向為 $N$。水平角自後視方向 $AB$ 起算，順時鐘旋轉；因此觀測方向的方位角為

方位角由北方向順時鐘量起。天頂距 $z$ 由天頂量起，斜距為 $S$，其水平距離為

故坐標增量為

解題方法

先由 $A、B$ 坐標差求後視方位角：

因 $A\to B$ 位於東北象限，方位角為 $79^\circ41'39.9''$。加上順時鐘水平角：

天頂距 $z=95^\circ15'00''$，因此水平距離為

坐標增量：

所以

誤差計算

測距標準差依題示精度取

測角精度為 $\pm5''$。按精度標示作為中誤差使用，並換算為弧度：

以 $E_C,N_C$ 對觀測量 $S,z,\alpha$ 進行誤差傳播。令 $\alpha=\alpha_{AC}$，有

採用儀器觀測量彼此獨立，且 $A、B$ 坐標視為無誤差的假設。偏導數為

核心觀念

本題考查由兩條獨立測量路線得到同一點坐標成果時，如何依測量精度加權，求得各坐標分量的最或然值及其中誤差。

題目只提供路線長，未另給角度、距離或高程觀測的精度資料，因此依常用假設，視各路線的坐標中誤差與路線長平方根成正比。故路線權數與路線長成反比：

加權平均值及其單位權中誤差分別為：

其中 $v_i=x_i-\hat{x}$，$n$ 為成果數。本題每一坐標分量均有兩筆成果，故 $n=2$。

解題方法

兩路線長分別為 $L_A=4.0\ \mathrm{km}$、$L_B=2.5\ \mathrm{km}$，取權數：

將權數同比例放大，取 $p_A=5$、$p_B=8$，不改變加權平均值及所求中誤差。短路線 $B\to P$ 權數較大，對成果的影響也較大。

橫坐標

殘差為：

核心觀念

這題考四邊形對角線交會後的角度條件平差。令兩條對角線交點為 $O$，對頂角相等，因此：

又因三角形 $ABC$ 內角和為 $180^\circ$：

合併上述條件，可建立兩個觀測角條件：

同一台經緯儀觀測的六個角，依等精度觀測處理，以最小二乘法求改正數。

解題方法

先計算兩個角度條件的閉合差：

設六個角的改正數依序為 $v_3,v_4,v_5,v_6,v_7,v_8$，則需滿足：

以最小二乘法求得：

核心觀念

本題考查 1/1000 數值航測地形圖測製前，如何確認已知平面控制點與高程控制點的點位及成果可靠，以及成果檢查時的抽查數量與合格標準。作答應區分兩層：

1. 檢測原則：測製單位如何實地檢測控制點，並將實測成果與已知成果比較。
2. 檢測標準：成果檢查時抽查多少點、檢查什麼，以及如何判定通過。

以下依命題當年適用的《一千分之一數值航測地形圖測製作業規定》及《一千分之一數值航測地形圖成果檢查作業規定》作答；以民國 110 年法規為準。上述規定於民國 111 年修正，解題仍採命題當年標準。

解題方法：檢測原則

一、已知平面控制點（衛星控制點）

依符合《基本測量實施規則》加密控制測量相關規定的方法檢測。檢測時應以相鄰三個點位為一組，量測點間夾角及邊長，並與已知點坐標反算所得的角度、邊長比較。

• 角度較差不得超過 $20''$。
• 邊長須先作必要改正；實測值與已知值的差比數不得大於 $1/20{,}000$。

邊長差比數可表示為：

二、已知高程控制點（水準點）

原則上以直接水準測量檢測相鄰兩點間的高程差；每一測段均須往返觀測，並同時檢查往返閉合差及實測高程差與原高程差的差異。

令 $K$ 為水準測量路線長度，單位為公里：

• 每測段往返閉合差不得大於 $10\sqrt{K}$ 毫米。
• 檢測所得高程差與原高程差之較差，不得大於 $10\sqrt{K}$ 毫米；此處 $K$ 依水準路線長度計。