113 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

核心觀念

本題考查以小型無人飛行載具（UAV）進行大範圍地形測量時，如何把「測量需求」轉成可執行的航拍與地面作業計畫。規劃重點包括成果精度與解析度、航高與相機、航線與影像重疊、地面控制與檢核、飛航環境與安全，以及影像處理和成果驗收。

UAV 空拍先取得有重疊的影像，再透過空中三角測量與攝影測量處理，產製正射影像、點雲、數值表面模型（DSM）或數值地形模型（DTM）。成果精度不是單靠增加影像數量決定，而是受到 GSD、影像品質、控制點分布、空中三角測量幾何與地物特性共同影響。

解題方法

一、先確認測量需求與成果規格

施測前先確認測區範圍、地形起伏、地物型態及預定成果用途，例如施工規劃、土方計算或地形圖測製，並據此訂定：

• 成果坐標系統與高程基準。
• 所需平面、高程精度。
• 成果比例尺或地面解析度。
• 需要產製的成果：正射影像、DSM、DTM、等高線或三維點雲。
• 成果涵蓋範圍及驗收方式。

若用於地形測繪，須特別確認目標是地表高程還是包含樹木、建物的表面高程。攝影測量直接產製的 DSM 通常反映可見表面；DTM 則須經地面點分類、植被或建物剔除等處理。

二、選擇相機並規劃航高與 GSD

GSD（地面取樣距離）表示影像一個像元對應的地面長度。垂直攝影且地形起伏不大時，可用下式估算：

$$GSD \approx \frac{H \cdot p}{f}$$

其中：

• $H$：相機至地面的攝影高度。
• $p$：相機感光元件的像元尺寸。
• $f$：相機焦距。

因此，航高降低或焦距增加，通常會使 GSD 變小、地面解析度提高；但航高降低會縮小單張影像涵蓋範圍，增加照片數量與飛行時間。規劃時應依成果精度選定 GSD，再依相機參數反算適當航高，並考慮地形高差，避免高地與低地的實際 GSD 相差過大。

三、規劃航線、影像重疊率及拍攝方式

大範圍測區通常採平行航帶覆蓋測區，並在測區外緣預留適當延伸範圍，使邊界也有足夠重疊影像。常用起始規劃值為：

• 航向重疊率：通常約 $80\%$。
• 旁向重疊率：通常約 $60\%$ 至 $70\%$；地形起伏大、植被多或三維重建需求高時可提高。

這些是常見規劃值，不是適用所有任務的固定規定，仍須依地形、相機、風況及成果精度調整。重疊率過低，容易造成影像匹配中斷或模型破洞；重疊率提高則會增加影像數量、處理量與電池需求。

若單張影像地面涵蓋長度為 $L$、航向重疊率為 $P_f$，相鄰曝光位置間距可估為：

$$B_f = L(1-P_f)$$

若影像地面涵蓋寬度為 $W$、旁向重疊率為 $P_s$，相鄰航帶間距可估為：

$$B_s = W(1-P_s)$$

其中 $P_f$、$P_s$ 以小數表示。實際飛行計畫還須納入測區外延、轉彎空間及地形高差。地形變化明顯時，可採地形跟隨飛行或分區設定航高，以維持較一致的 GSD 和重疊。

核心觀念

本題考查利用全測站經緯儀，依兩個已知控制點的平面坐標，求第三個未知點坐標的測量方法，以及測量幾何對成果精度的影響。

設已知控制點為 $A、B$，未知點為 $P$。全測站可觀測水平角及水平距離，因此可用角度、距離或兩者組合來求解。常見作法可歸納為三種：

1. 極坐標法：在一個已知點架站，利用另一已知點定向，再量測至未知點的角度與距離。
2. 前方交會法：在兩個已知點分別觀測未知點，以角度交會求其位置。
3. 距離交會法：由兩個已知點分別量測至未知點的距離，以兩圓交點求其位置。

解題方法

令 $A=(E_A,N_A)$、$B=(E_B,N_B)$。

一、極坐標法

在 $A$ 架設儀器，以 $B$ 為後視點定向，觀測 $P$ 的水平角 $\theta$ 與水平距離 $s=AP$。先由已知坐標求 $AB$ 方位角 $\alpha_{AB}$，則

$$\alpha_{AP}=\alpha_{AB}+\theta$$

（角度方向及象限須依實際定義調整），並計算

$$E_P=E_A+s\sin\alpha_{AP},\qquad N_P=N_A+s\cos\alpha_{AP}.$$

此法直接使用距離與方向求坐標，作業快速；但成果主要受測站定向、角度與距離觀測誤差影響。可在 $B$ 另行觀測一次，或增加其他控制點檢核。

二、前方交會法

分別在 $A、B$ 架站觀測 $P$ 的方向角，求兩條觀測射線的交點。若兩站觀測的方向角為 $\alpha_A、\alpha_B$，可由射線方程聯立求 $P$；亦可先求三角形 $ABP$ 的內角，再以正弦定理求 $AP、BP$，最後由其中一站的方位角與距離換算坐標。

例如已知基線長 $c=AB$，且量得內角 $\angle A、\angle B$，則

$$\angle P=180^\circ-\angle A-\angle B, \qquad AP=\frac{c\sin\angle B}{\sin\angle P}.$$

再以 $A$ 點坐標、$AP$ 及 $AP$ 方位角計算 $P$ 坐標。此法不必直接量測至 $P$ 的距離，但交會角過小或接近 $180^\circ$ 時，位置對角度誤差非常敏感。

核心觀念

水準測量的閉合差，是實測高程差與理論上應有高程差之差。它用來檢核觀測成果是否符合規定精度；通過限差檢核後，才能進一步進行誤差分配或平差。

水準測量的基本高程差為：

$$\Delta h = \sum BS-\sum FS$$

其中：

• $BS$：後視讀數。
• $FS$：前視讀數。
• $\Delta h$：由觀測求得的高程差。

解題方法

依水準路線型態，先求實測高程差，再與已知或理論高程差比較。

1. 閉合水準路線

路線由已知點出發，最後回到同一點。理論高程差為零，因此閉合差為：

$$f_h=\sum \Delta h =\sum BS-\sum FS$$

閉合差的正負表示實測高程差的方向；檢定時以其絕對值比較限差。

2. 附合水準路線

路線由已知水準點 $A$ 出發，終點為另一已知水準點 $B$。已知高程差為 $H_B-H_A$，因此：

$$f_h=\sum \Delta h_{\text{實測}}-(H_B-H_A)$$

也可寫成：

$$f_h=\sum BS-\sum FS-(H_B-H_A)$$

若 $f_h=0$，表示實測高程差與已知高程差相符；若不為零，則以 $|f_h|$ 檢核容許限差。

3. 往返水準測量

同一測段分別由去程、返程觀測，將兩方向的高程差統一為相同方向後，其往返較差為：

$$f_{往返}=\Delta h_{\text{去}}-\Delta h_{\text{返，同方向}}$$

往返觀測差是測段檢核量；它與閉合水準環線或附合路線的閉合差用途相近，但計算對象不同。

閉合差標準檢定

一般水準測量常以路線長度平方根乘上規定係數表示容許閉合差：

$$|f_h|\leq C\sqrt{K}$$

其中：

核心觀念

本題考單圓曲線的幾何元素與樁號推算。已知曲線半徑 $R$、中心角 $I$ 及切線交點（IP）樁號，須先求曲線長度 $L$、切線長度 $T$，再由 IP 樁號分別加減切線長度，求曲線起點（BC）及終點（EC）樁號。

樁號以公尺表示時，$120\text{ K}+500\text{ m}$ 即為 $120{,}500\text{ m}$。本題未涉及法條。

解題方法

將中心角換算為弧度後，以圓弧長公式求曲線長度；切線長度則由直角三角形關係，以半徑與半中心角計算：

$$I=30^\circ=\frac{\pi}{6}\text{ rad}$$

曲線長度：

$$L=R I=450\times\frac{\pi}{6}=75\pi \approx235.619\text{ m}$$

切線長度：

$$T=R\tan\frac{I}{2} =450\tan15^\circ \approx120.577\text{ m}$$

對稱單圓曲線中，IP 位於 BC、EC 的切線交會處，因此：

$$\text{BC 樁號}=\text{IP 樁號}-T$$ $$\text{EC 樁號}=\text{IP 樁號}+T$$

以公尺樁號計算：

$$\text{BC}=120{,}500-120.577 =120{,}379.423\text{ m}$$ $$\text{EC}=120{,}500+120.577 =120{,}620.577\text{ m}$$

換回 K 樁號表示：