109 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・土木工程技師
試題代碼 工程測量（包括平面測量與施工測量）

第 1 題25 分

如下圖所示之土體，已知每五公尺間隔之斷面面積分別為 A1=10±0.1 m2A_1=10\pm0.1\,\mathrm{m^2}、A2=15±0.1 m2A_2=15\pm0.1\,\mathrm{m^2} 以及 A3=13±0.1 m2A_3=13\pm0.1\,\mathrm{m^2}，請以稜柱體法計算其體積以及體積之標準誤差，並說明計算之假設條件。

【附圖：土體示意圖，標示斷面 A1A_1、A2A_2、A3A_3，並標有 10 m。】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查以稜柱體法（Prismoidal Formula）計算土方體積，並用誤差傳播公式求體積的標準誤差。稜柱體法以兩端斷面及中央斷面面積計算：

V=L6(A1+4A2+A3)V=\frac{L}{6}(A_1+4A_2+A_3)

其中 LL 為兩端斷面間距，A2A_2 為中間斷面面積。圖示 A1A_1 至 A3A_3 相距 10 m10\,\mathrm{m}，中間斷面間隔均為 5 m5\,\mathrm{m}。

解題方法

代入 L=10 mL=10\,\mathrm{m}、A1=10 m2A_1=10\,\mathrm{m^2}、A2=15 m2A_2=15\,\mathrm{m^2}、A3=13 m2A_3=13\,\mathrm{m^2}：

V=106(10+4×15+13)=106×83=138.33 m3\begin{aligned} V &=\frac{10}{6}(10+4\times15+13)\\ &=\frac{10}{6}\times83\\ &=138.33\,\mathrm{m^3} \end{aligned}

將各斷面面積的 ±0.1 m2\pm0.1\,\mathrm{m^2} 視為標準誤差，並假設三者誤差互相獨立。由誤差傳播公式：

σV2=(∂V∂A1)2σA12+(∂V∂A2)2σA22+(∂V∂A3)2σA32\sigma_V^2= \left(\frac{\partial V}{\partial A_1}\right)^2\sigma_{A_1}^2+ \left(\frac{\partial V}{\partial A_2}\right)^2\sigma_{A_2}^2+ \left(\frac{\partial V}{\partial A_3}\right)^2\sigma_{A_3}^2

由體積公式可得：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題25 分

某人以測角精度 ±5′′\pm5''、測距精度 ±(2 mm+3 ppm)\pm(2\,\mathrm{mm}+3\,\mathrm{ppm}) 之全測站，由 AA 點

(EA,NA)=(100.000 m,200.000 m)(E_A,N_A)=(100.000\,\mathrm{m},200.000\,\mathrm{m})

觀測 BB 點坐標，得方位角 ∠P\angle P 為 45∘30′00′′45^\circ30'00''，水平距 SS 為 320.051 m320.051\,\mathrm{m}。請計算 BB 點之坐標以及其精度。

【附圖：坐標示意圖，標示北向 NN、東向 EE、點 AA、點 BB、方位角 ∠P\angle P 及水平距 SS。】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查全測站極座標放樣／測站觀測的坐標換算，以及距離與方向角誤差傳遞。圖示方位角由北向順時針量起，因此：

ΔE=Ssin⁡α,ΔN=Scos⁡α\Delta E=S\sin\alpha,\qquad \Delta N=S\cos\alpha

若距離與角度誤差互相獨立，坐標分量的精度以誤差傳播公式計算：

mE=(∂E∂SmS)2+(∂E∂αmα)2m_E=\sqrt{\left(\frac{\partial E}{\partial S}m_S\right)^2+ \left(\frac{\partial E}{\partial \alpha}m_\alpha\right)^2} mN=(∂N∂SmS)2+(∂N∂αmα)2m_N=\sqrt{\left(\frac{\partial N}{\partial S}m_S\right)^2+ \left(\frac{\partial N}{\partial \alpha}m_\alpha\right)^2}

以下將題目所列的「±」精度視為相互獨立的標準誤差，採均方根合成。

解題方法

已知 AA 點坐標為 (EA,NA)=(100.000,200.000) m(E_A,N_A)=(100.000,200.000)\,\mathrm{m}，方位角與水平距為：

α=45∘30′00′′=45.5∘,S=320.051 m\alpha=45^\circ30'00''=45.5^\circ,\qquad S=320.051\,\mathrm{m}

先計算坐標增量：

ΔE=320.051sin⁡45.5∘=228.2765 m\Delta E=320.051\sin45.5^\circ=228.2765\,\mathrm{m} ΔN=320.051cos⁡45.5∘=224.3267 m\Delta N=320.051\cos45.5^\circ=224.3267\,\mathrm{m}

因此：

EB=EA+ΔE=100.000+228.2765=328.2765 mE_B=E_A+\Delta E=100.000+228.2765=328.2765\,\mathrm{m} NB=NA+ΔN=200.000+224.3267=424.3267 mN_B=N_A+\Delta N=200.000+224.3267=424.3267\,\mathrm{m}

再計算距離與角度精度。距離精度為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 3 題25 分

已知某一水準儀之視準軸誤差為 30′30'（向下），後視觀測之上、中、下絲水準尺讀數分別為 1.038 m1.038\,\mathrm{m}、0.950 m0.950\,\mathrm{m}、0.862 m0.862\,\mathrm{m}；前視觀測之上、中、下絲水準尺讀數分別為 1.260 m1.260\,\mathrm{m}、1.010 m1.010\,\mathrm{m}、0.760 m0.760\,\mathrm{m}。假設該水準儀之視距常數為 100，請計算該兩點間之高程差值。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查水準測量中利用上下絲讀數計算視距，以及視準軸誤差對前、後視讀數的改正。視距常數 K=100K=100 時，視距為：

D=K(上絲讀數−下絲讀數)D=K(\text{上絲讀數}-\text{下絲讀數})

視準軸向下傾斜 30′30'，會使遠處水準尺的讀數較正確水平視線讀數為大。若視準軸向下角為 α\alpha，距離為 DD，則視線在該距離處的垂直偏差為 Dtan⁡αD\tan\alpha。因此，觀測讀數改正為：

r改正=r觀測−Dtan⁡αr_{\text{改正}}=r_{\text{觀測}}-D\tan\alpha

高程差以「後視改正讀數減前視改正讀數」計算。

解題方法

先由上、下絲讀數求出後視與前視距離：

D後=100(1.038−0.862)=17.6 mD_{\text{後}}=100(1.038-0.862)=17.6\ \mathrm{m} D前=100(1.260−0.760)=50.0 mD_{\text{前}}=100(1.260-0.760)=50.0\ \mathrm{m}

視準軸誤差角為：

α=30′=3060∘=0.5∘\alpha=30'=\frac{30}{60}^{\circ}=0.5^{\circ}

後視讀數的改正量為：

c後=17.6tan⁡0.5∘≈0.1534 mc_{\text{後}}=17.6\tan 0.5^{\circ}\approx0.1534\ \mathrm{m}

前視讀數的改正量為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題25 分

大氣延遲所造成的誤差是影響全球導航衛星系統（GNSS）觀測成果品質的重要因素。請說明如何以差分觀測技術消除此誤差，請配合圖形解釋，並說明其適用條件或限制。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

大氣延遲包含電離層延遲與對流層延遲，會使 GNSS 訊號傳播距離產生偏差。差分觀測的基本想法，是讓兩個觀測共用同一個誤差來源，再以相減抵銷共同誤差。

常用的差分有兩種：

  • 站間差分（單差）：同一顆衛星、兩部接收儀，同時觀測。
  • 星間差分（雙差）：再以另一顆衛星的單差相減。

雙差可消除衛星鐘差與接收儀鐘差；在基線夠短、觀測同步且大氣狀況相近時，也可大幅削弱大氣延遲。須注意，大氣延遲不是在所有情況下都能被差分完全消除。

解題方法：由觀測方程看誤差如何抵銷

設兩部接收儀為 A、BA、B，觀測同一顆衛星 ss。以距離單位表示的載波相位觀測方程可簡化寫為：

ΦAs=ρAs+c(δtA−δts)−IAs+TAs+λNAs+εAs\Phi_A^s = \rho_A^s+c(\delta t_A-\delta t^s) -I_A^s+T_A^s+\lambda N_A^s+\varepsilon_A^s

其中 ρ\rho 為幾何距離，δtA、δts\delta t_A、\delta t^s 分別為接收儀鐘差與衛星鐘差，I、TI、T 分別為電離層與對流層延遲，NN 為整數模糊度，λ\lambda 為波長，ε\varepsilon 為觀測雜訊。

一、站間單差

以接收儀 A、BA、B 對同一顆衛星 ss 的觀測相減：

∇ABΦs=ΦAs−ΦBs\nabla_{AB}\Phi^s =\Phi_A^s-\Phi_B^s

代入觀測方程後，衛星鐘差 δts\delta t^s 消去：

∇ABΦs=∇ABρs+cδtAB−∇ABIs+∇ABTs+λ∇ABNs+∇ABεs\nabla_{AB}\Phi^s =\nabla_{AB}\rho^s+c\delta t_{AB} -\nabla_{AB}I^s+\nabla_{AB}T^s +\lambda\nabla_{AB}N^s+\nabla_{AB}\varepsilon^s

此處 δtAB=δtA−δtB\delta t_{AB}=\delta t_A-\delta t_B。當 A、BA、B 相距很近，兩站至衛星的訊號路徑經過相近的大氣區域，因此 ∇ABIs\nabla_{AB}I^s 與 ∇ABTs\nabla_{AB}T^s 很小，單差便可削弱大氣延遲。這是利用空間相關性消除共同誤差。

二、星間差分形成雙差

再選另一顆衛星 rr，將衛星 s、rs、r 的站間單差相減：

∇ΔABsrΦ=∇ABΦs−∇ABΦr\nabla\Delta_{AB}^{sr}\Phi =\nabla_{AB}\Phi^s-\nabla_{AB}\Phi^r

接收儀鐘差項也因此消去。雙差觀測可寫成：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

土木工程技師《工程測量（包括平面測量與施工測量）》其他年度

114113112111110