112 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

核心觀念

本題比較兩種處理角度測量誤差的方法：正倒鏡觀測是利用望遠鏡正鏡（盤左）與倒鏡（盤右）觀測同一目標，讓某些儀器誤差在兩測回平均時相互抵消；雙軸補償則是以感測器量測儀器的兩個方向傾斜，並對角度讀數作電子修正。

全測站的豎軸理想上應鉛直。儀器整平後仍有微小傾斜時，水平角與天頂距可能受到影響。雙軸補償器的功能，是量測豎軸在兩個互相垂直方向的傾斜分量，修正其可補償範圍內的影響；它不會讓儀器實際變成完全整平。

解題方法

比較時要依序看兩件事：各方法針對哪種誤差、哪些誤差仍須靠其他方式處理。

正倒鏡觀測的功效

對同一目標分別以正鏡、倒鏡觀測，再將兩次讀數化到相同方向基準後取平均，可大幅抵消或檢核部分與望遠鏡位置有關的儀器誤差，例如視準軸誤差及橫軸誤差。觀測水平角時，常見作法是正、倒鏡各觀測角的起點與終點，再分別算出角值，最後平均。

正倒鏡觀測也提供幾何條件檢核：同一方向的正倒鏡讀數應符合儀器的理論關係；若差異過大，可發現觀測或儀器狀況異常。其效果建立在正倒鏡觀測同一目標、操作正確且儀器穩定的前提下。

正倒鏡觀測不能消除所有誤差。例如對中與照準誤差、目標或儀器移動、刻度與讀數誤差等，仍須靠良好操作、適當觀測程序及重複觀測控制。

核心觀念

三條水準測線各自提供一個 $P$ 點高程估值。水準測量的標準差與測線長度平方根成正比，因此方差與測線長度成正比；題目又指定權與方差成反比，故各測線權數與長度成反比。

若以 $H_i$ 表示由第 $i$ 條測線得到的 $P$ 點高程估值，則加權平均高程及其先驗標準差為

其中 $\sigma_0$ 是各觀測量採用同一基準權時的單位權標準差。

（一）先驗標準差

水準測量標準差為 $20\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$，故各測線觀測標準差及方差為

因此取相對權數 $p_i=1/K_i$：

相對於單位權標準差 $20\ \mathrm{mm}$，加權平均的先驗標準差為

（二）最或是高程與後驗標準差

1. 由各測線求高程估值

依觀測高程差 $l_i=H_P-H_i$，各測線分別得到：

2. 加權平均求最或是值

使用 $p_A=2.5,\ p_B=1.1111,\ p_C=0.625$：

故取至毫米：

3. 由殘差求後驗標準差

以 $v_i=\hat H_P-H_{P,i}$ 為殘差，後驗單位權標準差估計為

核心觀念

簡易導線平差是將導線測量所得的角度與邊長，依閉合條件分配改正數，使平差後的導線滿足幾何閉合。此題比較兩種常用的坐標閉合差改正法：

• 羅盤儀法則（Compass Rule，也稱 Bowditch 法）：依各邊長度比例分配縱、橫坐標閉合差。
• 經緯儀法則（Transit Rule）：依各邊縱、橫坐標增量的大小比例，分配相應方向的閉合差。

令導線第 $i$ 邊長為 $l_i$，方位角為 $\alpha_i$，其縱、橫坐標增量為：

全導線的縱、橫坐標閉合差分別為：

閉合導線理想上應有 $f_N=f_E=0$；實測值不為零時，即須將閉合差分配為各邊改正數。

解題方法

一、羅盤儀法則

設全導線總長為 $L=\sum_i l_i$。第 $i$ 邊的縱、橫坐標改正數為：

改正後的坐標增量為：

改正數總和符合：

因此改正後縱、橫坐標增量總和均為零，導線閉合。

**原理與適用假設：**羅盤儀法則假設坐標閉合差主要由各邊觀測誤差累積而成，且各邊單位長度的相對精度相近。因此邊越長，分配到的改正數越大；縱、橫兩方向分別依邊長比例分配。

二、經緯儀法則

令：

第 $i$ 邊的縱、橫坐標改正數為：

核心觀念

本題考查以已知點、水平角及水平距離計算未知點坐標。使用方位角的坐標增量公式：

其中 $\theta$ 為自北方向起算、順時針量測的方位角，$s$ 為水平距離。依圖示，$C$ 在 $A$ 的西北側，$D$ 在 $B$ 的西南側；$\alpha$ 是從 $AB$ 的北向量至 $AC$，$\beta$ 是從 $BA$ 的南向量量至 $BD$。

解題方法

由圖可知 $B$ 位於 $A$ 北方，因此 $AB$ 為北向，$BA$ 為南向。兩段斜距的坐標增量分別依其所在象限決定正負號。

（一）計算 $C$、$D$ 點坐標

對 $AC$ 而言，方位角為 $360^\circ-\alpha$，故：

對 $BD$ 而言，方位角為 $180^\circ+\beta$，故：

以上角度以度為例；若角度以弧度表示，三角函數中的角度也應採弧度。