114 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

核心觀念

本題在考三種「北方基準」的區別：真北、磁北與方格北，以及它們之間兩種角度的定義與用途。

• 真北（True North）：測站所在地真子午線指向北極的方向。
• 磁北（Magnetic North）：羅盤磁針所指的方向，亦即當地地磁場的水平分量方向。
• 方格北（Grid North）：地圖投影座標網格縱線所指的北方。

**磁偏角（magnetic declination）**是磁北與真北的水平夾角；製圖角（mapping angle），又稱子午線收斂角（convergence angle），是真北與方格北的水平夾角。兩者是不同北方基準之間的角度，不能混為一談。

解題方法

作答時先定義各北方基準，再分別說明角度成因與功能。角度方向的正負慣例在不同教材或圖幅上可能不同，因此應明確說明採用的慣例；以下以「由真北順時針量至另一方向為正」說明。

一、磁偏角

**定義：**測站所在處的真北與磁北之間的水平角，記為 $D$。磁北在真北以東時稱東偏，在真北以西時稱西偏。

**成因：**地球磁場的磁軸與地球自轉軸並不重合，而且地磁場分布不均。因此，磁北不與真北一致；地磁場會隨地點及時間變化，局部磁性物質或電磁設備也可能干擾羅盤讀數。

**功能：**磁偏角用於將羅盤量得的磁方位換算成以真北為基準的真方位。依本段採用的符號慣例，若磁北方位角為 $A_m$，則：

$$A_t=A_m+D$$

其中 $A_t$ 為真方位角。實務換算時須使用測量地點與觀測日期適用的磁偏角；磁偏角會隨時間改變，舊地圖所載數值未必適用於目前觀測。

核心觀念

橢球高 $h$、大地起伏 $N$ 與正高 $H$ 的關係為

$$h=H+N \qquad\Longrightarrow\qquad H=h-N$$

因此，正高由橢球高減去大地起伏求得。題目給定兩者不相關，故其協方差為 $0$。傳播誤差時，差值的變異數為兩者變異數之和；正高與大地起伏的協方差則由 $H=h-N$ 計算。

解題方法

（一）正高最或是值與標準差

以觀測量的最或是值代入高程關係：

$$\hat H=\hat h-\hat N =100.50-20.05 =80.45\ \mathrm{m}$$

由 $H=h-N$，其變異數為

$$\sigma_H^2 =\sigma_h^2+\sigma_N^2-2\operatorname{Cov}(h,N)$$

因 $h$ 與 $N$ 不相關，$\operatorname{Cov}(h,N)=0$，所以

$$\sigma_H =\sqrt{0.03^2+0.07^2} =\sqrt{0.0058} \approx 0.0762\ \mathrm{m} \approx 0.08\ \mathrm{m}$$

（二）正高與大地起伏的協方差及相關係數

由 $H=h-N$，

$$\operatorname{Cov}(H,N) =\operatorname{Cov}(h-N,N) =\operatorname{Cov}(h,N)-\operatorname{Var}(N)$$

核心觀念

水準標尺傾斜會使標尺讀數偏大，屬於粗差，原因是標尺沒有依規定保持垂直，並非單純由微小、隨機因素造成的偶然誤差。傾斜方向及程度若不受控制，誤差方向也可能改變；但就誤差性質而言，持尺者未確實扶正標尺所造成的偏差，應視為操作不當所致的粗差。

設標尺垂直時的正確讀數為 $h$，標尺與鉛直方向夾角為 $\theta$。若標尺讀數沿尺身量取，觀測讀數為 $r$，則幾何關係為：

$$h=r\cos\theta$$

因此：

$$r=\frac{h}{\cos\theta}\ge h$$

標尺傾斜時，讀數大於垂直時的正確讀數。

解題方法

（一）誤差分類

本題描述的是持尺者未能使標尺保持垂直，導致觀測值偏離正確值。這是觀測操作失當造成的誤差，應判為粗差，而不是儀器、環境或觀測條件所引起的系統性誤差，也不是正常觀測中隨機起伏的偶然誤差。

判斷時應看誤差來源：若是某項誤差依固定規律影響觀測，屬系統性誤差；若是不可預測的微小波動，屬偶然誤差；若是違反操作要求、使觀測值明顯失真的錯誤，則屬粗差。持尺者未確實扶正標尺，屬第三種情形。

核心觀念

本題考查平面坐標正算、角度與距離觀測誤差對坐標的傳播，以及測距精度和測角精度的比較。已知 $A$ 點坐標無誤差，且觀測量彼此不相關，因此以誤差傳播律計算 $B$ 點坐標的標準差。

以測量方位角自北方向順時針起算，坐標增量為

$$\Delta E=s\sin\alpha,\qquad \Delta N=s\cos\alpha$$

其中 $s$ 為水平距離，$\alpha$ 為方位角。

測距儀的加常數誤差與乘常數誤差互不相關，故距離標準差為

$$\sigma_s=\sqrt{\sigma_a^2+(s\sigma_p)^2}$$

其中 $\sigma_a$ 為加常數標準差，$\sigma_p$ 為乘常數標準差，以無因次值表示。

解題方法

（一）比較測距與測角精度

距離為 $100.000\ \mathrm{m}$，測距儀加常數標準差為 $3\ \mathrm{mm}$，乘常數標準差為 $10\ \mathrm{ppm}$，因此乘常數造成的距離標準差為

$$100.000\times10\times10^{-6}\ \mathrm{m} =0.001\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{mm}$$

總測距標準差為

$$\sigma_s=\sqrt{3^2+1^2}\ \mathrm{mm} =\sqrt{10}\ \mathrm{mm} \approx3.162\ \mathrm{mm}$$

其相對精度約為

$$\frac{\sigma_s}{s} =\frac{0.003162}{100} \approx3.162\times10^{-5} \approx1:31{,}623$$

測角標準差為 $10''$，換算為弧度：

$$\sigma_\alpha=10''\times\frac{\pi}{180\times3600} \approx4.84814\times10^{-5}\ \mathrm{rad}$$

在 $100\ \mathrm{m}$ 距離上，測角造成的橫向位置標準差約為

$$s\sigma_\alpha =100\times4.84814\times10^{-5}\ \mathrm{m} \approx4.848\ \mathrm{mm}$$

比較可知，測距造成的距離標準差約為 $3.162\ \mathrm{mm}$，測角造成的橫向標準差約為 $4.848\ \mathrm{mm}$；測距誤差較小，因此測距精度較高。

（二）計算 $B$ 點坐標及標準差

方位角為 $\alpha=120^\circ$，距離為 $s=100.000\ \mathrm{m}$。坐標增量為

$$\Delta E=100\sin120^\circ=86.602540\ \mathrm{m}$$ $$\Delta N=100\cos120^\circ=-50.000000\ \mathrm{m}$$

因此

$$E_B=100.000+86.602540=186.602540\ \mathrm{m}$$ $$N_B=100.000-50.000000=50.000000\ \mathrm{m}$$

求坐標標準差時，使用誤差傳播律。由

$$E_B=E_A+s\sin\alpha,\qquad N_B=N_A+s\cos\alpha$$

且 $E_A,N_A$ 無誤差，有