111 年專技高考高等考試土木工程技師考古題與詳解

Question 1

已知一條公路在轉彎處設計了一條克羅梭曲線做為連接直線段的緩和曲線之用，如下圖所示。 $A$ 點為克羅梭曲線的起點（B.C.）， $Q$ 點為克羅梭曲線一點， $Q$ 點順接著半徑 $R=250$ 公尺的圓弧曲線。弧 $AQ$ 為克羅梭曲線，其弧長為 $\ell=160$ 公尺，且已知 $A$ 、 $B$ 兩點的 TWD97 坐標分別為 $(N_A,E_A)=(2685611.749,202679.441)$ 和 $(N_B,E_B)=(2685540.782,202749.894)$ 。

克羅梭曲線坐標系統的 $x$ 軸和 $y$ 軸之正方向如圖上所定義，其坐標原點為 $A$ 點，即 $(x_A,y_A)=(0.000,0.000)$ ， $Q$ 點的坐標為 $(x_Q,y_Q)=(158.369,16.942)$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請問：

(一) 這條克羅梭曲線的參數值為何？

(二) 今將全測儀器設置在 $A$ 點，以偏角法放樣 $Q$ 點時，其偏角和距離 $\rho$ 為何？

(三) 若使用 GNSS 衛星定位測量以坐標法放樣，請計算 $Q$ 點的 TWD97 坐標及說明如何放樣？

坐標單位均為公尺。本題請忽略投影改正與歸算到平均海水面。

Accepted Answer

核心觀念

克羅梭曲線（緩和曲線）的曲率隨弧長線性增加。若起點曲率為零、終點接半徑為 $R$ 的圓曲線，則克羅梭參數 $A$ 滿足

\frac{1}{R}=\frac{\ell}{A^2} \qquad\Longrightarrow\qquad A^2=R\ell

曲線上距起點弧長為 $s$ 處的切線轉角為

\theta(s)=\frac{s^2}{2A^2}

本題另考局部坐標與 TWD97 坐標的旋轉轉換，以及全測儀偏角法的極坐標放樣。

解題方法與推導

(一) 克羅梭曲線參數

已知 $R=250\text{ m}$ 、 $\ell=160\text{ m}$ ，因此

A=\sqrt{R\ell} =\sqrt{250\times160} =\boxed{200\text{ m}}

參數檢核： $A^2/\ell=200^2/160=250\text{ m}$ ，符合 $Q$ 點的曲率半徑。

(二) 全測儀偏角法放樣 $Q$ 點

偏角是 $AQ$ 弦線相對於起點切線（圖示 $x$ 軸）的角度；放樣距離是 $AQ$ 弦長：

\delta=\tan^{-1}\left(\frac{y_Q}{x_Q}\right) =\tan^{-1}\left(\frac{16.942}{158.369}\right) \approx 6.10694^\circ \approx 6^\circ06'25''

\rho=\sqrt{x_Q^2+y_Q^2} =\sqrt{158.369^2+16.942^2} \approx159.273\text{ m}

因此在 $A$ 點以 $x$ 軸方向作為後視切線，向左轉偏角 $\delta$ ，量距 $\rho$ ，即可放樣 $Q$ 點。

(三) GNSS 坐標法放樣

先由 $A$ 、 $B$ 的 TWD97 坐標求出局部 $x$ 軸方向：

\Delta E=E_B-E_A=70.453,\qquad \Delta N=N_B-N_A=-70.967

Question 2

已知兩個橫斷面 I 和 II 如下圖所示，它們之間的水平距離 $L$ 為 $20$ 公尺，且 $\overline{AB}=\overline{BC}=b_1/2$ 和 $\overline{DE}=\overline{EF}=b_2/2$ ，其餘數據如下表所示。請計算這兩個橫斷面的面積，並以平均斷面法計算這兩個橫斷面間的土方（計算至立方公尺，立方公尺以下四捨五入）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

橫斷面	底長（公尺）	深度（公尺）	坡度	坡度	坡度	坡度
I	$b_1=20$	$d_1=10$	$1:p_1=1:50$	$1:q_1=1:80$	$1:r_1=1:0.5$	$1:s_1=1:0.8$
II	$b_2=18$	$d_2=8$	$1:p_2=1:100$	$1:q_2=1:90$	$1:r_2=1:0.5$	$1:s_2=1:1$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查橫斷面邊坡幾何與平均斷面法。坡度 $1:m$ 表示垂直變化 $1$ 、水平變化 $m$ ；因此側坡 $1:r$ 、 $1:s$ 的水平距離分別為垂直高度的 $r$ 倍、 $s$ 倍。

將每個斷面表示為多邊形：底部端點為 $A(-a,0)$ 、 $C(a,0)$ ，其中 $a=b/2$ ；底部中點 $B$ 正上方為深度 $d$ 的頂點 $O(0,d)$ 。兩側轉折點分別記為 $P(-x_L,h_L)$ 、 $Q(x_R,h_R)$ 。斷面面積可由多邊形公式求得：

A=\frac{d(x_L+x_R)+a(h_L+h_R)}{2}

兩斷面間土方採平均斷面法：

V=\frac{A_1+A_2}{2}L

解題方法

左側坡度與右側坡度分別提供水平、垂直距離關係。左側以 $1:p$ 連接頂點 $O$ 與轉折點 $P$ ，以 $1:r$ 連接 $P$ 與底部端點 $A$ ，故：

x_L=a+rh_L,\qquad d=h_L+\frac{x_L}{p}

解得：

x_L=\frac{d+a/r}{1/r+1/p},\qquad h_L=\frac{x_L-a}{r}

右側同理：

x_R=\frac{d+a/s}{1/s+1/q},\qquad h_R=\frac{x_R-a}{s}

橫斷面 I

$a=20/2=10$ 公尺， $d=10$ 公尺；左側使用 $p_1=50,\ r_1=0.5$ ，右側使用 $q_1=80,\ s_1=0.8$ 。

x_L=\frac{10+10/0.5}{1/0.5+1/50}=14.8515,\qquad h_L=\frac{14.8515-10}{0.5}=9.7030

Question 3

某工地因應工程需要，需要補測一個控制點。因為該工地對空通訊不良，全球導航衛星系統 GNSS 接收儀收不到衛星訊號，故使用現有的經緯儀觀測遠方 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 三個已知點，得到待定控制點 $P$ 和已知點間的兩個夾角分別為 $\theta_1=19^\circ19'29''$ 、 $\theta_2=15^\circ15'31''$ ，如下圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

$A$ 、 $B$ 和 $C$ 三個已知點的坐標分別為 [ (E_A,N_A)=(2113.687,3946.994) ] [ (E_B,N_B)=(3040.105,4194.663) ] [ (E_C,N_C)=(2600.728,3882.789) ] 坐標單位為公尺。

請計算 $P$ 點坐標，計算到毫米，毫米以下四捨五入。

Accepted Answer

核心觀念

這題考「角度交會」求未知點坐標。從 $P$ 觀測三個已知點，且已知 $\angle APC=\theta_1$ 、 $\angle CPB=\theta_2$ ，可分別建立：

通過 $A、C、P$ 的圓，其弦 $AC$ 所對的圓周角為 $\theta_1$ 。
通過 $C、B、P$ 的圓，其弦 $CB$ 所對的圓周角為 $\theta_2$ 。

兩圓的交點之一為 $C$ ，另一交點即為待求點 $P$ 。依圖示的位置選取圓心所在側，可排除另一組幾何解。

解題方法

取 $C$ 為局部坐標原點，令東向為 $x$ 、北向為 $y$ ：

\overrightarrow{CA}=(-487.041,\ 64.205),\qquad \overrightarrow{CB}=(439.377,\ 311.874)

兩弦長為：

|CA|=\sqrt{487.041^2+64.205^2}\approx491.255\text{ m}

|CB|=\sqrt{439.377^2+311.874^2}\approx538.812\text{ m}

對弦長 $s$ 、圓周角 $\theta$ ，圓心到弦的垂直距離為：

h=\frac{s}{2\tan\theta}

因此：

Question 4

今欲監測一高聳結構物牆面之傾斜度，在地面點 $P$ 設置一台高精度的全測站儀，並在該結構物同一牆面上的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點貼有高精度反射片，利用該反射片可以測距和測角，其中 $B$ 、 $C$ 兩點位於牆角上、下兩點，示意如下圖。

在地面點 $P$ 整置全測站儀精確水平後，由 $P$ 點向 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點測得方向角度、天頂角及距離如下表。試根據這些數據估計該牆面在 $x$ 、 $y$ 兩方向的傾斜度。（傾斜度四捨五入計算到小數以下第 4 位，並以 $C$ 點相對於 $B$ 點在 $x$ 、 $y$ 兩方向的移動量除以相對高度的百分率來表示。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

測站	測點	方向讀數	天頂角	距離（單位：公尺）
$P$ （儀器高 $1.5000$ 公尺）	$A$	$00^\circ00'20.5''$	$87^\circ48'53.5''$	$222.9288$
	$B$	$11^\circ34'34.6''$	$90^\circ22'59.0''$	$224.3601$
	$C$	$11^\circ34'03.3''$	$75^\circ23'54.8''$	$232.0564$

Accepted Answer

核心觀念 全測站的斜距 $S$、天頂角 $Z$ 與方向角 $\alpha$ 可換算成水平距離及高程差： $$ H=S\sin Z,\qquad \Delta h=S\cos Z $$ 水平座標若以方向角零度作為起算方向，可寫成 $X=H\sin\alpha$、$Y=H\cos\alpha$。再將 $C-B$ 的水平位移投影到牆面座標 $x,y$，除以 $C$、$B$ 的相對高差，即為牆面的兩方向傾斜百分率。 解題方法 題圖中 $A,B$ 位於同一牆面，故以 $A$、$B$ 水平投影連線作為牆面 $x$ 軸，$y$ 軸取與 $x$ 軸垂直、符合圖示的方向。儀器高在兩點高程差中會相消。 先將方向角換成十進位角，並計算各點水平距離 $H$： | 點位 | 方向角 $\alpha$ | 水平距離 $H=S\sin Z$（公尺） | 相對儀器軸心高差 $S\cos Z$（公尺） | |---|---:|---:|---:| | $A$ | $0.0057^\circ$ | $222.7668$ | $+8.4999$ | | $B$ | $11.5763^\circ$ | $224.3551$ | $-1.5000$ | | $C$ | $11.5676^\circ$ | $224.5616$ | $+58.5000$ | 以 $X=H\sin\alpha$、$Y=H\cos\alpha$ 求水平座標後，$C$ 相對於 $B$ 的水平位移約為：

111 專技高考高等考試土木工程技師工程測量（包括平面測量與施工測量）考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法與推導

第二題25 分

核心觀念

解題方法

橫斷面 I

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

其他考古題

111 年土木工程技師的其他科目

土木工程技師《工程測量（包括平面測量與施工測量）》其他年度

111 專技高考高等考試 土木工程技師 工程測量（包括平面測量與施工測量） 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法與推導

第 二 題25 分

核心觀念

解題方法

橫斷面 I

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

其他考古題

111 年土木工程技師的其他科目

土木工程技師《工程測量（包括平面測量與施工測量）》其他年度

111 專技高考高等考試土木工程技師工程測量（包括平面測量與施工測量）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分