111 專技高考高等考試 土木工程技師 結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計） 考古題詳解

核心觀念

本題依據內政部《鋼構造建築物鋼結構設計技術規範》（極限設計法篇）（以命題當年民國 111 年法規為準）進行檢核。（現行設計規範對梁受彎強度分區表達式已逐步與 AISC 360 接軌，但極限設計法之核心原理與檢核準則相同，本題解題依命題當年規範及題目提供之參考公式為準）。

1. 斷面緊實性（塑性設計斷面）：題目已指明該熱軋 $H$ 型鋼為塑性設計斷面（即緊實斷面，Compact section），故無緣板或腹板局部挫屈之虞，抗彎標稱強度 $M_n$ 僅取決於側向無支撐長度 $L_b$ 所對應的側向扭轉挫屈（Lateral-Torsional Buckling, LTB）行為。
2. 側向無支撐長度區段劃分：

• 塑性區（無挫屈區）（$L_b \le L_p$）：全斷面達塑性鉸，$M_n = M_p = F_y Z_x$。
• 非彈性側向扭轉挫屈區（$L_p < L_b \le L_r$）：斷面部分塑化後發生挫屈，$M_n = C_b \left\{ M_p - (M_p - M_r) \left[ \frac{L_b - L_p}{L_r - L_p} \right] \right\} \le M_p$。
• 彈性側向扭轉挫屈區（$L_b > L_r$）：彈性挫屈控制，$M_n = M_{cr} \le M_p$。

3. 極限設計法（LRFD）強度要求：設計彎矩強度須滿足 $\phi_b M_n \ge M_u$，其中鋼梁撓曲之強度折減因數 $\phi_b = 0.90$。

解題方法

步驟 1：計算梁之最大因數化彎矩 $M_u$ 與所需標稱彎矩強度 $M_n$

簡支梁跨距 $L = 8.8\ \mathrm{m}$，受均佈因數化載重 $W_u = 8\ \mathrm{tf/m}$，最大彎矩發生於跨中： $M_u = \frac{W_u L^2}{8} = \frac{8 \times 8.8^2}{8} = 77.44\ \mathrm{tf\cdot m} = 7{,}744\ \mathrm{tf\cdot cm}$

依極限設計法 $\phi_b M_n \ge M_u$（$\phi_b = 0.90$），所需之最小標稱彎矩強度為： $M_{n,\mathrm{req}} = \frac{M_u}{\phi_b} = \frac{77.44}{0.90} \approx 86.044\ \mathrm{tf\cdot m} = 8{,}604.4\ \mathrm{tf\cdot cm}$

步驟 2：計算塑性彎矩 $M_p$ 與降伏極限彎矩 $M_r$

1. 塑性彎矩 $M_p$： $M_p = F_y Z_x = 3.5 \times 2{,}900 = 10{,}150\ \mathrm{tf\cdot cm} = 101.50\ \mathrm{tf\cdot m}$ 檢核斷面最高可用設計強度：$\phi_b M_p = 0.90 \times 101.50 = 91.35\ \mathrm{tf\cdot m} > M_u = 77.44\ \mathrm{tf\cdot m}$，斷面尺碼符合強度需求。
2. 殘餘應力與降伏極限彎矩 $M_r$： 依規範，熱軋 $H$ 型鋼之殘餘應力 $F_r = 0.7\ \mathrm{tf/cm^2}$（$700\ \mathrm{kgf/cm^2}$）。 $F_L = F_{yf} - F_r = 3.5 - 0.7 = 2.8\ \mathrm{tf/cm^2}$ $M_r = F_L S_x = 2.8 \times 2{,}520 = 7{,}056\ \mathrm{tf\cdot cm} = 70.56\ \mathrm{tf\cdot m}$

步驟 3：計算側向無支撐長度界限值 $L_p$ 與 $L_r$

1. 塑性界限長度 $L_p$： 代入題目給定之參考公式（$r_y = 4.15\ \mathrm{cm}$，$F_{yf} = 3.5\ \mathrm{tf/cm^2}$）： $L_p = \frac{80 r_y}{\sqrt{F_{yf}}} = \frac{80 \times 4.15}{\sqrt{3.5}} = \frac{332}{1.8708} \approx 177.46\ \mathrm{cm} \approx 1.775\ \mathrm{m}$

2. 非彈性挫屈界限長度 $L_r$： 依題目給定之參考公式（$X_1 = 130\ \mathrm{tf/cm^2}$，$X_2 = 3.46\ (\mathrm{cm^2/tf})^2$，$F_L = 2.8\ \mathrm{tf/cm^2}$）： $X_2 F_L^2 = 3.46 \times (2.8)^2 = 3.46 \times 7.84 = 27.1264$ $\sqrt{1 + \sqrt{1 + X_2 F_L^2}} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 27.1264}} = \sqrt{1 + 5.3034} = \sqrt{6.3034} \approx 2.5107$ $\frac{r_y X_1}{F_L} = \frac{4.15 \times 130}{2.8} \approx 192.68\ \mathrm{cm}$ $L_r = \frac{r_y X_1}{F_L} \sqrt{1 + \sqrt{1 + X_2 F_L^2}} = 192.68 \times 2.5107 \approx 483.76\ \mathrm{cm} \approx 4.838\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題以命題當年（民國 111 年）實施之「混凝土結構設計規範」第 5.14.3.4 節規定為準（現行規範已整併修正條文編號，但受壓搭接核心原則維持一致）。

本題考驗鋼筋混凝土柱中不同直徑受壓鋼筋之搭接長度計算。核心法規與設計原則如下：

1. 不同直徑鋼筋受壓搭接規定：不同尺寸之竹節鋼筋在受壓狀態下進行搭接時，其搭接長度應取下列兩者之較大值：

• 較大鋼筋之受壓伸展長度 $\ell_{dc}$。
• 較小鋼筋之受壓搭接長度 $\ell_{sc}$。

2. 基本受壓伸展長度公式： $\ell_{dc} = \max\left(\frac{0.075 f_y}{\sqrt{f'_c}} d_b,\; 0.0043 f_y d_b\right)$ 且不得小於 $20\ \mathrm{cm}$。題目明確指示不考慮修正因素（修正係數均取 $1.0$）。
3. 受壓搭接長度公式： 當鋼筋降伏強度 $f_y \leq 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時： $\ell_{sc} = 0.0071 f_y d_b$ 且不得小於 $30\ \mathrm{cm}$。
4. 題目干擾項辨識：題目提供之受拉伸展長度公式 $\ell_d = \frac{0.19 f_y \psi_t \psi_e \lambda}{\sqrt{f'_c}} d_b$ 屬於受拉構件專用，本題明確載明為「縱向受壓鋼筋」，故該公式為干擾項，無須採用。

解題方法

步驟一：計算較大鋼筋（$D29$）之受壓伸展長度 $\ell_{dc}$

較大鋼筋為 $D29$，直徑 $d_b = 2.87\ \mathrm{cm}$。依規範公式計算其受壓伸展長度：

1. 由基本公式（一）： $\ell_{dc1} = \frac{0.075 f_y}{\sqrt{f'_c}} d_b = \frac{0.075 \times 4200}{\sqrt{280}} \times 2.87 = \frac{315}{16.733} \times 2.87 \approx 54.03\ \mathrm{cm}$

2. 由基本公式（二）： $\ell_{dc2} = 0.0043 f_y d_b = 0.0043 \times 4200 \times 2.87 = 18.06 \times 2.87 \approx 51.83\ \mathrm{cm}$

3. 取兩者之較大值（且大於下限 $20\ \mathrm{cm}$）： $\ell_{dc} = \max(54.03\ \mathrm{cm},\; 51.83\ \mathrm{cm}) = 54.03\ \mathrm{cm}$

步驟二：計算較小鋼筋（$D25$）之受壓搭接長度 $\ell_{sc}$

較小鋼筋為 $D25$，直徑 $d_b = 2.54\ \mathrm{cm}$。因 $f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2} \leq 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，依受壓搭接規定計算：

核心觀念

本題評量鋼結構接合設計中「高強度螺栓接合（High-Strength Bolted Connections）」的施工與設計原理，依據內政部頒布之《鋼構造建築物鋼結構設計規範》（極限設計法 LRFD，以命題當年民國 111 年法規為準）第十章規定。

1. 最小預拉力之要求： 摩阻型接合（Slip-Critical Connection）及承受重複動載重之接合，高強度螺栓（如 ASTM A325、A490 或 JIS F10T、S10T）必須確實鎖緊至規範規定的最小設計預拉力（Minimum Bolt Pretension, $T_b$），以確保構材接觸面間具備足夠的夾緊力（Clamping Force）。
2. 抗滑強度之定義與公式： 摩阻型接合係利用螺栓預拉力緊壓板片接觸面所產生的摩擦阻力來傳遞剪力。規範中單顆高強度螺栓之公稱抗滑剪力強度 $R_n$ 計算式為： $R_n = \mu D_u h_f T_b N_s$ 若接合另承受外加拉力 $T_u$（LRFD），其可用抗滑強度須乘上拉力折減係數 $k_s$： $k_s = 1 - \frac{T_u}{D_u T_b N_b}$ 設計抗滑剪力強度則為 $\phi R_n$，其中抵抗係數 $\phi$ 取決於螺孔型式（標準孔、特大孔或槽孔）。

解題方法

（一）高強度螺栓鎖緊達到最小預拉力的四項方法

規範與鋼結構施工實務認可之鎖緊施工法如下：

1. 轉角法（Turn-of-Nut Method，螺帽旋轉法）：

• 先將接合組件以一般扳手鎖至「貼緊狀態（Snug-tight condition）」，使接合面完全緊密貼合。
• 在螺栓外露牙端及螺帽上作對齊標記。
• 依規範依據螺栓長度與直徑比值（$L/d$），將螺帽旋轉特定規定角度（例如旋轉 $1/3$ 圈、$1/2$ 圈或 $2/3$ 圈），藉由螺紋導程強制拉伸螺栓桿身，使其達到最小預拉力。

2. 校準扳手螺栓鎖緊法（Calibrated Wrench Method，扭力扳手法）：

• 每日開工前，利用張力校準儀器（如 Skidmore-Wilhelm 校準器）針對當天使用的螺栓批號進行扭力扳手校準，求得能達到規定預拉力之對應扭矩值。
• 先將螺栓初鎖至貼緊狀態，再以該校準設定之扭力扳手施擰至目標扭矩值。
• 施擰時必須防止螺栓頭轉動，並需配合平墊圈使用。

3. 扭矩控制螺栓鎖緊法（Twist-Off-Type Tension-Control Bolt Method，TC 螺栓法／斷頭螺栓法）：

• 採用具備梅花夾持夾頭之專用高強度螺栓（如 JIS S10T 或 ASTM F1852、F2280）。
• 螺栓尾端設有特製梅花溝槽（Torque Spline）。
• 使用專用套筒電動扳手（Shear Wrench），內套筒固定螺栓尾端梅花頭防止自轉，外套筒鎖緊螺帽，當預拉力到達預定標準值時，梅花接頭在預設剪切凹槽處剪斷脫落，即表示已達最小預拉力。

4. 直接張力指示器法（Direct Tension Indicator Method, DTI / 預拉力指示墊圈法）：

• 使用特殊凸起突緣（Protrusions）的特製彈簧鋼墊圈。
• 螺栓鎖緊過程中，螺帽緊壓墊圈使突緣壓平；當突緣間隙壓縮至規定厚度時（以厚薄規塞尺檢測），即確認螺栓內部拉力已達規範最小預拉力要求。

（二）影響摩阻型接合抗滑強度的因素

依據抗滑極限狀態強度公式 $R_n = \mu D_u h_f T_b N_s$ 及設計受力機制，影響抗滑強度的關鍵因素歸納如下：

1. 接觸面滑移係數（$\mu$）： 接觸面表面處理等級直接決定靜摩擦係數。

• A 級表面（清乾淨之原軋鋼面、噴砂後無機鋅塗裝面）：$\mu = 0.30$。

核心觀念

本題依命題當年（民國111年）採用的混凝土結構設計規範計算；考卷指定參考內政部110年版《混凝土結構設計規範》及《混凝土工程設計規範與解說》（土木401-100）。現行規範已修正，以下仍按命題當年規定作答。

最大拉力鋼筋量由最外層受拉鋼筋的淨拉應變下限 $\varepsilon_t=0.004$ 控制。混凝土極限壓應變取 $\varepsilon_c=0.003$，由應變相似可得中性軸深度 $c$：

本題 $c=22.757\ \mathrm{cm}$，矩形等值壓力塊深度 $a=\beta_1c$，其中 $\beta_1=0.85$。因 $a$ 大於翼版厚度 $h_f=10\ \mathrm{cm}$，壓力區須分成腹版與翼版突出部分計算。

解題方法

先由應變條件求 $c$ 與 $a$：

有效翼版寬 $b_f=75\ \mathrm{cm}$，腹版寬 $b_w=35\ \mathrm{cm}$，故翼版突出寬為 $b_f-b_w=40\ \mathrm{cm}$。由拉、壓力平衡，且拉力鋼筋達降伏：

接著分別對腹版壓力區與翼版突出壓力區取力矩，計算名義彎矩強度：