110 專技高考高等考試 土木工程技師 結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計） 考古題詳解

有一鋼筋混凝土梁的斷面為梯形，如圖所示。梁斷面有效深度 $d=53\ \mathrm{cm}$。斷面為單筋梁設計，配置 5 支 D25 單層拉力鋼筋。混凝土等值矩形應力分布可適用於此梯形斷面。

混凝土抗壓強度 $f'_c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋的降伏強度 $f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。D25 鋼筋之直徑 $d_b=2.54\ \mathrm{cm}$，斷面積 $A_b=5.07\ \mathrm{cm^2}$。

斷面圖示資料：上底寬 $30\ \mathrm{cm}$、下底寬 $60\ \mathrm{cm}$、斷面高度 $53\ \mathrm{cm}$，底部鋼筋中心距底緣 $7\ \mathrm{cm}$，兩側斜邊坡度標示為 $4:1$，底部配置 5 支 D25 鋼筋。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試計算此梁斷面的彎矩設計強度 $\phi M_n$。

請回答下列問題：

（一）耐震設計規定柱構件的縱向鋼筋面積 $A_{st}$ 不得低於 $0.01A_g$，亦不得大於 $0.06A_g$，其中 $A_g$ 為鋼筋混凝土柱構件總斷面積。試分別說明柱構件規定縱向鋼筋最小鋼筋量的原因與最大鋼筋量的原因。

（二）耐震設計規定柱構件的矩形橫向箍筋間距不得超過三項規定，其中之一為「6 倍主筋直徑」，請說明此規定之原因為何？

有一鋼梁設計採用 H 型鋼 $H700\times300\times13\times24$，惟現有 H 型鋼為 $H692\times300\times13\times20$。於僅考量強軸的彎矩強度，擬於 $H692\times300\times13\times20$ 上下翼板銲接鋼板，如圖所示，使其與 $H700\times300\times13\times24$ 有相同的彎矩強度。可供補強的鋼板厚度為 $10\ \mathrm{mm}$。H 型鋼與鋼板的鋼材降伏應力為 $F_y=2.5\ \mathrm{tf/cm^2}$，抗拉應力為 $F_u=4.1\ \mathrm{tf/cm^2}$。$H700\times300\times13\times24$ 與 $H692\times300\times13\times20$ 皆為塑性設計斷面。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）若 $H692\times300\times13\times20$ 補強後與 $H700\times300\times13\times24$ 有相同的強軸降伏彎矩 $M_y$，試計算所需的鋼板寬度 $x$ 為多少？

（二）若 $H692\times300\times13\times20$ 補強後與 $H700\times300\times13\times24$ 有相同的強軸塑性彎矩 $M_p$，試計算所需的鋼板寬度 $x$ 為多少？

參考資料：

$H700\times300\times13\times24$：

$A=232\ \mathrm{cm^2}$，$I_x=197{,}000\ \mathrm{cm^4}$，$S_x=5{,}640\ \mathrm{cm^3}$，$Z_x=6{,}340\ \mathrm{cm^3}$。

$H692\times300\times13\times20$：

$A=208\ \mathrm{cm^2}$，$I_x=168{,}000\ \mathrm{cm^4}$，$S_x=4{,}870\ \mathrm{cm^3}$，$Z_x=5{,}500\ \mathrm{cm^3}$。

如圖所示為一靜不定結構，由一懸臂鋼梁與一斜撐組成。斜撐為角鋼 $L150\times150\times19$。鋼梁為熱軋 H 型鋼 $H600\times200\times11\times17$，為塑性設計斷面，強軸承受彎矩，弱軸有充分的側向支撐。

此結構於 B 點承受因數化集中載重 $P_u=50\ \mathrm{tf}$，經結構分析已知斜撐之軸拉力為 $93.56\ \mathrm{tf}$。於 B 點處，鋼梁弱軸方向有鉸支承。斜撐有足夠的強度與剛性。鋼梁與斜撐之鋼材降伏應力 $F_y=2.5\ \mathrm{tf/cm^2}$，彈性模數 $E=2040\ \mathrm{tf/cm^2}$。忽略鋼梁的自重且無需檢核剪力強度，以極限設計法，檢核鋼梁的強度是否滿足設計需求。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

結構圖示資料：A 點為懸臂鋼梁固定端，B 點距 A 點 $6\ \mathrm{m}$，C 點為斜撐支承端，斜撐與鋼梁夾角為 $30^\circ$，B 點施加向下之集中載重 $P_u$。

參考資料：

$H600\times200\times11\times17$：

$A=132\ \mathrm{cm^2}$；

$I_x=75{,}600\ \mathrm{cm^4}$；

$I_y=2{,}270\ \mathrm{cm^4}$；

$r_x=24\ \mathrm{cm}$；

$r_y=4.15\ \mathrm{cm}$；

$r_T=5.02\ \mathrm{cm}$；

$S_x=2{,}520\ \mathrm{cm^3}$；

$S_y=227\ \mathrm{cm^3}$；

$Z_x=2{,}900\ \mathrm{cm^3}$；

$Z_y=358\ \mathrm{cm^3}$；

$X_1=130\ \mathrm{tf/cm^2}$；

$X_2=3.46\ (\mathrm{cm^2/tf})^2$。

參考公式：

$\phi_c=0.85$

$P_n=A_gF_{cr}$

$F_{cr}=\left[\exp(-0.419\lambda_c^2)\right]F_y$

$F_{cr}=\left[\frac{0.877}{\lambda_c^2}\right]F_y$

$\lambda_c=\frac{KL}{\pi r}\sqrt{\frac{F_y}{E}}$

$L_p=\frac{80r_y}{\sqrt{F_{yf}}}$

$L_r=\frac{r_yX_1}{F_L}\sqrt{1+\sqrt{1+X_2F_L^2}}$

$C_b=1.75+1.05\left(\frac{M_1}{M_2}\right)+0.3\left(\frac{M_1}{M_2}\right)^2\leq2.3$

$M_n=C_b\left\{M_p-(M_p-M_r)\left[\frac{L_b-L_p}{L_r-L_p}\right]\right\}\leq M_p$

$M_r=F_LS_x$

$F_L=(F_{yf}-F_r)\ \text{或}\ F_{yw}，取較小值$

$F_r$ 為翼板之殘留壓應力；對於熱軋型鋼其值可設為 $0.7\ \mathrm{tf/cm^2}$，對於銲接型鋼其值可設為 $1.16\ \mathrm{tf/cm^2}$。

$M_n=M_{cr}\leq M_p$

$M_{cr}=\frac{C_bS_xX_1\sqrt{2}}{L_b/r_y}\sqrt{1+\frac{X_1^2X_2}{2(L_b/r_y)^2}}$

當 $\dfrac{P_u}{\phi P_n}\geq0.2$ 時：

$\frac{P_u}{\phi P_n}+\frac{8}{9}\left[\frac{M_{ux}}{\phi_bM_{nx}}+\frac{M_{uy}}{\phi_bM_{ny}}\right]\leq1.0$

當 $\dfrac{P_u}{\phi P_n}<0.2$ 時：

$\frac{P_u}{2\phi P_n}+\left[\frac{M_{ux}}{\phi_bM_{nx}}+\frac{M_{uy}}{\phi_bM_{ny}}\right]\leq1.0$

壓柱有效長度係數參考圖及數值：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中情況 (a)～(f) 的理論 $K$ 值分別為：

$0.5,\ 0.7,\ 1.0,\ 1.0,\ 2.0,\ 2.0$

當接近理想條件時所設之 $K$ 值分別為：

$0.65,\ 0.80,\ 1.0,\ 1.2,\ 2.10,\ 2.0$