112 年專技高考高等考試土木工程技師考古題與詳解

Question 1

有一鋼筋混凝土結構，其樓層平面圖如原卷圖示，請依序回答下列問題。

樓層平面圖及尺寸資料如下：

樓版區域分為 I 區、II 區及 III 區。
平面圖標示梁線及支承點：A、B1、B2、C1、C2、D。
圖示尺寸包含 $300 \times 6$ 、 $700$ 及 $900$ ，單位為 $\mathrm{cm}$ 。
目標 T 型梁以斜線標示，其斷面圖及尺寸如下：
- 梁翼板寬度： $500\ \mathrm{cm}$ 。
- 梁腹板寬度： $40\ \mathrm{cm}$ 。
- 梁全深： $60\ \mathrm{cm}$ 。
- 樓版厚度： $15\ \mathrm{cm}$ 。
- 單位： $\mathrm{cm}$ 。

(一) 請試述 I、II、III 區之樓版各須採單向版或雙向版設計。（5 分）

(二) 目標 T 型梁以斜線標示，斷面如下圖所示，試求其第 II 跨之有效版寬。（5 分）

(三) 該連續梁經分析，其支承處之節點負彎矩經載重組合後如下表。若要求全梁負彎矩只採單一臨界值設計，且要求全梁各斷面皆以拉力控制，滿足撓曲強度需求（ $\psi=0.90$ ），混凝土強度 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ ，鋼筋中心保護層厚度均為 $6.5\ \mathrm{cm}$ ，單論此梁支承處之撓曲設計，請證明不配置下緣鋼筋亦可滿足強度需求。（15 分）

支承處節點負彎矩如下：

節點	A	B1	B2	C1	C2	D
$M_u$ （ $\mathrm{tf\cdot m}$ ）	25.45	33.76	38.54	49.80	54.62	49.05

Accepted Answer

核心觀念

本題依命題所列中國土木水利工程學會《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100）作答。樓版以長短邊比判斷單向或雙向；T 型梁有效版寬受跨長、相鄰梁間距及翼版厚度限制；連續梁負彎矩設計則以最大支承負彎矩決定單一臨界設計值，並檢核拉力控制應變。原卷所列跨距、尺寸及彎矩數值可由試題頁面核對。

題目未列鋼筋降伏強度，以下依該題常用假設取 $f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ ；本題鋼筋應力按降伏處理，最後另檢核拉力應變。

（一）樓版單向或雙向設計

四邊支承樓版以長短邊比 $L_{\text{長}}/L_{\text{短}}$ 判斷：比值不大於 $2$ 為雙向版，大於 $2$ 為單向版。

I 區： $500/300=1.667\leq2$ ，採雙向版設計。
II 區： $700/300=2.333>2$ ，採單向版設計。
III 區： $900/300=3.0>2$ ，採單向版設計。

（二）目標梁第 II 跨有效版寬

目標梁為內梁，依規範限制，有效版寬取下列各值中的最小值：

b_{\mathrm{eff}} =\min\left\{ \text{相鄰梁間距}, \frac{L}{4}, b_w+16h_f \right\}

第 II 跨跨長 $L=700\ \mathrm{cm}$ ；平面圖所示相鄰梁間距為 $300\ \mathrm{cm}$ ；梁腹寬 $b_w=40\ \mathrm{cm}$ ，樓版厚度 $h_f=15\ \mathrm{cm}$ 。因此：

b_{\mathrm{eff}} =\min\left\{ 300,\frac{700}{4},40+16(15) \right\} =\min\{300,175,280\} =\boxed{175\ \mathrm{cm}}

（三）支承處負彎矩設計與拉力控制檢核

1. 取最大支承負彎矩

支承節點中最大負彎矩為 C2 節點：

M_u=54.62\ \mathrm{tf\cdot m} =5{,}462{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}

因為是支承處負彎矩，梁上緣為拉力側、下緣為壓力側。故負彎矩設計採矩形腹板寬度 $b_w=40\ \mathrm{cm}$ ，有效深度為由下緣壓力面至上緣拉力鋼筋中心：

d=60-6.5=53.5\ \mathrm{cm}

2. 由強度需求求所需上緣拉力鋼筋

取 $\beta_1=0.85$ ，矩形應力塊深度為：

a=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b_w}

撓曲設計強度需滿足：

\phi M_n =\phi A_s f_y\left(d-\frac{a}{2}\right) \geq M_u

代入 $\phi=0.90$ 、 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 、 $f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 、 $b_w=40\ \mathrm{cm}$ 及 $d=53.5\ \mathrm{cm}$ ，解得所需鋼筋量：

A_{s,\mathrm{req}}\approx30.96\ \mathrm{cm^2}

3. 檢核拉力控制

Question 2

有一矩形鋼筋混凝土承壓柱構材，其斷面圖如下所示。鋼筋配置為 10 根 D29 鋼筋，單根 D29 鋼筋斷面積為 $6.47\ \mathrm{cm^2}$ ，鋼筋降伏強度 $f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ ，彈性模數 $E_s=2040000\ \mathrm{kgf/cm^2}$ ，鋼筋中心保護層厚度均為 $7.5\ \mathrm{cm}$ ，混凝土強度 $f'_c=315\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 。若僅考慮強軸向（ $M_{xx}$ ）之短柱設計，請回答下列問題。

柱構材斷面及應變圖資料如下：

矩形斷面尺寸： $40\ \mathrm{cm}\times60\ \mathrm{cm}$ 。
彎矩軸： $M_{xx}$ 。
另一軸： $M_{yy}$ 。
鋼筋配置：10 根 D29 鋼筋。
鋼筋中心保護層厚度： $7.5\ \mathrm{cm}$ 。
極限狀態之最外緣混凝土壓應變： $0.003$ 。
斷面圖標示之鋼筋位置間距包含 $15\ \mathrm{cm}$ 。

(一) 請計算當其極限狀態之斷面應變如圖所示時，該柱構材之設計軸力強度與設計彎矩強度。（20 分）

(二) 請證明該柱構材能否在滿足現行法規的要求下安全承載一偏心比 $e/h=0.1$ 之 $400\ \mathrm{tf}$ 軸壓力？該值已經載重組合放大，其中 $e$ 為偏心距， $h$ 為構材全深 $60\ \mathrm{cm}$ ，該偏心軸壓力產生之彎矩方向為 $M_{xx}$ 。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形鋼筋混凝土柱在軸力與彎矩共同作用下的應變相容法：假設平面保持平面，由極限壓應變與中性軸位置求各層鋼筋應變，再換算鋼筋應力，與混凝土等值矩形壓力塊合併，得到名義軸力與彎矩強度。 法規依命題當年適用規定判斷：民國 112 年考試時適用的為 110 年版《混凝土結構設計規範》；112 年修正的新規範自民國 113 年 1 月 1 日起生效。矩形壓力塊係數為 $$ \beta1=0.85-0.05\frac{f'c-280}{70} =0.85-0.05\frac{315-280}{70}=0.825 $$ 強度折減後的設計強度為 $\phi Pn$、$\phi Mn$。題目未標明柱的橫向箍筋型式，以下主解按常見繫筋柱取 $\phi=0.65$；若實際為符合規定的螺箍柱，則取 $\phi=0.70$。 解題方法 以斷面頂面為 $y=0$，向下量測。圖示極限狀態頂端混凝土壓應變為 $0.003$，底緣應變為零，因此中性軸深度 $c=60\ \mathrm{cm}$。鋼筋列的位置及數量為： | 距頂面 $y$（cm） | 鋼筋數 | |---:|---:| | 7.5 | 3 | | 22.5 | 2 | | 37.5 | 2 | | 52.5 | 3 | 應變、鋼筋應力及壓力塊深度分別為 $$ \varepsilons=0.003\frac{c-y}{c},\qquad fs=\min(Es\varepsilons,\ fy),\qquad a=\beta1c $$ 注意本題中性軸位於斷面底緣，四列鋼筋都在中性軸以上，故四列鋼筋皆受壓；底列雖在壓力塊之外，仍有壓應變。 （一）指定應變狀態的設計軸力與彎矩強度 此時 $a=0.825(60)=49.5\ \mathrm{cm}$。混凝土壓力合力為 $$ Cc=0.85f'cba =0.85(315)(40)(49.5) =530{,}145\ \mathrm{kgf} $$ 混凝土合力作用點距頂面 $a/2=24.75\ \mathrm{cm}$，距斷面形心（頂面下 $30\ \mathrm{cm}$）為 $5.25\ \mathrm{cm}$。 鋼筋計算如下。位於壓力塊內的鋼筋，其所佔面積上的混凝土壓力已包含於 $Cc$，故鋼筋合力須扣除該處的等值混凝土壓力 $0.85f'cAs$。 | $y$（cm） | 數量 | $\varepsilons$ | $fs$（kgf/cm²） | 鋼筋力 $Fs$（kgf） | 壓力塊內扣除值（kgf） | |---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 7.5 | 3 | 0.002625 | 4200（降伏） | 81,522 | 5,197 | | 22.5 | 2 | 0.001875 | 3825 | 49,496 | 3,465…

Question 3

以直徑 $2.5\ \mathrm{cm}$ 的 A36 鋼棒作成一個跨度 $76.2\ \mathrm{cm}$ 的簡支梁，且在梁長度中點有靜載重 $445\ \mathrm{N}$ 與活載重 $1112\ \mathrm{N}$ 同時作用。已知鋼梁設計有足夠的側向支撐，A36 鋼材標稱之降伏強度、拉力強度及楊氏係數分別為 $250\ \mathrm{MPa}$ 、 $400\ \mathrm{MPa}$ 及 $200\ \mathrm{GPa}$ ，並且忽略鋼棒自重。（25 分）

(一) 針對直徑 $d$ 的圓形斷面鋼梁，試推導證明其面積慣性矩（area moment of inertia）為：

$I=\frac{\pi d^4}{64}.$

(二) 針對前述鋼梁撓曲變形（deflection）設計，控制要求在梁跨度 $1/360$ 以內，試依容許應力設計（ASD）檢核之。

(三) 除了(二)之撓曲變形，試論服務性要求（serviceability criteria）下鋼梁設計所需考慮的課題與可能對策。

Accepted Answer

核心觀念

本題分成三部分：由面積積分推導圓形斷面的慣性矩、以服務載重檢核簡支梁中點撓度，以及說明撓度以外的服務性問題。

撓度屬於服務性檢核，應採未放大的服務載重；本題靜載重與活載重同時作用，因此用 $D+L$ 。撓度限值為 $L/360$ 。ASD 強度檢核則以服務載重造成的應力與容許應力比較。本題已說明有足夠側向支撐，故不另檢核未支撐梁的側扭挫屈。

(一) 圓形斷面的面積慣性矩

取圓心為 $x,y$ 軸交點，半徑 $R=d/2$ 。對水平形心軸 $x$ ，面積慣性矩定義為：

I_x=\int_A y^2\,dA

改用極座標 $y=r\sin\theta$ 、 $dA=r\,dr\,d\theta$ ，其中 $0\leq r\leq R$ 、 $0\leq\theta\leq 2\pi$ ：

\begin{aligned} I_x &=\int_0^{2\pi}\int_0^R(r\sin\theta)^2r\,dr\,d\theta\\ &=\left(\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right) \left(\int_0^Rr^3\,dr\right)\\ &=\pi\cdot\frac{R^4}{4} =\frac{\pi R^4}{4} =\boxed{\frac{\pi d^4}{64}}. \end{aligned}

圓形斷面對任一通過形心的直徑軸具有相同慣性矩，所以 $I_y=I_x$ 。

(二) 撓度設計檢核

解題方法： 簡支梁受跨中集中載重 $P$ 時，最大撓度發生在跨中，彈性梁公式為：

\delta_{\max}=\frac{PL^3}{48EI}

撓度以 $D+L$ 服務載重計算。將撓度限制反解為所需慣性矩 $I_{\mathrm{req}}$ ，即可與圓棒實際慣性矩比較。

1. 服務載重與容許撓度

P_s=D+L=445+1112=1557\ \mathrm{N}

\delta_{\mathrm{allow}}=\frac{L}{360} =\frac{762}{360}=2.117\ \mathrm{mm}

2. 實際斷面慣性矩

$d=25\ \mathrm{mm}$ ，因此：

I=\frac{\pi(25)^4}{64} =1.917\times10^4\ \mathrm{mm^4}

3. 實際撓度

使用 $E=200\ \mathrm{GPa}=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$ 、 $L=762\ \mathrm{mm}$ ：

\delta_{\max} =\frac{(1557)(762)^3} {48(200{,}000)(1.917\times10^4)} \approx 3.73\ \mathrm{mm}

3.73\ \mathrm{mm}>2.117\ \mathrm{mm}

因此撓度比約為 $762/204$ ，大於允許的 $762/360$ ，撓度檢核不合格。

4. 反算所需慣性矩

I_{\mathrm{req}} =\frac{P_sL^3}{48E\delta_{\mathrm{allow}}} \approx3.38\times10^4\ \mathrm{mm^4}

Question 4

有一個 T 形斷面受拉鋼構材，在端部沿斷面翼板邊緣填角銲接長 $38\ \mathrm{cm}$ ，以連接另一塊鋼板，且鋼板與銲道經檢核均可符合設計規定。已知作用於斷面形心之靜載重與活載重分別為 $18\ \mathrm{tonf}$ 與 $54\ \mathrm{tonf}$ 。T 形斷面積 $A=37.7\ \mathrm{cm^2}$ ，翼板寬度 $b_f=20\ \mathrm{cm}$ ，斷面迴轉半徑 $r_x=3.99\ \mathrm{cm}$ ，而鋼材降伏強度與拉力強度之標稱值分別為 $3520\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 與 $4592\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 。（25 分）

(一) 依極限設計法（LRFD）試檢核上述鋼構材受拉設計強度。

(二) 試分析上述鋼構材可能最大長度（取整數 $\mathrm{cm}$ ）及相關限制與目的。

Accepted Answer

核心觀念 以民國 112 年命題時適用的《鋼結構設計規範》為準。受拉構材須檢核兩種極限狀態： 1. 全斷面降伏：$\phit Pn=\phit Fy Ag$，LRFD 抗力因數 $\phit=0.90$。 2. 有效淨斷面斷裂：$\phit Pn=\phit Fu Ae$，其中 $Ae=U An$、$\phit=0.75$。本題為填角銲接，沒有螺栓孔，故 $An=Ag$；但只在翼板接合，須考慮剪力遲滯係數 $U$。 3. 受拉構材的長細比建議值為 $L/r\le 300$，用以限制構材過度細長。 解題方法 先用 LRFD 載重組合求係數化拉力，再分別計算降伏與斷裂設計強度，取較小值與需求拉力比較。 （一）受拉設計強度檢核 係數化拉力為： $$ Pu=1.2D+1.6L =1.2(18)+1.6(54) =108\ \mathrm{tonf} $$ 全斷面降伏設計強度： $$ \phit P{n,y} =0.90 Fy Ag =0.90(3520)(37.7) =119{,}434\ \mathrm{kgf} \approx119.4\ \mathrm{tonf} $$ 計算剪力遲滯係數時，依本題資料取形心至接合面的距離 $\bar{x}=rx=3.99\ \mathrm{cm}$，銲接長度 $l=38\ \mathrm{cm}$： $$ U=1-\frac{\bar{x}}{l} =1-\frac{3.99}{38} =0.895 $$ 因此有效淨斷面積為： $$ Ae=U An=0.895(37.7)=33.74\ \mathrm{cm^2} $$ 有效淨斷面斷裂設計強度：

112 專技高考高等考試土木工程技師結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計）考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

（一）樓版單向或雙向設計

（二）目標梁第 II 跨有效版寬

（三）支承處負彎矩設計與拉力控制檢核

1. 取最大支承負彎矩

2. 由強度需求求所需上緣拉力鋼筋

3. 檢核拉力控制

第二題25 分

核心觀念

解題方法

（一）指定應變狀態的設計軸力與彎矩強度

第三題25 分

核心觀念

(一) 圓形斷面的面積慣性矩

(二) 撓度設計檢核

第四題25 分

其他考古題

112 年土木工程技師的其他科目

土木工程技師《結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計）》其他年度

$y$ （cm）	數量	$\varepsilon_s$	$f_s$ （kgf/cm²）	鋼筋力 $F_s$ （kgf）	壓力塊內扣除值（kgf）
7.5	3	0.002625	4200（降伏）	81,522	5,197
22.5	2	0.001875	3825	49,496	3,465
37.5	2	0.001125	2295	29,697	3,465
52.5	3	0.000375	765	14,849	0

112 專技高考高等考試 土木工程技師 結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計） 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

（一）樓版單向或雙向設計

（二）目標梁第 II 跨有效版寬

（三）支承處負彎矩設計與拉力控制檢核

1. 取最大支承負彎矩

2. 由強度需求求所需上緣拉力鋼筋

3. 檢核拉力控制

第 二 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）指定應變狀態的設計軸力與彎矩強度

第 三 題25 分

核心觀念

(一) 圓形斷面的面積慣性矩

(二) 撓度設計檢核

第 四 題25 分

其他考古題

112 年土木工程技師的其他科目

土木工程技師《結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計）》其他年度

112 專技高考高等考試土木工程技師結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分