113 專技高考高等考試 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查彈簧與軸向受壓構件的力平衡、變形相容，以及剛性基板的共同位移。

圓管 A 位於剛性基板上方，圓管 B 位於基板下方。因基板為剛體，圓管 A 下端與圓管 B 上端的位移相同，都是 $D_B$。因此：

其中 $D_A$ 是圓管 A 上端的向下位移，$D_B$ 是基板（亦即圓管 B 上端）的向下位移。

解題方法

間隙密合後，蓋板的向下位移為 $D_A+\Delta$。基板向下位移為 $D_B$，所以線彈簧的壓縮量為

因此，線彈簧的力為 $k(\Delta+\delta_A)$；圓管 A 的壓縮力為 $k_A\delta_A$。

對蓋板列垂直力平衡：

整理得

對基板列垂直力平衡，圓管 B 承受圓管 A 傳來的力及線彈簧施加的力：

核心觀念

開口薄壁梁承受剪力時，壁厚方向的剪流可由截面一側的自由邊起算：

其中 $y$ 是相對於截面水平對稱軸的座標，$I_z=\int y^2\,dA$。剪力中心的位置由剪流對參考點 $o$ 產生的力矩決定。

本截面對水平軸對稱，因此剪力中心位於該對稱軸上。圖示的 $e$ 是剪力中心到 $o$ 的水平距離。

解題方法

令斜肢與水平對稱軸的交點為 $o$。斜肢的垂直投影長為 $h$，斜肢長為 $\sqrt{2}h$；兩端垂直肢長為 $a$。

先計算截面對水平對稱軸的二次矩。兩段垂直肢各貢獻 $t\int_h^{h+a} y^2\,dy$；兩段斜肢的垂直座標由 $0$ 變至 $h$，且 $ds=\sqrt{2}\,dy$，所以

由上端自由邊沿薄壁積分，垂直肢上的剪流大小為

核心觀念

本題是無外力作用下，因桿件製作長度誤差而產生的桁架自應力。以拉力為正，桿件的實際伸長量為

其中 $e_i$ 是製作長度誤差：桿件縮短取負，伸長取正。圖示幾何為 $3L$ × $4L$，兩斜桿長度皆為 $5L$。

解題方法

桁架有六個桿件，支承為 A 點鉸支承、B 點滾支承，故有一個靜不定力。依諧合變位法，先由節點平衡求出自應力的桿力比例，再用相容條件求比例常數。

令自應力比例向量依序對應 $AB、AC、BD、CD、AD、BC$。由各節點平衡可得

其中正值為拉力方向、負值為壓力方向。實際桿力可寫成 $N_i=q n_i$。

自應力對任何相容位移所作的總虛功為零，因此

代入伸長量公式，並令 $e_{AB}=-0.02L$、$e_{BD}=+0.01L$，其餘 $e_i=0$：

面積與長度代入如下：

核心觀念

本題以傾角變位法建立各桿件端彎矩，再用節點力矩平衡求未知節點轉角。桿件端彎矩採「順時針為正」；$EI\theta$ 以 $\mathrm{kN\cdot m^2}$ 表示，最後彎矩單位為 $\mathrm{kN\cdot m}$。

題目未提供軸向剛度 $EA$，依一般剛架傾角變位法假設，桿件軸向變形忽略。由於 $C、E$ 為鉸支承，$BC、DE$ 的軸向變形受限，故本題不側移；$B、D$ 的水平力不產生額外側移項。

解題方法

1. 建立桿端彎矩式

$A$ 固接，故 $\theta_A=0$。對柱 $AB$（長 $6\ \mathrm m$）：

對柱 $BD$（長 $4\ \mathrm m$）：

梁端 $C、E$ 為鉸接，因此 $M_{CB}=M_{ED}=0$。將鉸端釋放後，梁在剛接端的彎矩式為：

2. 節點力矩平衡求轉角

在 $B$ 點：

代入桿端彎矩式：

在 $D$ 點：

因此：

解聯立方程式：

3. 計算桿件節點彎矩

代回各桿端彎矩式：

節點平衡可驗算：

剪力圖與彎矩圖