114 專技高考高等考試 測量技師 航空測量學 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・測量技師
試題代碼 航空測量學

第 一 題20 分

外方位元素（EO）中之三個姿態參數（角元素）(ω,ϕ,κ)\left(\omega,\phi,\kappa\right)是透過旋轉矩陣 RR 連結像空間與地面空間。請寫出共線條件式中旋轉矩陣 RR 之完整表達式。

並分析 EO 參數中，傾角 ϕ\phi 和旋角 κ\kappa 微小誤差對平面坐標 (X,Y)(X,Y) 和高程 (Z)(Z) 之影響差異，詳述哪個參數誤差對高程精度影響最大？

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核心觀念

本題考查空間後方交會與共線條件式中的外方位姿態角。ω、ϕ、κ\omega、\phi、\kappa 分別代表像片繞 xx 軸、yy 軸、zz 軸的旋轉；旋轉矩陣將地面坐標系中的方向向量轉換至像空間。矩陣的乘法順序與正負號，須配合採用的坐標軸方向及旋轉慣例。

以下採航空測量常用慣例：地面坐標系 X、Y、ZX、Y、Z 為右手系，像空間坐標為 x、y、zx、y、z，並令 R=RκRϕRωR=R_\kappa R_\phi R_\omega。共線條件式可寫為：

[xy−f]=λR[X−X0Y−Y0Z−Z0],\begin{bmatrix} x\\y\\-f \end{bmatrix} = \lambda R \begin{bmatrix} X-X_0\\Y-Y_0\\Z-Z_0 \end{bmatrix},

其中 (X0,Y0,Z0)(X_0,Y_0,Z_0) 為攝影站地面坐標，ff 為焦距，λ\lambda 為比例因子。

解題方法

三個基本旋轉矩陣為

Rω=[1000cos⁡ωsin⁡ω0−sin⁡ωcos⁡ω],Rϕ=[cos⁡ϕ0−sin⁡ϕ010sin⁡ϕ0cos⁡ϕ],R_\omega= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\omega&\sin\omega\\ 0&-\sin\omega&\cos\omega \end{bmatrix}, \quad R_\phi= \begin{bmatrix} \cos\phi&0&-\sin\phi\\ 0&1&0\\ \sin\phi&0&\cos\phi \end{bmatrix}, Rκ=[cos⁡κsin⁡κ0−sin⁡κcos⁡κ0001].R_\kappa= \begin{bmatrix} \cos\kappa&\sin\kappa&0\\ -\sin\kappa&\cos\kappa&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.

依 R=RκRϕRωR=R_\kappa R_\phi R_\omega 相乘，完整矩陣為

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第 二 題20 分

某測區為 3 km×5 km3\ \mathrm{km}\times5\ \mathrm{km} 之矩形。已知單張影像之地面覆蓋寬 W=750 mW=750\ \mathrm{m}，航向重疊度 Px=75%P_x=75\%。

若要求旁向重疊度 Py=50%P_y=50\%，請問若沿 5 km5\ \mathrm{km} 方向飛行，需規劃多少條航線，以及總共需要拍攝多少張影像才能完全覆蓋全部測區？

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核心觀念

本題考查航線規劃中的航向與旁向重疊，以及如何依影像涵蓋範圍估算影像張數。

  • 航向重疊度 PxP_x 決定沿飛行方向相鄰影像的地面重疊長度。若單張影像沿飛行方向的地面覆蓋長為 LL，則相鄰曝光站距為 B=L(1−Px).B=L(1-P_x).
  • 旁向重疊度 PyP_y 決定相鄰航線的地面重疊寬度。已知單張影像地面覆蓋寬 WW，相鄰航線間距為 D=W(1−Py).D=W(1-P_y).

題目未另給影像地面覆蓋長，因此依一般航測影像以地面覆蓋寬作為兩方向的邊長計算；取 L=W=750 mL=W=750\ \mathrm{m}。

解題方法

沿測區的 5 km5\ \mathrm{km} 方向飛行時，航線長度為 5,000 m5{,}000\ \mathrm{m}，需跨越的測區寬度為 3,000 m3{,}000\ \mathrm{m}。

  1. 計算航線間距與航線數

D=750(1−0.50)=375 m.D=750(1-0.50)=375\ \mathrm{m}.

要覆蓋 3,000 m3{,}000\ \mathrm{m} 的寬度，航線數 nn 須滿足 (n−1)D+W≥3,000.(n-1)D+W\geq 3{,}000.

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第 三 題20 分

試分別詳述仿射坐標轉換（Affine Coordinate Transformation）和投影坐標轉換（Projective Coordinate Transformation）之幾何意義、參數數量，以及在航空測量學中之常見應用場合。

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核心觀念

本題考查平面坐標轉換中，仿射轉換與投影轉換的幾何性質、自由參數數量，以及兩者在航空測量中的適用情境。判別重點是：仿射轉換保留平行關係；投影轉換能描述中心投影造成的透視變形，但一般不保留平行關係。

仿射坐標轉換

仿射轉換（Affine Coordinate Transformation）可寫為：

x′=a1x+a2y+a3,y′=b1x+b2y+b3.\begin{aligned} x' &= a_1x+a_2y+a_3,\\ y' &= b_1x+b_2y+b_3. \end{aligned}

其中 a1,a2,b1,b2a_1,a_2,b_1,b_2 描述線性部分，可包含旋轉、非等比縮放、剪切及反射；a3,b3a_3,b_3 則描述平移。

二維仿射轉換有 6 個獨立參數。每一組同名點坐標提供兩個方程，因此求解 6 個參數至少需要 3 組不共線的控制點。若控制點數量多於最低需求，通常以最小二乘法估計參數。

仿射轉換會將直線映成直線，並保留共線性與平行線關係；同一直線上的長度比也保持不變。但一般不保留角度、距離及形狀，因此矩形轉換後可能成為平行四邊形。

航空測量常見應用：

  • 將掃描影像的像素坐標轉換至像片坐標，處理影像平移、旋轉、比例差異與剪切。
  • 在局部範圍內進行影像與地圖坐標的近似配準。
  • 當影像範圍小、地形起伏或透視差異可忽略時，作為平面坐標轉換的簡化模型。

投影坐標轉換

投影轉換（Projective Coordinate Transformation），亦稱平面單應轉換（homography），可用齊次坐標表示為：

λ[x′y′1]=[h11h12h13h21h22h23h31h32h33][xy1],\lambda \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}&h_{12}&h_{13}\\ h_{21}&h_{22}&h_{23}\\ h_{31}&h_{32}&h_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix},

其中 λ\lambda 為比例因子。展開後為：

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第 四 題20 分

傾斜攝影（Oblique Photogrammetry）之多鏡頭系統（五鏡頭）對於絕對定向（將影像模型轉換到地面坐標系）之精度有何貢獻？

另請試述在傾斜攝影之空中三角測量平差中，應如何設計地面控制點（GCPs）之高程分布，以最大化模型高程精度和立面精度？

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核心觀念

五鏡頭傾斜攝影系統通常由一個垂直向下的鏡頭與四個朝前、後、左、右的傾斜鏡頭組成。多鏡頭影像須透過共同連結點及聯合空中三角測量平差，解算各影像的外方位元素，並轉換至地面坐標系。題目考查的是：多方向交會如何改善模型的幾何強度，以及地面控制點的高程配置如何約束模型變形。

共線方程描述攝影中心、像點與物點共線。以簡化形式表示：

x−x0=−fr11(X−XS)+r12(Y−YS)+r13(Z−ZS)r31(X−XS)+r32(Y−YS)+r33(Z−ZS)x-x_0=-f\frac{r_{11}(X-X_S)+r_{12}(Y-Y_S)+r_{13}(Z-Z_S)} {r_{31}(X-X_S)+r_{32}(Y-Y_S)+r_{33}(Z-Z_S)}

其中 (X,Y,Z)(X,Y,Z) 為地面點坐標，(XS,YS,ZS)(X_S,Y_S,Z_S) 為攝影中心坐標，rijr_{ij} 為旋轉矩陣元素。不同方向的影像共同觀測同一地物時，交會光線的幾何構形較佳，可減少單一視向造成的弱幾何與系統性變形。

解題方法

本題分兩部分作答：先說明五鏡頭對絕對定向的幾何貢獻，再說明GCP在平面與高程方向的配置原則。精度提升的關鍵不是鏡頭數目本身，而是影像間有足夠共同連結點、各鏡頭完成可靠標定，並以分布良好的控制點約束整個影像區塊。

一、五鏡頭系統對絕對定向精度的貢獻

  1. **增加交會方向與冗餘觀測。**垂直影像主要提供地面與屋頂的觀測；四個傾斜視向補充建物側面及不同方向的斜視觀測。同一地物可在更多影像中被量測，聯合平差的觀測冗餘增加，有助於穩定外方位元素及地面點坐標。

  2. **改善高程幾何與立面約束。**相交光線的方向愈多樣，物點定位愈不易受單一方向觀測誤差支配。傾斜影像提供側向視線，使建物立面及不同高度的地物較能參與交會，補足純垂直影像對垂直構造觀測不足之處。

  3. **增強影像區塊的連結與整體穩定性。**各鏡頭影像若能透過共同點連成完整網形，跨視向連結可限制區塊的相對扭曲，讓控制點提供的地面坐標約束傳遞至較多影像與地物。

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第 五 題20 分

在利用空載光達（LiDAR）點雲測製數值地形模型（DEM）之過程中，最主要挑戰是從點雲中分離出地面點。

請詳述在植被茂密區，光達是如何利用多重回波（Multiple Returns）之特性提高地面點分離成功率？並說明常用之地面濾波演算法類型。

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核心觀念

本題考查空載光達點雲的多重回波特性，以及如何從混有植被、建物等非地面點的點雲中，分離出地面點以製作數值地形模型（DEM）。

光達發射的雷射脈衝遇到物體後，可能在不同高度的物體表面產生多次反射。儀器會依序記錄回波的時間、強度與回波序號；由飛行時間可計算感測器至反射面的距離，再配合平台位置與姿態求得點的三維座標。

在植被茂密區，雷射脈衝可能先碰到樹冠或枝葉，部分能量穿過植被空隙後再碰到較低的枝葉、灌木或地面，因此同一脈衝可形成多重回波。若有地面回波，其位置通常低於同一脈衝的較早回波，可作為地面點判識的重要線索。

解題方法：利用多重回波提高地面點分離率

  1. 先利用回波序號建立候選點 對每一脈衝取得的回波，記錄其先後順序與距離。植被區中，第一回波常來自樹冠或上層枝葉；末次回波常來自較低位置，故可優先將末次回波列為地面點候選。

  2. 利用高程與鄰域地形條件篩選 將末次回波與周圍點比較，檢查其是否符合鄰近地面的高程連續性、坡度及局部起伏特性。落在合理地形表面上的點，較有可能是地面點；高於周圍地形且呈局部突起的點，則可能是枝葉或灌木。

  3. 配合其他回波資訊判斷 同一脈衝的早期回波與末次回波之間若有明顯高差，可反映植被高度；回波強度、點的空間分布及鄰近脈衝的地形趨勢，也可用來輔助分類。多重回波提供的是判識線索，仍須搭配地面濾波演算法。

  4. 處理特殊情形 雷射脈衝可能被樹冠完全遮蔽，沒有任何能量到達地面；此時即使有末次回波，該回波仍可能來自低層枝葉，而非地面。因此「末次回波」不等於「地面點」，須以空間地形關係再確認。反之，單一回波也可能來自裸露地面，不能只靠回波數量判斷。

常用地面濾波演算法類型

  • 漸進式三角網加密法（Progressive TIN Densification） 先從低點或其他候選點建立初始三角網，再逐步檢查附近點與三角網面的高差、坡度等條件；
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